domingo, 30 de diciembre de 2007

Dos moscas en una caja

Enunciado

Este problema se podría interpretar de dos formas distintas. Tal vez, para quitar ambigüedad, podrían haber aclarado si la distancia se mide de la forma habitual, en línea recta (recuerda que, al fin y al cabo, las moscas pueden volar), o las moscas quieren saber la distancia que tienen que recorrer andando sobre la superficie de la caja.

La posición en la que han de colocarse las moscas es, probablemente, la misma en ambos casos, pero la distancia a calcular no lo es. Si tratamos de alejar las moscas al máximo acabarán en las dos esquinas opuestas de la caja, eso es evidente.

Diagonal de la caja

Diagonal de la caja

Si queremos medir la distancia en línea recta, hemos de imaginar la diagonal de la caja y usarla para dibujar un triángulo rectángulo al que podamos aplicar el teorema de Pitágoras. Vemos en el dibujo una manera de hacerlo (hay otras). Uno de los catetos de este triángulo es conocido, pero el otro es una diagonal de una cara, y también deberemos calcular su tamaño, ya que de nuevo será la hipotenusa de un triángulo rectángulo formado por los lados de la cara.

Al final, la longitud buscada, al cuadrado, será la suma de los tres cuadrados, 80, 60 y 20, es decir, 6400 + 3600 + 400 = 100*104. Su raíz cuadrada, evidentemente, no es exacta, tendrá la expresión 10*√104, aproximadamente 101,980390272.

Caja desplegada

Caja desplegada

Si, por el contrario, queremos la distancia más grande siguiendo la superficie de la caja, hemos de pensar en posibles despliegues de la caja, y en qué camino seguiría una mosca para llegar a la otra. También en este caso está claro que el lugar más lejano sería en dos esquinas opuestas de la caja, sólo que hay varios caminos para llega de una mosca a otra, según cómo despleguemos la caja (es decir, según qué caras recorra una mosca para buscar a la otra). Si recorremos un par de caras u otro, puede variar la longitud. Tenemos tres posibilidades, básicamente se trata de trazar la diagonal de un rectángulo, es decir, la hipotenusa de un triángulo rectángulo, por ejemplo, del rectángulo formado por dos de las caras de la caja al desplegarse.

En un caso, podría ser calcular la raíz de la suma de los cuadrados de 80 y de 60 más 20, es decir, de 12800, que son 10*√128, aproximadamente 113,13708499. En otro, la raíz de los cuadrados de 60 y de 80 más 20, es decir, de 13600, es decir, 10*√136, que obviamente sería más grande (aproximadamente 116,619037897). La última posibilidad sería tomar la raíz de la suma de los cuadrados de 20 y de 80 más 60, es decir, la raíz de 20000, o 10*√200, mucho mayor (aproximadamente 141,421356237).

La distancia oficial sobre la caja sería la más pequeña de las tres, la primera.

jueves, 27 de diciembre de 2007

Una suma femenina

Enunciado

Como nos dicen que la R vale 5, tenemos que EVA + ANA = SA5A. Si te fijas en la última cifra (las sumas suelen empezar por ahí), A + A es un número que acaba en la misma cifra, A. Y si pruebas todas las posibilidades, verás que eso sólo pasa con el 0, de forma que ya tenemos que EV0 + 0N0 = S050.

Como el número inferior ha de tener 4 cifras y no puede ser 0 la primera, mientras que los otros dos sumandos tienen 3 cifras, S debe ser 1. Además, para que la suma de E y 0 dé más de 9, E debe ser 9 y debemos aportar una unidad de los sumandos inferiores (es decir, la suma de V y N debe exceder a 9). Como conocemos el valor de R, 5, V + N = 15. Las posibilidades que tenemos son 8 + 7 ó 7 + 8, ya que no podemos usar el 9 (es lo que vale E).

Concluimos que las posibles soluciones son 970 + 080 = 1050 y 980 + 070 = 1050.

domingo, 23 de diciembre de 2007

Consecuencias de una igualdad

Enunciado

La primera intención al ver este tipo de problemas suele ser deducir una fórmula a partir de la otra. El problema es que no es evidente ninguna simplificación que nos lleve de la expresión (a2b2)/(a4 - 2b4) a (a2 - b2)/(a2 + b2).

Tampoco podemos "resolver" la ecuación, ya que la igualdad primera tiene dos variables.

