jueves, 31 de enero de 2008

Multiplicación enorme

Enunciado

La multiplicación es gigantesca, pero lo que está claro es que dos de los primos que se usarán, pues están entre los 100 primeros, serán el 2 y el 5. Y por eso, la última cifra será un 0, pues todo lo que multipliques por 10 acabará en 0, como sabemos todos los que conocemos la tabla de multiplicar del 10.

Por otra parte, si dividimos entre 10 este número tan grande, todos sus factores serán primos impares (pues el único primo par es, claramente, 2). Y todos los productos de números impares acaban en impar. Por lo tanto, la penúltima cifra (que queda la última cuando dividimos entre 10) debe ser un número impar.

domingo, 27 de enero de 2008

Los transatlánticos

Enunciado

Vamos a ponernos en la piel del capitán de uno de esos transatlánticos. Supongamos que salimos de Nueva York por la mañana, mientras que los translatlánticos que salen desde Londres salen por la tarde. Al poco de salir, cruzamos con el que salió de Londres hace una semana, que llegará por la tarde a Nueva York. Al cabo de un cierto tiempo, nos cruzaremos con el que salió el martes, el miércoles, y, así, cuando estemos a poco más de la mitad de camino, nos cruzaremos con el que salió de Londres el mismo día que nosotros, pero por la tarde.

Hasta ese punto, llevamos cruzados 7 (el del lunes será el octavo). Seguiremos cruzando con ellos regularmente, y llegamos a Londres también en lunes, tras habernos cruzado con el que salió en domingo, pues el del lunes no habría salido aún. En total, nos cruzamos con 14 transatlánticos.

Si cada barco se cruza con 14 (mirando sólo desde los barcos que salen de Nueva York, porque en cada cruce hay dos barcos), parece que la respuesta a cuántos cruces hay en una semana debería ser 98. Y así debe ser, pues aunque los que salen a mitad de semana no acaban (durante la semana) de cruzarse con todos los que les tocan, los de la semana anterior sí que se cruzan (durante la semana) con los que dejan de cruzarse los de esta semana.

Cadena de barcos

Cadena de barcos

jueves, 24 de enero de 2008

Edades en 2007

Enunciado

En el apartado a, empezamos por calcular la edad de Joan, que por haber cumplido ya años, tendrá 2007 - 1996 = 11 años. Empar, que tiene 4 años más, tendrá 15. Como tiene un año menos que Xavier, Xavier tendrá 16. Estos tres, de los que ya sabemos la edad, suman 11 + 15 + 16 = 42 años, y como entre todos dice que suman 70, entre Isabel y Pere deben sumar 70 - 42 = 28. Si fuesen iguales, deberían tener 14 años, pero como dice que Isabel tiene 2 menos que Pere, tendrá 13 y Pere 15.

En el apartado b), Empar e Isabel en la actualidad (año 2007) tienen 15 y 13. En el 2015, dentro de 8 años (2015 - 2007 = 8), tendrán 15 + 8 = 23 y 13 + 8 = 21, respectivamente.

Para el apartado c), hay que tener en cuenta que son cinco personas, por lo que cada año cumplen entre todos cinco años más. Como en la actualidad suman entre todos 70 años, para que sumen 100 años faltan 100 - 70 = 30, que conseguirán tener en 30/5 = 6 años. Es decir, que en el 2013 sumarán 100 años entre todos.

domingo, 20 de enero de 2008

Cuando coinciden tres ángulos

Enunciado

Dibujo las líneas

Dibujo las líneas

En el dibujo podemos ver un triángulo genérico en el que se han dibujado las líneas que se usan en el dibujo. Como podemos ver, las tres líneas no tienen que coincidir necesariamente en un punto en un triángulo cualquiera, ni tienen que ser iguales los ángulos.

Sin embargo, la igualdad que plantea el problema (CAL, ABH y BCM iguales como ángulos) no se cumple en todos los casos. Veamos en qué situaciones se verifica y qué debe cumplir el triángulo ABC.

El ángulo CAL, igual que el ABH, es la mitad que BAC, por ser AL bisectriz de BAC. Por otra parte, AHB es un ángulo recto, por ser BH una altura de AC. Si nos fijamos en el triángulo AHB, se trata de un triángulo rectángulo y sus dos ángulos agudos deben sumar uno recto, siendo uno el doble del otro. Está claro entonces que BAC es un ángulo de 60 grados y ABH, de 30.

