domingo, 27 de septiembre de 2009

¡Nos vamos al cine!

Enunciado

Este problema se interpreta como que cada uno, desde un vértice del triángulo, recorre dos lados para recoger a los dos compañeros. Así, tenemos que, si los vértices del triángulo les llamamos con las iniciales de los nombres de los amigos, Antonio, Bernardo y Carlos, Antonio recorre AB y BC, un total de 14 km., Bernardo recorre BC y CA, en total, 18 km., y Carlos, recorre CA y AB, 16 km.

Si no se te ocurre otra forma, puedes hacer un sistema de ecuaciones, pero si sumas todos los resultados, tienes que AB + BC + BC + CA + CA + AB = 14 + 18 + 16 = 48, y has sumado los tres lados dos veces cada uno. De esta forma, los tres lados suman 24 km, y restando podemos saber que AC = 24 - (BC + CA) = 6, que BC = 24 - (CA + AB) = 8 y que BA = 24 - (AB + BC) = 10.

Ahora que sabemos que se trata de un triángulo de lados 10, 8 y 6, podríamos pensar en calcular su altura desde una base, o en aplicar la fórmula de Herón para calcular el área a partir de sus lados, pero antes hay que probar la fórmula de Pitágoras, para ver si por casualidad es rectángulo, ya que 36 + 64 = 100 (en realidad se trata de un triángulo semejante al histórico 3, 4, 5). De esta forma se puede calcular su área situando un cateto como base y otro como altura, dando 6*8/2 = 24 kilómetros cuadrados.

jueves, 24 de septiembre de 2009

Seguimos la pista...

Enunciado

Si miras los comentarios, verás que Lluís Usó me ha dejado, de nuevo, sin trabajo, dando una solución muy completa.

Lo que debo comentar es que en las sucesiones rara vez la solución es única, porque casi siempre existe otra sucesión tan lógica como la que el autor estaba pensando, y que responde perfectamente a los primeros números.

Sin embargo, hay un truco que te puede sugerir el tipo de sucesión que el autor pensaba, que consiste en hallar las diferencias. Si hay signos, se pueden considerar por separado, ya que normalmente cumplen una función decorativa o de despiste. Por último, también suele ser útil considerar los factores que aparecen en la descomposición.

La primera sucesión está claro que tiene un signo que cambia de positivo a negativo, y viceversa, cada vez. Si quitamos este símbolo, las diferencias de un número con el siguiente son siempre 4, por lo que es fácil continuar: 23, -27, 31.

En la segunda sucesión el método de las diferencias no nos dice nada. Si probamos con la factorización, rápidamente nos puede indicar que se trata de 22, 33, 44, ... Si disponemos de una calculadora, rápidamente obtendremos los siguientes términos: 823543, 16777216 y 387420489 (aunque tendríamos problemas para hallar este último con una calculadora de 8 cifras).

La siguiente sucesión da una diferencias de 5, 7, 9 y 11, lo que a suvez tiene unas diferencias siempre iguales a 2. La siguiente diferencia, entonces sería 13, luego 15 y luego 17, es decir, que los términos que buscamos los podemos obtener sumando a 35 + 13 = 48, 48 + 15 = 63 y 63 + 17 = 80. también es cierto que podríamos haber observado que si le añadimos 1 a cada término, obtenemos un cuadrado perfecto.

La siguiente sucesión, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 es muy famosa, pero aunque no la conozcas, observarás que sus diferencias son de nuevo 0, 1, 1, 2, 3, 5, de forma que podemos aplicarlo para obtener los siguientes, 13 + 8 = 21, 21 + 13 = 34, 34 + 21 = 55. En realidad, se llama la sucesión de Fibonacci, y cada término se obtiene sumando los dos anteriores.

Y la última, las diferencias no dan muchas pistas, y las factorizaciones nos indican que todos son primos. Es fácil ver que no hay más primos entre ellos, por lo que rápidamente podemos concluir que son los números primos a partir de 29, es decir que los siguientes serán 53, 59 y 61.

lunes, 21 de septiembre de 2009

Puntos especiales de un triángulo

Enunciado

Vamos a trabajar, dados cuatro puntos A, B, C y P, qué significa que 1 ≤ APB/ACB ≤ 2.

En primer lugar, ACB ≤ APB, significa, puesto que tienen el mismo extremo AB, que están dentro del arco de circunferencia que define el ángulo ACB al variar C. Observa que sobre la circunferencia, el ángulo permanece constante, pero en el interior es mayor el ángulo, y en el exterior es menor.

