lunes, 21 de octubre de 2013

Rellenando el tablero

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Si has manipulado algo con figuras redondas, sabrás que la forma más compacta de poner fichas consiste en crear filas de fichas apoyadas cada fila en dos fichas de la fila anterior, de forma que en las filas impares tendremos ocho fichas y en las pares una menos. El objetivo es tratar de poner alguna fila más dentro del tablero.

Si nos fijamos en tres fichas puestas de esta forma, descubrimos que se forma entre sus centros un triángulo equilátero que nos va a ayudar, con ayuda del Teorema de Pitágoras, a descubrir la distancia entre las filas.

En efecto, el triángulo equilátero tiene los lados de 3 centímetros, y si lo dividimos en dos partes iguales, se formará un triángulo rectángulo que tendrá una hipotenusa de 3 y un cateto de 1,5 centímetros. Aplicando Pitágoras, la altura, que es lo que nos interesa, al cuadrado, medirá 9 - 2.25 = 6.75, de forma que (con la calculadora) debe medir aproximadamente 2.598076211.

Así, las dos filas ocuparán un total de 3 + 2.598076211 = 5.598076211 (menos que 6), y dejarán algo de sitio libre en la segunda fila de casillas.

Si probamos ahora a unir más filas, encontramos que, por ejemplo, si ponemos tres filas, la altura máxima que usaremos será la suma de dos radios de las fichas más dos alturas del triángulo calculado previamente (3 + 2.598076211*2 = 8.196152423), dejando algo más de espacio en la tercera fila del tablero.

Sucesivamente, la cuarta fila añadirá otra altura del triángulo, midiendo 10.794228634. ¿cuántas filas caben en nuestro tablero? Pues bastará restar a sus 24 centímetros 3 y dividir el resultado entre las alturas de cada fila, 2.598076211. Eso hace un total de 8.082903769, es decir, que podemos poner en realidad 9 filas (y apenas sobrará sitio), es decir, que podemos poner 5 filas de 8 fichas y 4 de 7, lo que hace un total de 68 fichas.

Observa que hemos puesto 4 fichas más que si hubiésemos optado por poner una en cada casilla. Sin embargo, el espacio sobrante, si se pudiese aprovechar mediante un cuidadoso troceo de las fichas daría para poner 81 fichas y casi media, ya que si dividimos el área del tablero por las de las fichas obtenemos esta cantidad. Más de 13 fichas más. Pero no hay ninguna distribución que nos permita colocarlas sin romperlas.

sábado, 5 de octubre de 2013

La ropa

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Este problema es sencillo si ya has trabajado con álgebra, pero no lo es tanto si deben inventarse ellos la solución.

Hay dos enfoques. Si vamos añadiendo productos, podemos acumular varias veces lo que tenemos y tratar de pagar con las condiciones que nos ponen. Como queremos pagar un pantalón, un suéter y un abrigo, podemos pagar el suéter y el abrigo, 91€, y para pagar el abrigo, añadir otro conjunto igual, un pantalón, un suéter y un abrigo, de forma que nos queda por pagar dos pantalones, un suéter y un abrigo. Ahora, lo agrupamos como un pantalón más un abrigo y un suéter más otro pantalón. En total, costaría 91€ + 112€ + 55€ = 258€. Como hemos acumulado el doble de lo que queríamos, tenemos que las tres cosas cuestan la mitad de 158, es decir, 129€.

Como nos piden el precio por separado, basta restar los pares que sabemos lo que valen, es decir, el abrigo vale 129€ - 55€ = 74€, el pantalón vale 129€ - 91€ = 38€, y el suéter vale 129€ - 112€ = 17€.

El enfoque que hemos visto es similar a tratar de resolver un sistema por reducción.

El otro enfoque que se me ocurre, es tratar por tanteo el problema, es decir, comprobar que si suponemos que el pantalón vale un euro, por ejemplo, el suéter cuesta 54 (para que sumen 55) y el abrigo 111 (para que sumen 112), por lo que entre ambos deberían valer 165, no 91. Sin embargo, si subimos el precio del pantalón a 2 euros, entonces el suéter costaría 53 y el abrigo 110, en total 163. Estamos más cerca de 91, por lo que hay que subir el precio del pantalón mucho más, hasta que cuando vale 38€, obtenemos que el suéter vale 17€, y el abrigo 74€, como hemos visto en el método anterior.

Este enfoque sería similar al método de sustitución en los sistemas, y sería más sencillo de entender para la mayoría de alumnos.