En estos casos, yo lo que suelo hacer es darle valores "cómodos" a una de las variables y tratar de generalizar a partir de un caso concreto. Como primer intento, le voy a dar a la variable b el valor 1. La primera igualdad queda como (a2)/(a4 - 2) = 1. ¿Qué valores puede tomar a, y cómo se calculan? En primer lugar, debemos quitar denominadores, obteniendo a2 = a4 - 2, para después pasar los términos al mismo lado de la igualdad, a4 - a2 - 2 = 0. Esta expresión se puede convertir en una ecuación de segundo grado (es bicuadrada) substituyendo a2 por x, de forma que queda x2 - x - 2 = 0.

De esta manera, si b = 1, x puede tomar dos valores, (1 + √(1+8))/2 = 4/2 = 2 y (-1 - √(1+8))/2 = -2/2 = -1. Como x es el cuadrado de a, debe ser positivo, por lo que el segundo valor queda descartado.

En este caso, para b = 1, la expresión (a2 - b2)/(a2 + b2) = (2 - 1)/(2 + 1) = 1/3.

Si probamos con otro valor para b, que no puede ser 0, obtendremos la misma cifra, de forma similar. Seguro que eso nos hace sospechar, así que vamos a intentar seguir el mismo razonamiento sin necesidad de substituir b.

Como (a2b2)/(a4 - 2b4) = 1, multiplicando por el denominador, que no puede ser nulo, tenemos que a2b2 =a4 - 2b4. Pasamos al mismo miembro y tenemos que a4 - a2b2 - 2b4 = 0. Si substituimos a2 por x, la ecuación nos queda x2 - b2x - 2b4 = 0. Esta igualdad se puede ver como una ecuación de segundo grado en x, de forma que se tiene que x = (b2 + √(b4 + 8b4))/2. Podemos sacar factor común b4 dentro de la raíz, y extraerla fuera de la raíz. Evidentemente, la raíz de 9 es 3, con lo que queda (b2 + 3b2)/2 = 2b2. La otra opción para la fórmula de la ecuación da cómo resultado números negativos, como es fácil comprobar.

Es decir, que a2 = 2b2. Claro, a partir de aquí, (a2 - b2)/(a2 + b2) = (2b2 - b2)/(2b2 + b2) = (b2)/(3b2) = 1/3 (evidentemente, b no puede valer 0). Y esto sucede para cualquier par de valores que cumplan la expresión indicada.

Conociendo la expresión de las raíces de la ecuación, tal vez se pueda dar una demostración más elegante basada en la descomposición de polinomios, pero no lo veo necesario.

jueves, 20 de diciembre de 2007

A partir de una fecha

Enunciado

Empecemos con el apartado (a).

Si tomamos todas las cifras de la fecha 13/5/2006, ordenadas de forma descendente, tendremos el número 6532100. Si las ordenamos de forma ascendente, el 0012356. La diferencia entre ambas cifras sería 6519744. Al sumar sus cifras proporciona el 6 + 5 + 1 + 9 + 7 + 4 + 4 = 36, y al sumar las de éste, el 9.

Veamos con la fecha de mi nacimiento, 27/5/1965. Ordenadas, 9765521 y 1255679. Restadas, 8509842. Repitiendo la operación suma de las cifras, 8 + 5 + 0 + 9 + 8 + 4 + 2 = 36, que evidentemente lleva al 9 de nuevo.

¿Siempre será igual? La respuesta parece ser afirmativa.

Sumar las cifras es algo que hacemos frecuentemente en un contexto ¿recuerdas cuál?

Supongo que ya te habrás acordado, lo hacemos en el criterio de divisibilidad del 3 y del 9 ¡el 9! ¡Da 9 el resultado! Seguro que algo tiene que ver.

Bueno, vamos a revisar cómo funciona lo de la divisibilidad por 9. Resulta que las cifras de un número representan la cantidad de potencias de 10 que intervienen en un número, es decir, que 342 = 3*102 + 4*10 + 2. Y, claro, resulta que el número anterior a una potencia de 10 siempre es múltiplo de 9, es decir, que 342 = 3*9*11 + 3 + 4*9 + 4 + 2 = 9*(3*11 + 4) + 3 + 4 + 2. En definitiva, que todo número se puede expresar como un múltiplo de 9 más la suma de sus cifras.