Inmediatamente nos viene a la cabeza un triángulo célebre, el equilátero. En este, coinciden bisectriz, altura y mediana, por lo que se cumple la igualdad de ángulos. La pregunta que queda por responder es ¿habrá algún otro tipo de triángulo que lo cumpla?

Si existe tal tipo de triángulo, ABH coincidirá con la mitad de un equilátero, y podremos marcar M, que es el punto medio del lado AB. El punto C estará sin duda sobre la recta AH, y al unirlo con B y M formará un ángulo de 30 grados, como el que forma el vértice del equilátero.

Otra solución

Otra solución

Como en otros problemas, tenemos un segmento y buscamos un punto que al unirlo forme el mismo ángulo que uno que tenemos, por lo que debemos trazar un arco que pase por esos tres puntos, como aparece en el dibujo. Si hay un segundo punto de corte entre el arco y la recta AH, ese es otro posible punto. En el dibujo, parece que coincida con el punto H, pero eso ya lo aclararemos más adelante. Indudablemente este punto formará otro triángulo que cumplirá la condición que se pide.

El centro del arco

El centro del arco

Si trazamos las mediatrices de los vértices del triángulo BMC, resulta evidente que el centro del arco que pasa por los tres puntos es el centro del lado BC (del triángulo equilátero), por lo que pasará por H, y por tanto el triángulo ABH cumple también la condición, y es el único que lo hace además del triángulo equilátero. Es decir, que o los ángulos del triángulo inicial son todos iguales, o bien son 60 en A, 30 en B y 90 en C.

jueves, 17 de enero de 2008

Otro de edades

Enunciado

Como la mayoría de los problemas de edades, debemos plantearlos de forma algebraica, es decir, con ecuaciones, aunque en este caso también se pueda trabajar con tanteo entre enteros.

Para empezar, como no se plantea ninguna relación, ni se pregunta ningún resultado acerca de la edad actual de esta pareja, podemos situar el valor inicial en el momento que queramos. Intervienen tres años distintos: cuando se casan, cuando tienen el hijo, y cuando el hijo acaba la secundaria. Supongamos que establecemos las variables principales, x e y, como las edades que tienen ambos cuando se casan. Cuando nace el hijo a los dos años de casarse, cuando tenían x + 2 e y + 2 años, y la pregunta que se nos formula es la edad que tendrán cuando el hijo tenga 15 años, que será x + 17 e y + 17.

Las igualdades que se plantean es que las edades de Rita y Carles cuando se casaron estaban en proporción 13 a 11, y cuándo nace su hijo, en proporción 7 a 6. Esto se puede indicar de varias formas, por ejemplo, como que x/y = 13/11 y (x + 2)/(y + 2) = 7/6. Eliminando denominadores, 11x - 13y = 0 y 6x - 7y = 2.

Para poder eliminar una variable de forma cómoda, multiplicamos por 6 y por 11 ambas igualdades, obteniendo 66x - 78y = 0 y 66x - 77y = 22. Despejando y substituyendo, o eliminando, llegamos a que y = 22. Con este valor y la igualdad más sencilla del párrafo anterior, tenemos que 6x = 2 + 7*22 = 156. De esta forma, x = 26.

Podemos apreciar que 26/22 es igual a 13/11, y que 28/24 equivale a 7/6.

Cuando su hijo acabe la enseñanza secundaria, tendrán 17 años más, es decir, 43 y 39 años.

domingo, 13 de enero de 2008

Juego de magia con números

Enunciado

Este problema me trae muchos recuerdos. Es el primer problema que usé para enseñar a un grupo de alumnos a resolver problemas, cerca de 1989.

Vamos a probar si funciona. Supongamos que hemos elegido el número 354. Repetirlo dos veces sería formar el número 354354. Dividirlo entre 7 proporciona el número 50622, y es una división exacta, como dice el enunciado. Si ahora dividimos este resultado entre 11, obtenemos 4602, y de nuevo la división es exacta. Por último, tratamos de dividir este número entre 13, y resulta 354, de nuevo de forma exacta. El asombroso resultado está a la vista. ¡Hemos obtenido de nuevo el número de 3 cifras de partida!