Zona que cumple una condición

Zona que cumple una condición

Por otro lado, APB ≤ 2*ACB. Si pensamos en el ángulo ACB inscrito en una circunferencia, conocemos un punto en el que el ángulo es igual a 2*ACB, el centro de dicha circunferencia. Si queremos estudiar en qué puntos permanece constante ese ángulo, trazaremos un arco que contenga a ese centro y tenga AB por segmento. Los puntos en el exterior de ese arco formarán un ángulo menor que 2*ACB, y los del interior, formarán un ángulo mayor.

Si queremos que ambas condiciones se cumplan, los puntos P estarán en el interior de una especie de luna (lúnula) que forman los puntos de un arco que no están en el otro, incluyendo (debido al símbolo menor o igual) los puntos de las circunferencias. si además, imponemos que estén en el interior del triángulo, serán los puntos de esa lúnula que estén en el triángulo.

Con las tres condiciones

Con las tres condiciones

Si ahora añadimos la misma condición para los otros tres vértices, habrá que dibujar los puntos que cumplan condiciones equivalentes para los otros tres vértices. Observa que el centro de la circunferencia circunscrita será el mismo, el circuncentro del triángulo (es interno al triángulo por ser acutángulo).

El resultado sería un conjunto de puntos exterior a las tres circunferencias que pasan por el circuncentro y por dos de los tres vértices. Como cada par de ellas comparte dos puntos (el centro y uno de los vértices), no puede haber dos tangentes, por lo que delimitan en el interior del triángulo seis zonas, ninguna de las cuales es exterior a todas las circunferencias (es mas, tres de ellas son interiores a dos de las circunferencias). en cuanto a los puntos de las propias circunferencias, todos los del interior del triángulo están también dentro de alguna de las circunferencias, excepto el propio circuncentro.

Por lo tanto, el único punto que cumple las condiciones pedidas es el circuncentro.

viernes, 18 de septiembre de 2009

Números triangulares

Enunciado

Si hacemos una cuantas pruebas con números bajos, nos daremos cuenta de que, en realidad, T10 - T4 es la suma 5 + 6 + ... + 10, es decir, la suma de los 10 - 4 = 6 números consecutivos a partir de 4, es decir, que Tm - Tn es la suma de los m - n números consecutivos a partir de n (sin incluir éste), y hasta m.

Supongo que conocerás la anécdota sobre Gauss que cuenta cómo sumó los 100 primeros números rápidamente, al observar que los de los extremos sumaban lo mismo que los siguientes, y que los otros, etcétera. En este caso, podemos hacer algo parecido.

Si buscamos, por ejemplo, sumar 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10, podemos darnos cuenta de que 5 + 10 suma lo mismo que 6 + 9, o que 7 + 8, es decir, que sumamos tres veces 15, o lo que es lo mismo, 6*15/2 (la suma del primero más el último, por el total de números dividido entre dos). La fórmula es válida también en el caso en que el número de sumandos sea impar, debido a que el central es exactamente la mitad de la suma repetida.

Aprovechando esta curiosa propiedad, podemos ver de cuántas maneras se puede poner 2008 de la forma a*b/2, estudiando la descomposición de 4016, que es el doble.

Observa otra curiosa situación, que o bien la suma de los números, o bien la cantidad de ellos es impar, así que las potencias de dos deberán ir siempre en uno sólo de los dos factores.

Como 4016 = 2*2*2*2*251, las únicas descomposiciones válidas son 4016 = 1*4016 y 4016 = 251*16, es decir, que 2008 = 1*4016/2 y que 2008 = 16*251/2, o sea que 2008 sea la suma de un único sumando (2008), que conseguiremos como T2008 - T2007 o que sea suma de 16 números.

En este último caso se observa que agrupándolos por pares sumen 251. Sabremos de qué números se trata observando que los dos centrales son prácticamente iguales, y estarán a ambos lados de 251/2, es decir que serán 125 y 126. Hay 7 delante y 7 detrás, que serán desde el 118 al 133. Podemos comprobar que 118 + 119 + 120 + 121 + 122 + 123 + 124 + 125 + 126 + 127 + 128 + 129 + 130 + 131 + 132 + 133 = 2008 = T133 - T117.

Estos son los únicos dos pares buscados, T2008 - T2007 y T133 - T117.

domingo, 13 de septiembre de 2009

Noventanos

Enunciado

Efectivamente, como dice Lluís en los comentarios, hay que suponer que estamos en la tierra, por lo que las 90 horas de los noventanos equivaldrán a las 24 del resto del mundo, pero no sólo eso, si no que el día comienza para ellos al mismo tiempo que para nosotros, es decir, a las 0:00 horas nuestras también son las 0:00 para ellos.