Si ese número es o no divisible por 9, entonces, se sabe por la suma de sus cifras. Pero, claro, si restamos los números que usamos en este problema, convertidos en un múltiplo de 9 más la suma de sus cifras, tenemos que la diferencia entre ambos es igual a un múltiplo de 9, ya que la suma de las cifras que usamos en ambos números son las mismas (y al restarlas se anulan). Por lo tanto, concluímos que la diferencia es, en cualquier caso, un múltiplo de 9. Es decir, que la suma de sus cifras es también un múltiplo de 9, y cuando repetimos una y otra vez el proceso, obtenemos múltiplos de 9. Al final, sólo queda una cifra, que será múltiplo de 9. ¿Puede ser otra que 9? en realidad hay otra cifra múltiplo de 9, el 0, pero sólo se conseguiría si todas las cifras fuesen 0.

En resumidas cuentas, que la única forma de conseguir que no dé 9 como resultado es que tengamos una fecha con todas las cifras iguales. Claro, que eso no pasará hasta el 2 de febrero de 2222.

domingo, 16 de diciembre de 2007

Sudoku

Enunciado

Como en el caso anterior, es un sudoku que no tiene ninguna complicación especial. Basta seguir uno por uno los números y comprobar en qué cuadrados podemos o no ponerlos para situar todas las cifras. Pongo a continuación la solución.

Solución del sudoku

Solución del sudoku

jueves, 13 de diciembre de 2007

Las cerillas

Enunciado

Escalera mínima

Escalera mínima

Si nos ponemos a pensar en una escalera más corta, por ejemplo, de una única cerilla (3 centímetros) de largo, sería construirla, como indica la imagen, con 4 cerillas únicamente.

Añadimos un tramo

Añadimos un tramo

Si la alargamos, para que tenga 6 centímetros de longitud, tendríamos que usar 7 cerillas. Observa que en realidad sólo añades 3 cerillas más, y la haces crecer tres centímetros más, igual que si quieres hacer una más larga, de 9 centímetros, que usaría 10 ¿no?

En definitiva, que cada 3 centímetros que crece la escalera, le añades el mismo número de cerillas. Como partimos de una escalera que gasta una cerilla más que centímetros tiene, la de 90 centímetros usaría ni más ni menos que 91 cerillas.

domingo, 9 de diciembre de 2007

Un triángulo en un cuadrilátero

Enunciado

Este problema es bastante complicado, pues las relaciones entre los elementos que aparecen pueden parecer confusas, y a veces hay que tener en cuenta demasiados valores. Hagamos, en primer lugar, un dibujo de cómo quedaría la construcción.

Dibujo cuadrilátero

Dibujo cuadrilátero

Tengamos en cuenta en esta construcción que O1 y O2 son incentros de triángulos, por lo que los segmentos que los unen con los vértices parten el ángulo del triángulo en dos ángulos iguales (bisectrices).

Los primeros intentos que se deben realizar se basan en convertir, mediante ángulos suplementarios y ángulos del interior de un triángulo, los ángulos EMN y ENM en dos expresiones que involucren a los ángulos exteriores (los ángulos del cuadrilátero original), para poder comprobar su igualdad. Sin embargo, tras muchos intentos, he descartado este método directo, buscando otras relaciones. Si alguien lo lleva a buen término, me gustaría que lo comentase.

La otra relación que se necesita y se puede encontrar es mucho más difícil de descubrir. En primer lugar, se trata de ver que los ángulo BO1A y BO2A son iguales. En efecto, BO1A = π - O1BA - O1AB = π - CBA/2 - CAB/2 = π - (π - BCA - CAB)/2 - CAB/2 = π - π/2 + BCA/2 + CAB/2 - CAB/2 = π/2 + BCA/2.

De la misma forma, BO2A = π/2+ BDA/2.

Sin embargo, por ser el cuadrilátero inscrito, los ángulos BCA y BDA son iguales, así que también lo son BO1A y BO2A. Esto, de por sí, es un hecho sorprendente que habría bastado como objetivo del problema, pero no hemos encontrado aún la solución completa. Por ser ángulos iguales, los puntos A, B, O1 y O2 están en la misma circunferencia, es decir, forman un cuadrilátero inscrito. Y, por ello, sus ángulos opuestos suman π (180 grados sexagesimales en radianes), es decir, son suplementarios.

Ahora vamos a trabajar con los ángulos que verdaderamente nos interesan. El ángulo EMN = π - BMO1= π - (π - BO1M - MBO1) = BO1M + MBO1 = π - BO1O2 + MBO1.

La propiedad que necesitamos del cuadrilátero ABO1O2 se aplica en este momento: sus ángulos opuestos son suplementarios (suman pi). De esta forma, EMN = π - (π - BAO2) + MBO1 = BAO2 + MBO1 = BAD/2 + DBA - CBA/2. Como se puede ver, logramos nuestro objetivo de representar el ángulo mediante ángulos del cuadrilátero original.