Cuando tratamos de explicar algo que sucede, o encontrar una regla general, conviene usar los números más pequeños posible, y vamos a intentar hacerlo también en este caso. ¿Cuál es el número más pequeño que podemos elegir con tres cifras? A muchos se les ocurrirá el 100, y es muy probable que usando ese ejemplo lleguen a la conclusión correcta, pero yo voy a forzar el enunciado, haciendo aún más evidente lo que pasa, eligiendo el número de tres cifras 001.

Si repetimos ese número dos veces obtenemos el 001001, es decir, el 1001. Dividirlo entre 7 proporciona 143. Dividir 143 entre 11, da 13. Y, evidentemente 13 entre 13 da 1, que es 001, el número inicial. ¿Es o no más claro porqué sucede esto? Evidentemente, lo que pasa es que 1001 = 7*11*13.

¿Qué tiene que ver esto con nuestro problema? Si multiplicamos cualquier número de tres cifras (representemoslo como ABC) por 1001 obtenemos un número de seis cifras, en la que tanto las tres primeras como las tres últimas coinciden con las tres cifras iniciales (de la forma ABCABC). Este resultado es fácil de demostrar pensando en que 1001 = 1000 + 1, y aplicando la propiedad distributiva (ABC*(1000 + 1) = ABC*1000 + ABC).

De forma que da lo mismo repetir dos veces nuestro número de 3 cifras que multiplicar por 1001, y eso es lo mismo (por la factorización 1001 = 7*11*13) que multiplicar nuestro número por 7, por 11 y por 13. No es, por tanto, extraño, que si dividimos por esos tres factores dé exacto, y además obtengamos al final el mismo número de tres cifras inicial.

También podríamos haber obtenido la pista clave (que 1001 = 7*11*13) si realizamos las operaciones contrarias a las que nos pide el problema, es decir, reconstruimos el número por el que dividimos a nuestro número de seis cifras, multiplicando 7*11*13.

jueves, 10 de enero de 2008

La gran comida

Enunciado

Este es, básicamente, un problema de proporciones, de forma que es sencillo resolverlo si conoces el significado del producto y la división. Si tienen que comer 15 personas y comen 425 gramos cada uno, deberíamos tener más de 6 kg (400*15 = 6000), tal vez algo más (concretamente, 425*15 = 6375, es decir, nos sobraría un poquito). Por lo tanto, la primera respuesta es que necesitamos el cerdo grande.

Como nos cobran 6 euros por kilogramo, 6*6,5 = 39, luego deberían cobrarnos 39 euros. Como el tiempo de cocción es también proporcional, según dice el problema, al peso, habrá que multiplicar. Decir que son 22 minutos por medio kilogramo es lo mismo que decir 44 minutos por un kilogramo, y 44*6,5 = 286, por lo que necesitaremos 286 minutos, es decir, cuatro horas y 46 minutos. Tendremos que empezar a cocinar cuatro horas y 46 minutos antes de las 2 del mediodía, que sería a las 9 de la mañana y 14 minutos. Para calcularlo, es sensato representar las 2 de la tarde como las 13 horas y 60 minutos de la mañana, y después restar.

Por último, nos enfrentamos a otra proporción. Si necesitamos 4 huevos para 6 personas, y tenemos que dar de comer a 15, podemos dividir 4 entre 6 para saber cuantos huevos come cada persona, y después multiplicar el resultado por 15, pero en este caso es más sencillo si nos damos cuenta que 15 en realidad son dos veces y media 6, es decir, que necesitaremos dos veces y media más huevos, que son 10 huevos. De la misma forma, dos veces y media 200 gramos de chocolate son 500 gramos de chocolate. Sin embargo, si nos es difícil representar cuántas veces más personas hemos de alimentar, a veces tendremos que recurrir a la división y la multiplicación que se ha mencionado antes.

domingo, 6 de enero de 2008

Sumas de primos y cuadrados

Enunciado

Cuando leí el enunciado, me puse a buscar, entre los números más bajos, ejemplos que no fuesen sumas de un primo más un cuadrado. Como los cuadrados son fáciles de obtener, me limité a tomar un número y restarle cuadrados para ver si el resultado era o no primo.