Como no se dice nada sobre esto, supondremos que sea así. De esta manera, para convertir horas (y minutos, y segundos) utilizaremos reglas de tres (proporciones, en lenguaje técnico).

Así, a la 1:00 en nuestro horario de 24 horas, hemos de convertir una fracción de 1/24 del total en fracciones de denominador 90. Dicho de otra forma, si pasa una de 24 ¿cuántas pasarían de 90? LA respuesta es dividir 90 entre 24, es decir, que sería 3 y "algo más". Ese "algo mas" (0,75) se multiplica por 90 para saber cuántos minutos noventanos han pasado, y resultan 67 minutos noventanos "y medio", lo que significan 45 segundos noventanos. Entonces, la respuesta sería que a la 1:00 para el resto del mundo, para los noventanos serían las 3:67:45, es decir, las 3 horas, 67 minutos y 45 segundos.

Para las 18 horas, 32 minutos, la cosa no es tan fácil, ya que los 32 minutos hay que expresarlos como fracciones de hora (32/60 = 0.533333), y entonces, las 18,5333333 hay que dividirlas entre 24 y multiplicarlas por 90. Usando la calculadora, se reduce a 69 horas noventanas y media, es decir, 45 minutos noventanos. En resumen, las 18:32 nuestras serán las 69:45 noventanas.

Por último, las 19:00 en la hora noventana, para traducirse a nuestro formato horario, deberá dividirse entre 90 y multiplicarse por 24, lo que dará 5,06666. La parte decimal, de nuevo, deberá transformarse en minutos, multiplicando por 60, lo que dará 4 minutos. Así, las 19:00 noventanas equivaldría a las 5:04 de nuestro sistema horario.

Como vemos. de nuevo Lluís ha sido preciso en sus cálculos.

jueves, 10 de septiembre de 2009

La parcela

Enunciado

Primer paso en la parcela

Primer paso en la parcela

Varios lectores han dado su solución, y han acertado, pero este problema no debe ser resuelto utilizando ecuaciones, ya que muchos de los participantes en este nivel no las conocen.

El único comentario que, hasta el momento, lo ha resuelto con otro sistema, ha sido el de Lluís Usó, que ha usado el truco de tratar de resolverlo como si fuesen pesos en una balanza (de estos problemas hay muchos), poniendo en cada lado piscinas, casas o jardines como le interesaba manteniendo el equilibrio. El resultado me ha parecido tremendamente original.

Otra manera de verlo es geométrica, explotando poco a poco la información que nos dan. En el primer dibujo podemos ver representado en una parcela rectangular, el jardín por un lado y por otro el espacio que ocupan casa y piscina, que dicen ser iguales.

Segundo paso de la división

Segundo paso de la división

En segundo lugar, nos fijamos en que la casa es igual a medio jardín y una piscina, de forma que hemos dibujado medio jardín dentro de la casa, y hemos dejado sin rellenar el espacio que ocupan el resto de la casa y la piscina.

Y por último, viene la fase más delicada, que es el momento en que nos damos cuenta que en ese espacio sin delimitar caben exactamente dos piscinas, la de verdad, y la que cabe dentro de la casa junto con el medio jardín.

División final de la parcela

División final de la parcela

En este dibujo podemos apreciar claramente las proporciones entre casa, jardín y piscina, de forma gráfica. Así, observamos que la piscina ocupa la mitad de medio jardín, es decir, que el jardín ocupa lo que cuatro piscinas, y que la casa ocupa lo que tres piscinas. Y como la piscina se nos dice en el problema que mide 30 metros cuadrados, resulta que la casa ocupa 90, el jardín 120, y la parcela en su totalidad 240 metros cuadrados.

Otra forma de abordarlo puede ser tantear los diferentes valores para ver si cumplen las igualdades, no al azar, si no de manera inteligente hasta forzar todas las condiciones. Éste método lo han seguido algunos de los que participaron en la fase. Podemos ver algunas respuestas siguiendo este enlace.

domingo, 6 de septiembre de 2009

Sumandos numerosos

Enunciado

Cuando se trata de hacer sumas muy grandes, evidentemente hay que tratar de simplificar el proceso agrupando adecuadamente los sumandos, que en muchos casos se simplificarán, bien transformándose en cero, bien en otro número entero, o en una fórmula del tipo de las de una progresión aritmética o geométrica.

El único paso problemático en este caso es buscar los términos que nos permiten hacer el agrupamiento adecuado.

Para no trabajar con valores tan grandes como los sugeridos por el problema, podemos tratar con números algo más pequeños, por ejemplo, sumando h(1/5) + h(2/5) + h(3/5) + h(4/5).