Por otra parte, ENM = π - ANO2 = π - (π - NO2A - NAO2) = π - π + NO2A + NAO2 = π - AO2O1 + NAO2.

De nuevo, aplicamos que los ángulos opuestos del cuadrilátero ABO1O2 son suplementarios. Así, ENM = π - (π - O1BA) + NAO2 = O1BA + NAO2 = CBA/2 + CAB - DAB/2.

Ahora es cuando tratamos de ver si ambos son o no iguales, restando sus expresiones, por lo que EMN - ENM = BAD/2 + DBA - CBA/2 - CBA/2 - CAB + DAB/2 = DAB + DBA - CBA - CAB = π - BDA - π + BCA = BDA - BCA = 0, pues son vértices de triángulos de la misma base inscritos en la misma circunferencia.

Nota: también podría darse el caso de que uno de los puntos O1 y O2, o incluso ambos, estuviesen en el exterior del segmento MN, en cuyo caso el razonamiento tendría que revisarse con mucho cuidado, aunque es cierto en esos casos también.

Desde luego, los pasos dados no son sencillos de descubrir, y a mí me ha llevado mucho tiempo descubrir las relaciones, a pesar de lo cual se pueden sacar ideas de este problema para enfrentarnos a situaciones similares.

jueves, 6 de diciembre de 2007

Sudoku

Enunciado

Como todos los sudokus, se trata de descifrar qué número podemos poner en cada casilla que no entre en contradicción con las reglas y los que ya hemos puesto.

Por si os puede ayudar, para resolverlo yo he puesto primero dos doses, después todos los treses y los cuatros, un cinco, todos los sietes, ochos y nueves, y por último, los unos, doses y los cincos, para finalizar cubriendo los escasos huecos que quedaban. El resultado puedes verlo en la imagen.

Solución del sudoku

Solución del sudoku

domingo, 2 de diciembre de 2007

Un cuadrado con rectángulos

Enunciado

Este ejercicio es idéntico al que se plantea en un cuadrado en cinco rectángulos, para segundo ciclo, que puede que no hayas visto.

Voy a utilizar la misma solución, pues es sencilla de seguir. De manera similar, se pueden plantear otros problemas de combinatoria geométrica, una especie de rompecabezas que consisten en componer una figura a partir de otras de tamaños conocidos.

Puesto que sabemos las áreas y los lados, basta que empecemos a asociar los que pueden dar como resultado ese producto.

Lo primero que debemos hacer es confirmar que tenemos área para cubrir los 121 centímetros cuadrados que se nos pide. En efecto, 9 + 16 + 18 + 28 + 50 = 121

Por ejemplo, 9 centímetros cuadrados sólo podría obtenerse multiplicando 3 por 3 o 9 por 1, puesto que los lados son números enteros. Como cada lado mide una cantidad distinta, este rectángulo debe ser de 9 por 1 centímetros.

De forma similar, 16 no puede ser más que 2 por 8.

El cuadrado de área 50 se puede conseguir únicamente multiplicando 5 por 10, porque los dos factores han de estar entre 1 y 10.

También es sencillo 28, que debe ser 4 por 7.

Y los dos lados que sobran, 3 y 6, forman el rectángulo de 18.

Juntamos los dos más largos

Juntamos los dos más largos

¿Cómo colocar los cuadrados? Empezamos con el de lado 10, que tiene casi la longitud del cuadrado completo. La única forma de completar 11 es que situemos junto a él el rectángulo de lado 1 por 9, como indica la primera figura. Evidentemente, lo podemos girar y desplazar hasta ponerlo en varias posiciones, pero todas son equivalentes.

Tercer rectángulo

Tercer rectángulo

Ahora, entre el rectángulo de lado 9 y 11, que es el lado del cuadrado, debemos poner el rectángulo de lado 2 por 8, y esto se puede hacer de dos formas, que en realidad son la misma, vista en un espejo, salvo desplazamientos de la pieza más grande. Se trata de la segunda figura.

Como antes, entre el lado 8 y el resto del cuadrado únicamente podemos poner el rectángulo de tamaño 3 por 6.

Cuadrado completo

Cuadrado completo

Enunciado

Evidentemente, podemos comprobar que el hueco que queda en el centro de estos cuatro rectángulos mide, en área, lo mismo que el rectángulo que nos sobra, como no podía ser de otra forma, por la suma que hicimos antes. Lo más curioso es que realmente también coincidan sus lados, como podemos comprobar, sumando 11 entre todos.