domingo, 7 de febrero de 2016

Un triángulo con un extraño tipo de centro

Enunciado

Este problema no era tan difícil como para no obtener una buena puntuación. Si no fue así probablemente fue por el cansancio de realizar una prueba tan larga.

Mi forma favorita de enfrentar este tipo de problema es mediante geometría analítica. Si leemos bien el enunciado, seremos capaces de dar las coordenadas de tres puntos que cumplan las condiciones y acabaremos por dar respuesta al enunciado.

En primer lugar, voy a situar el punto donde concurren las tres rectas, bisectriz, altura y mediana, en el origen de coordenadas. La bisectriz, que pasa por A, será el eje X, con lo que el punto A, si lo represento hacia la derecha, tendrá unas coordenadas (a, 0) para algún número positivo a. La mediana, que pasa por B, será el eje Y, y si el punto B lo sitúo en la parte positiva, tendrá unas coordenadas (0, b) para algún número positivo b.

El lado AB tendrá, por tanto vector director (-a, b), y pendiente -b/a. Y como el eje X es la bisectriz del ángulo entre AB y AC, sabemos que el lado AC tendrá la pendiente opuesta (recuerda que la pendiente es la tangente del ángulo que forma el eje X con la recta o el vector). Si has dado producto escalar, también puedes razonar por productos escalares para obtener ese resultado.

Esto significa que el vector director del lado AC será (a, b), por lo que la ecuación de la recta será bx - ay = ba, ya que pasa por (a, 0). Eso significa que el punto de corte con la mediana ha de ser el (0, -b), y por ser el punto de corte de la mediana que pasa por B con el lado AC, tiene que ser el punto medio del lado. De esta forma, el simétrico de A respecto a este punto, (-a, -2b), será el punto C.

Necesitamos precisar más sobre los valores a y b para que la altura pase por el punto de concurrencia (recuerda, el eje de coordenadas). Así, un vector director de esta altura debe ser (a, 2b), ya que pasa por C y por (0, 0), y debe ser perpendicular al vector director del lado AB, (-a, b). Aplicando la propiedad de las pendientes de rectas perpendiculares (o el producto escalar, si ya lo conoces, tenemos que 2b/a = a/b, es decir, que 2b2 = a2, y, puesto que ambos son números positivos, tenemos que √2 b = a.

Si queremos que la distancia AB mida 1, podemos forzar que b2 + a2 = 1, pero también podemos encontrar cualquier trio de puntos A, B y C que cumplan las demás propiedades y después construir mediante una semejanza un triángulo como el solicitado, que yo veo mejor solución.

Optando por esta última aproximación, hacemos que b = 1, a = √2 y por tanto nuestros puntos serán A (√2, 0), B(0, 1) y C(-√2, -2). En este triángulo los lados miden AB = √ 3, AC = 2√3 y BC = √11. Si escalamos el triángulo para que AB mida 1, tendremos las medidas definitivas: AB = 1, AC = 2 y BC = √11/√3 = √33/3.

Un seguidor del blog, Ricard Peiró, nos remite otra solución basada en geometría clásica.

Sean la bisectriz AD, la mediana BE y la altura CF, tenemos que AE = CE = b/2.

Aplicando la propiedad de la bisectriz, CD/BD = b/c = b.

Sea P el punto donde concurren la bisectriz AD, la mediana BE y la altura CF.

El segmento AP es perpendicular a BE y el ángulo PAE = ángulo PAB y es la mitad del ángulo A.

Entonces, AE = BE = 1, y b = 2AE = 2.

Aplicando el Teorema de Ceva, se tiene que (CD/BD)(BF/AF)(AE/CE) = 1, por lo que (b/c)(a cos(B)/(b cos(A)) = 1, por lo que a cos(B)/cos(A) = 1.

Aplicando ahora el teorema del coseno al triángulo ABC, tenemos que a((b2 - a2 - c2)/(-2ac))/((a2 - b2 - c2)/(-2bc)) = 2(3 - a2)/(a2 - 5) = 1, y resolviendo la ecuación obtenemos a = √33/3.