lunes, 2 de julio de 2012

Esferas amontonadas

Enunciado

¿Cómo se construye una fórmula? Una de las cosas que se deben aprender en el tema de sucesiones y progresiones aritméticas y geométricas es a construir fórmulas. En realidad, a lo que aprendemos muchas veces es a utilizar unas pocas que aprendemos de memoria.

Podemos crear las fórmulas apropiadas de varias formas, el método que voy a emplear es el método de las diferencias, que consiste en ver cómo aumenta la cantidad de uno al siguiente. Voy a ir despacio para que pueda verse la lógica que se encuentra detrás.

Necesitamos ver cómo manejar fórmulas para representar varias cosas. Empezaremos por construir una fórmula apropiada para representar la cantidad de esferas que hay en un triángulo equilátero de esferas de lado n. Puesto que hay en una fila 1, en la siguiente 2, y así hasta n, podemos verlo como una suma de una progresión aritmética de primer término 1 y de diferencia 1, pero voy a hacerlo de una forma alternativa. La diferencia entre un triángulo de lado n y el siguiente (de lado n + 1) es exactamente n + 1 esferas, es decir, que basta construir una fórmula de forma que su diferencia sea apropiada. Puesto que la diferencia es de 1er grado, uso una genérica de segundo grado, de la forma p(n) = an2 + bn + c. Así, p(n + 1) = a(n + 1)2 + b(n + 1) + c, y p(n + 1) - p(n), desarrollando y restando, es 2an + a + b = n + 1 para todo n, de donde obtenemos que a = 1/2 y b = 1/2. Ya tenemos que p(n) = n2/2 + n/2 + c. Usando un valor concreto (sabemos, por ejemplo, que p(1) = 1 o que p(2) = 3, es claro que c vale 0. Y ya tenemos que p(n) = n2/2 + n/2 = n(n + 1)/2.

En segundo lugar, veremos cuántas esferas forman una pirámide de lado n. Esta fórmula en realidad no es necesaria, pero servirá para ilustrar más el método que seguimos para construir fórmulas.

La diferencia entre una pirámide de lado n y una de lado n + 1 es exactamente un triángulo de lado n + 1, que, según hemos visto, es p(n + 1) = (n + 1)2/2 + (n + 1)/2. Desarrollando esta fórmula obtenemos p(n +1) = n2/2 + 3n/2 + 1. Es decir, que si llamamos q(n) al número de esferas de la pirámide, tenemos que q(n +1) - q(n) = n2/2 + 3n/2 + 1. Por eso, necesitamos que q(n) sea una fórmula de tercer grado, an3 + bn2 + cn + d. De nuevo, haciendo q(n + 1) - q(n), desarrollando y agrupando términos, tenemos que a(n + 1)3 + b(n + 1)2 + c(n + 1) + d - an3 - bn2 - cn - d = an3 +3an2 + 3an + a + bn2 + 2bn + b + cn + c + d - an3 - bn2 - cn - d = 3an2 + (3a + 2b)n + a + b + c. Esta fórmula debe ser igual, para todo n, a n2/2 + 3n/2 + 1, por lo que necesitamos que los coeficientes sean iguales, es decir, que 3a = 1/2, que 3a + 2b = 3/2, y que a + b + c = 1. De nuevo, la d la obtendremos de valores concretos. Con un poco de paciencia, obtenemos que a = 1/6, b = 1/2 y c = 1/3. Dando el valor q(1) = 1, o q(2) = 4, tenemos que d = 0. Es decir, que la fórmula adecuada es q(n) = n3/6 + n2/2 + n/3. Esta fórmula se puede factorizar como q(n) = n(n + 1)(n + 2)/6.

Antes de empezar en serio, una última fórmula: cuántos puntos de tangencia hay en un triángulo de lado n de esferas. De nuevo supongamos que tenemos la fórmula c(n) de esos puntos de tangencia, y veremos cuántos se añaden cuando pasamos de c(n) a c( n + 1). Evidentemente, hay que añadir una nueva fila de n esferas. Añadir la primera produce un nuevo punto de contacto, las n - 1 esferas siguientes añaden tres puntos de contacto cada una, ya que tocan tanto con la anterior, como con las dos del triángulo que existía. Por último, la última esfera añade dos puntos de contacto más. En total, c(n + 1) - c(n) = 1 + 3*(n - 1) + 2 = 1 + 3n - 3 + 2 = 3n. Deducimos entonces que el número de puntos de contacto debe ser un polinomio de segundo grado, an2 + bn + c. De esta forma, c(n + 1) - c(n) = 2an + a + b, como ya vimos, y para que 2a = 3 y a + b =0, tenemos que a = 3/2, y b = -3/2. Valorando que c(1) = 0, tenemos que c = 0, es decir, que la fórmula es c(n) = 3n2/2 -3n/2 = 3n(n -1)/2.

Vamos ya con el problema que nos interesa. Si llamamos d(n) al número de contactos entre las esferas de una pirámide de lado n, al pasar a n + 1, lo que hacemos es añadir un triángulo de lado n + 1. Eso significa que añadiremos todos los puntos de contacto de un triángulo de lado n + 1 y cada una de las esferas del triángulo que forma la última capa (un triángulo de lado n) tendrá tres puntos de contacto nuevos. En total, d(n + 1) - d(n) = c(n +1) + 3*p(n) = 3(n + 1)2/2 -3(n + 1)/2 + 3*(n2/2 + n/2) = 3n2/2 +3n2/2 + 6n/2 - 3n/2 +3n/2 + 3/2 - 3/2 = 3n2 + 3n.

De nuevo tenemos un polinomio de grado 3, d(n) = an3 + bn2 + cn + d, y en ese caso, d(n + 1) - d(n) = 3an2 + 3an + 2bn + a + b + c = 3an2 + (3a + 2b)n + a + b + c, por lo que 3a = 3, 3a + 2b = 3, y a + b + c = 0. Por tanto a = 1, b = 0 y c = -1. Nos queda determinar d, para lo que podemos usar, por ejemplo, que para n = 2 vale 6 el número de contactos, por lo que d vale 0, y la fórmula es d(n) = n3 - n.