De esta forma, obtuve que los números 10, 25, 34, 58 y 64 tienen esta propiedad, aunque en algún caso, como 55 = 19 + 36, cuesta encontrar los sumandos más de la cuenta. No parecía haber ninguna forma sencilla de encontrar más de estos números, pero, claro, no tienes que descubrirlos todos. En realidad basta encontrar una regla segura que nos permita generar una cantidad infinita mediante un método.

Pensando en cómo había sometido a prueba a mis números, pensé en la expresión x - n2 = p. Si podía factorizar esa expresión, podría aplicar la propiedad fundamental de los números primos, ser divisibles sólo por ellos mismos y la unidad.

Siempre que hay un cuadrado restando, podemos recordar la expresión "diferencia de cuadrados". Claro, que para eso, x debe ser un cuadrado. Eso no importa, porque hay infinitos cuadrados. Así, m2 - n2 = (m + n)(m - n) = p. Ahora bien, si un producto es igual a un primo, uno de los dos factores ha de ser uno, de forma que m - n = 1 (m + n seguro que es mayor). De esta forma, m + n = m + m - 1 = 2m - 1 = p. Luego el doble de m menos 1 debe ser primo.

Está claro que eso no sucede siempre, por eso 25 y 64 salen en la lista (10 - 1 = 9, 16 - 1 = 15), pero 9 y 36 no (6 - 1 = 5, 12 - 1 = 11). ¿Podremos encontrar una cadena de valores infinita a la que le suceda ésto?

La verdad es que no es difícil. Basta buscar series impares que no sean primos (por ejemplo, de la forma 6k + 3, que siempre son divisibles por 3 e impares), encontrar el m correspondiente (en nuestro ejemplo, 3k + 2). Con esto, nos aseguramos que su cuadrado (9k2 + 12k + 4) es del tipo pedido. Para cualquier valor natural de k (mayor que 1). Y son infinitos, claro.

Veamos los pasos de la demostración. Si 9k2 + 12k + 4 = n2 + p, con p primo, tenemos que 9k2 + 12k + 4 - n2 = p. Como sabemos, eso sería equivalente a (3k + 2 - n)(3k + 2 + n) = p. Como uno de los dos factores ha de ser igual a 1, y el segundo es claramente mayor, tenemos que 3k + 2 - n = 1, por lo que n = 3k + 1. Pero entonces 3k + 2 + n = p, y 3k + 2 + 3k + 1 = 6k + 3 = 3(2k + 1), por lo que 3 = p y 2k + 1 = 1, es decir k = 0. Lo cual es claramente absurdo.

jueves, 3 de enero de 2008

Simetrías en un triángulo

Enunciado

Puntos simétricos y triángulo

Puntos simétricos y triángulo

Si dibujamos la situación que se nos pide en el ejercicio, y añadimos las líneas perpendiculares a los lados que llevan de cada vértice a su simétrico, veremos pronto que (si el triángulo inicial es rectángulo en A), ABC y AB'C' son, realmente, el mismo triángulo girado.

Mi primera intención para estudiar el área fué dividir el triángulo en zonas y estudiarlas por separado. Evidentemente, ésta zona tenía la misma área que el triángulo original, pero fui incapaz de encontrar nada interesante del resto del triángulo A'B'C'.

Completando la altura

Completando la altura

Sin embargo, cuando traté de calcular el área de este triángulo, me llevé una sorpresa. No puedo conocer fácilmente a partir del primer triángulo los lados B'A' y A'C', pero sí el B'C'. Además, al dibujar su altura, me llevé una gran sorpresa. Observa (línea en rojo) que está alineada con la altura del triángulo original, que coincide con la mitad de la línea entre A y A'. Por supuesto, eso quiere decir que la altura del triángulo A'B'C' es el triple que la altura del triángulo ABC, teniendo ambos la misma longitud de base. Evidentemente, esto significa que el área de A'B'C' es triple que la de ABC.

Al parecer, para que se dé esa igualdad, es necesario que el triángulo sea rectángulo. Si usas en su lugar un equilátero, por ejemplo, el área del triángulo generado es cuatro veces mayor que el original, como es fácil de apreciar.