Criterio de divisibilidad
La clave en este problema se puede obtener si estudiamos los restos de la división entre 7 de algunos de estos números.
Así, probando con algunos valores concretos, tenemos que el resto de dividir 1432 entre 7 es 4, mientras que si realizamos la operación indicada, tenemos 432 - 1 = 431, y el resto al dividir 431 entre 7 es también 4. De la misma forma, si dividimos 1432 entre 11, el resto es 2, y si dividimos 431 entre 11, también obtenemos un 2 de resto. Podemos comprobar que ocurre lo mismo si probamos con cualquier otro número y cualquiera de los tres factores a estudiar, 7, 11 o 13.
Si el resto es el mismo, sólo puede ocurrir que la diferencia entre ambos números es un múltiplo de los factores entre los que dividimos, así que debemos buscar una forma algebraica de representar esta diferencia, y comprobar nuestra hipótesis.
Distinguir las últimas tres cifras del número y las primeras en notación decimal podríamos representarlo algebraicamente como que n es de la forma 1000a + b, donde b son las últimas tres cifras y a las demás cifras (por ejemplo, 1432 = 1000*1 + 432). En ese caso, k sería de la forma b - a. Evidentemente, n - k sería 1000a + b - (b - a) = 1001a, y 1001 es un número que es igual a 7*11*13, con lo que es claramente múltiplo de los tres.
Puesto que la diferencia es un múltiplo de los tres primos, n es divisible entre cualquiera de ellos si y sólo si k lo es, como queríamos demostrar. Una versión muy similar a esta demostración aparece en los comentarios el enunciado.