La serie que piden en el primer apartado es 2012, 9, 81, 65, 41, 17, 50, 25, 29, 85, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89,... y así sucesivamente, es decir, que a partir del décimo primer número, el 89, comienza una repetición de 8 números que siempre serán idénticos en su valor y posición.
Evidentemente, la posición 2012 la ocupará el mismo número que la 2004, ya que se repiten de ocho en ocho, así que viendo que podemos restar cualquier múltiplo de 8, podemos llegar a que este número es el mismo que ocupa la posición 404, o que el que ocupa la posición 12, que es el 145. Esto es así porque 12 - 2012 = 2000, que es un múltiplo de 8.
En el segundo apartado, encontramos un problema muy diferente. Hay que contar de forma eficaz grupos de números. Además de hacerlo de la forma tradicional, que nos llevará un buen rato, podemos aplicar un poco de ingenio, tratando de sumar rápidamente. Al fin y al cabo, se trata de sumar 1 + 2 + 3 + 4 + ..., aumentando el resultado hasta llegar cerca del 2012.
Para sumar este tipo de sumas, conviene ordenarlas de 2 en 2, empezando por primero y último, y segundo y penúltimo, y así sucesivamente. De esta forma, nos damos cuenta de que se trata de sumar números iguales. Por ejemplo, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 1 + 6 + 2 + 5 + 3 + 4 = 7 + 7 + 7 = 3*7 = 21.
Este método sólo vale para valores pares, pero nos permitirá llegar a valores muy altos rápidamente. De esta forma, escribir hasta el 8 da 9*4 = 36, hasta el 10, 11*5 = 55 y así sucesivamente. Para llegar a las proximidades de 2000 necesitamos avanzar hasta el 60 (61*30 = 1830), y de ahí, pasamos al 62 (63*31 = 1953). Añadir los 63 números 63 nos llevará hasta la posición 1953 + 63 = 2016, por lo que el que ocupa la posición 2012 será con seguridad un 63.