miércoles, 25 de abril de 2012

Las cerillas

Enunciado

Últimamente ando un poco lento en hacer las entradas. Trataré por lo menos de redactarlas claramente.

En este ejercicio es fundamental entender bien cómo se hacen las operaciones. En cada una de ellas se duplica el número de cerillas de un montón, quitándolas de otro.

Como al final quedan los tres montones iguales, sabemos que en cada uno de ellos habrá 16 cerillas, ya que no se ha perdido ninguna en el proceso.

Vamos a proceder a una especie de vuelta atrás para deshacer todo el proceso, puesto que las operaciones son reversibles.

Entonces, deshacer el último paso consiste en dejar al primer montón con 8 cerillas y pasar las otras ocho al tercer montón, que pasa a tener 24.

El paso anterior se realiza entre los montones dos y tres, quitando la mitad de las 24 al tercero, que son 12, y dejándolos en el montón segundo, que pasa a tener 28.

Por último, el primer paso se deshace tomando la mitad de las cerillas del montón segundo, que ahora tiene 28 y pasa a tener 14, y poniéndolas en el primer montón, que pasa de tener 8 a 22.

En resumen, que al principio tenemos un primer montón con 22 cerillas, un segundo con 14, y un tercer montón con 12.

martes, 17 de abril de 2012

Entrega de diplomas

Enunciado

La idea para resolver este problema consiste en tratar de encontrar al principio un número que cumpla alguna de las condiciones, e ir después exigiéndole más.

Un número que al dividir entre dos da un resto de 1, es un número impar.

Fácilmente comprobamos que si queremos que además su resto al dividirlo entre 3 dé 1, debe ser de la forma 7, 13, 19, 25,... El hecho de que vayan de 6 en 6 es crucial. Debemos pensar que, si quitásemos un único alumno, podríamos dividirlo de forma exacta entre 2 y entre 3, es decir, entre 6. Eso significa que los números que cumplen esta propiedad son los posteriores a los múltiplos de 6.

Para que suceda lo mismo al agrupar de cuatro en cuatro, debemos buscar los posteriores de los múltiplos de 12 (13, 25, 37, etc.).

Es evidente que sucederá lo mismo automáticamente al hacer grupos de 6 (sobrará uno para hacer grupos completos), pero si queremos que también suceda al agrupar de cinco en cinco, buscaremos los números posteriores a los múltiplos de 60, ya que es el múltiplo más pequeño de 12 y 5.

Así, tendremos que el número buscado pertenece a la familia 61, 121, 181, y demás. Pero queremos que sea múltiplo de 7, para que sí se puedan agrupar de 7 en 7.

Para esto no hay otro sistema sencillo que el ensayo de todos los números para ver cuál es el que nos interesa (siempre que quede por debajo de 400).

El único número que cumple esta condición es el 301, como ha escrito mucha gente en los comentarios.

miércoles, 4 de abril de 2012

Partículas en movimiento

Enunciado

Partición del prisma

Partición del prisma

En este tipo de problemas, una de los métodos más eficaces es tratar de compartimentar los puntos en figuras más pequeñas en las que puedas garantizar distancias similares a las que buscas.

En este caso particular, podemos dividir el espacio de dentro del prisma en cuatro prismas triangulares, de forma que las dos bases del prisma grande quedan divididas en cuatro triángulos regulares iguales (ver la figura).

Dentro de cada prima pequeño (las bases son triángulos de lado 30, y la altura es de 40, como el original), la distancia mayor que puede encontrarse entre dos puntos es la diagonal de uno de los rectángulos de los lados, cuya distancia es precisamente 50 centímetros (que podemos calcular con el teorema de Pitágoras).

Como el número de prismas es 4 y tenemos cinco partículas, con seguridad hay dos en uno de ellos, por lo que se garantiza así que la distancia entre ambas es de 50 centímetros.

Como el enunciado exige que la distancia sea menor que 50, debemos razonar un poco más. En el peor caso, las dos partículas más próximas ocuparán los vértices de uno de los lados del prisma. Eso obliga a que al menos una de ellas estará en dos prismas a la vez (pues estará en la pared común), y a su vez obliga a que alguno de los otros prismas vecinos estén más próximas de lo debido. Sobre el dibujo podemos marcar las posiciones en las que queramos situar partículas y comprobar que siempre hay dos sobre la misma arista de uno de los prismas.