En realidad, 5/(5 + 25t) se puede escribir como 5/(5 + 52t), ya que 25 es 52, y si observamos que el factor 5 aparece en el numerador y el denominador de la fracción, podemos ponerla como 1/(1 + 52t-1).

De esta forma, la suma de cuatro términos que hemos descrito anteriormente, queda con los exponentes -3/5, -1/5, 1/5 y 3/5, es decir, como la suma 1/(1 + 5-3/5) + 1/(1 + 5-1/5) + 1/(1 + 51/5) + 1/(1 + 53/5).

Si tratamos de agruparlos de varias formas, pronto descubriremos que lo más ventajoso es agrupar 1/(1 + 5-3/5) con 1/(1 + 53/5) y 1/(1 + 5-1/5) con 1/(1 + 51/5), ya que 1/(1 + 5-1/5) + 1/(1 + 51/5) = (1 + 5-1/5 + 1 + 51/5)/((1 + 5-1/5)(1 + 51/5)) = (2 + 5-1/5 + 51/5)/(1 + 5-1/5 + 51/5 + 1)) = (2 + 5-1/5 + 51/5)/(2 + 5-1/5 + 51/5) = 1.

De la misma forma, 1/(1 + 5-3/5) + 1/(1 + 53/5) = (1 + 5-3/5 + 1 + 53/5)/((1 + 5-3/5)(1 + 53/5)) = (2 + 5-3/5 + 53/5)/(1 + 5-3/5 + 53/5 + 1)) = (2 + 5-3/5 + 53/5)/(2 + 5-3/5 + 53/5) = 1, así que la suma de los cuatro términos es en realidad 2.

Retomando ahora nuestra situación inicial, si agrupamos el primer término y el último, el segundo y el penúltimo, y así sucesivamente, tendremos que agrupamos h(a/2009) con h((2009-a)/2009). Siguiendo el argumento anterior, tendremos que sumar 1/(1 + 5(2a-2009)/2009) con 1/(1 + 5(2009-2a)/2009). Observamos que, de nuevo, los exponentes son opuestos.

Cuando los sumemos obtendremos 1/(1 + 5(2a-2009)/2009) + 1/(1 + 5(2009-2a)/2009) = (1 + 5(2a-2009)/2009 + 1 + 5(2009-2a)/2009)/((1 + 5(2a-2009)/2009)(1 + 5(2009-2a)/2009)) = (2 + 5(2a-2009)/2009 + 5(2009-2a)/2009)/(1 + 5(2a-2009)/2009 + 5(2009-2a)/2009 + 1)) = (2 + 5(2a-2009)/2009 + 5(2009-2a)/2009)/(2 + 5(2a-2009)/2009 + 5(2009-2a)/2009) = 1.

De esta forma, tenemos 1004 pares de sumandos, cada uno de los cuales suma 1. Por tanto, la suma del enunciado es 2*1004 = 2008.

jueves, 3 de septiembre de 2009

La cruz sombreada

Enunciado

Media cruz en un cuadrado

Media cruz en un cuadrado

La clave en todos los problemas de cálculo de áreas compuestas consiste en descubrir cómo podemos construir la figura o una parte de ella a partir de figuras elementales. En este caso, podemos trazar la mitad de la cruz dibujando sólo el cuadrado y cuatro de los círculos, de la forma que aparece en la imagen.

Los dos círculos grandes, que pasan por el centro, tienen por radio la mitad de la diagonal del cuadrado, y el radio aparece en dos posiciones diferentes, sobre la diagonal y sobre los lados del cuadrado. Esta mitad de la diagonal mide, aplicando el Teorema de Pitágoras, la raíz cuadrada de 8 partida por 2, lo que equivale a la raíz cuadrada de 2.

Y la parte restante de los lados es el radio de la otra circunferencia, 2 - √2.

Así que el área de la figura es el área del cuadrado menos el área de los cuatro cuartos de circunferencia, es decir, 4 - 2π/2 - (2 - √2)2π/2.

La expresión (2 - √2)2/2 se puede transformar en (4 - 4√2 + 2)/2 = (6 - 4√2)/2 = 3 - 2√2.

De esta forma, el área de esa media cruz, quedaría como 4 - π - 3π + 2π√2 = 4 - 4π + 2π√2, que vale aproximadamente 0,3194 unidades cuadradas.

Y el área completa sería 8 - 8π + 4π√2, que aproximadamente valdría 0,6388 unidades cuadradas.

Nota: corregido el resultado final gracias a un comentario de caleb