tag:blogger.com,1999:blog-51432171191326953522024-03-13T23:57:30.846+01:00Soluciones a problemas matemáticosEste blog está escrito para resolver problemas de matemáticas planteados a mis alumnos, con objeto de entrenarles para presentarse a concursos de resolución de problemas (como la Olimpiada Matemática). Tiene un blog hermano donde publico los enunciados. La frecuencia de publicación de soluciones será semanal, y siguiendo (aproximadamente) el orden de los enunciados.Proble Máticohttp://www.blogger.com/profile/13288566943895328911noreply@blogger.comBlogger568125tag:blogger.com,1999:blog-5143217119132695352.post-29674951764386729562016-02-07T12:15:00.000+01:002016-02-07T12:15:11.080+01:00Un triángulo con un extraño tipo de centro<p><a href="http://problemate.blogspot.com.es/2016/02/un-triangulo-con-un-extrano-tipo-de.html">Enunciado</a></p><p>Este problema no era tan difícil como para no obtener una buena puntuación. Si no fue así probablemente fue por el cansancio de realizar una prueba tan larga.</p><p>Mi forma favorita de enfrentar este tipo de problema es mediante geometría analítica. Si leemos bien el enunciado, seremos capaces de dar las coordenadas de tres puntos que cumplan las condiciones y acabaremos por dar respuesta al enunciado.</p><p>En primer lugar, voy a situar el punto donde concurren las tres rectas, bisectriz, altura y mediana, en el origen de coordenadas. La bisectriz, que pasa por A, será el eje X, con lo que el punto A, si lo represento hacia la derecha, tendrá unas coordenadas (a, 0) para algún número positivo a. La mediana, que pasa por B, será el eje Y, y si el punto B lo sitúo en la parte positiva, tendrá unas coordenadas (0, b) para algún número positivo b.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-FHnIFTrI2jI/VrcmgXEgvLI/AAAAAAAAD3k/i_CTLZJ6xq8/s1600/O52016.png" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" src="https://1.bp.blogspot.com/-FHnIFTrI2jI/VrcmgXEgvLI/AAAAAAAAD3k/i_CTLZJ6xq8/s1600/O52016.png" /></a></div><p>El lado AB tendrá, por tanto vector director (-a, b), y pendiente -b/a. Y como el eje X es la bisectriz del ángulo entre AB y AC, sabemos que el lado AC tendrá la pendiente opuesta (recuerda que la pendiente es la tangente del ángulo que forma el eje X con la recta o el vector). Si has dado producto escalar, también puedes razonar por productos escalares para obtener ese resultado.</p><p>Esto significa que el vector director del lado AC será (a, b), por lo que la ecuación de la recta será bx - ay = ba, ya que pasa por (a, 0). Eso significa que el punto de corte con la mediana ha de ser el (0, -b), y por ser el punto de corte de la mediana que pasa por B con el lado AC, tiene que ser el punto medio del lado. De esta forma, el simétrico de A respecto a este punto, (-a, -2b), será el punto C.</p><p>Necesitamos precisar más sobre los valores a y b para que la altura pase por el punto de concurrencia (recuerda, el eje de coordenadas). Así, un vector director de esta altura debe ser (a, 2b), ya que pasa por C y por (0, 0), y debe ser perpendicular al vector director del lado AB, (-a, b). Aplicando la propiedad de las pendientes de rectas perpendiculares (o el producto escalar, si ya lo conoces, tenemos que 2b/a = a/b, es decir, que 2b<sup>2</sup> = a<sup>2</sup>, y, puesto que ambos son números positivos, tenemos que √2 b = a.</p><p>Si queremos que la distancia AB mida 1, podemos forzar que b<sup>2</sup> + a<sup>2</sup> = 1, pero también podemos encontrar cualquier trio de puntos A, B y C que cumplan las demás propiedades y después construir mediante una semejanza un triángulo como el solicitado, que yo veo mejor solución.</p><p>Optando por esta última aproximación, hacemos que b = 1, a = √2 y por tanto nuestros puntos serán A (√2, 0), B(0, 1) y C(-√2, -2). En este triángulo los lados miden AB = √ 3, AC = 2√3 y BC = √11. Si escalamos el triángulo para que AB mida 1, tendremos las medidas definitivas: AB = 1, AC = 2 y BC = √11/√3 = √33/3.</p><p>Un seguidor del blog, Ricard Peiró, nos remite otra solución basada en geometría clásica.</p><p>Sean la bisectriz AD, la mediana BE y la altura CF, tenemos que AE = CE = b/2.</p><p>Aplicando la propiedad de la bisectriz, CD/BD = b/c = b.</p><p>Sea P el punto donde concurren la bisectriz AD, la mediana BE y la altura CF.</p><p>El segmento AP es perpendicular a BE y el ángulo PAE = ángulo PAB y es la mitad del ángulo A. </p><p>Entonces, AE = BE = 1, y b = 2AE = 2.</p><p>Aplicando el Teorema de Ceva, se tiene que (CD/BD)(BF/AF)(AE/CE) = 1, por lo que (b/c)(a cos(B)/(b cos(A)) = 1, por lo que a cos(B)/cos(A) = 1.</p><p>Aplicando ahora el teorema del coseno al triángulo ABC, tenemos que a((b<sup>2</sup> - a<sup>2</sup> - c<sup>2</sup>)/(-2ac))/((a<sup>2</sup> - b<sup>2</sup> - c<sup>2</sup>)/(-2bc)) = 2(3 - a<sup>2</sup>)/(a<sup>2</sup> - 5) = 1, y resolviendo la ecuación obtenemos a = √33/3.</p>Proble Máticohttp://www.blogger.com/profile/13288566943895328911noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5143217119132695352.post-11107662377924818202016-01-17T22:54:00.000+01:002016-01-17T22:56:00.805+01:00Formas de colorear un polígono<p><a href="http://problemate.blogspot.com.es/2016/01/formas-de-colorear-un-poligono.html">Enunciado</a></p><p>Se trata de construir una fórmula, y es casi un trabajo de investigación matemática, por lo que me parece muy complejo.</p><p>Lo más lógico es estudiar completamente un caso sencillo, luego un caso un poco más complejo, y luego empezar ya a efectuar hipótesis, para luego comprobarlas.</p><p>Empezamos a colorear los vértices de un triángulo (n = 3) sin atender a si sus lados cumplen o no la condición y luego clasificarlos. Como cada vértice puede tener un color entre tres, se presentan 3x3x3 = 27 casos. Llamaré a los colores A, B y C. Los casos son: AAA, AAB, AAC, ABA, ABB, ABC, ACA, ACB, ACC, BAA, BAB, BAC, BBA, BBB, BBC, BCA, BCB, BCC, CAA, CAB, CAC, CBA, CBB, CBC, CCA, CCB, CCC.</p><p>De estos, observamos que hay tres casos en los que ningún lado tiene colores diferentes, que no está contemplado en el problema (AAA, BBB y CCC), y de los 24 casos restantes, 18 tienen dos lados con colores diferentes (m = 2) (AAB, AAC, ABA, ABB, ACA, ACC, BAA, BAB, BBA, BBC, BCB, BCC, CAA, CAC, CBB, CBC, CCA y CCB) y 6 tienen los tres lados con colores diferentes (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB y CBA). Observa que los lados están entre dos de los vértices (letras), y que la última letra tiene un lado que la une a la primera.</p><p>El siguiente caso completo (n = 4) tiene 81 elementos y puede llevar mucho tiempo clasificarlos, así que debemos descartarlo de momento y tratar de contar directamente un caso particular que nos ilumine mejor la forma de contar esta cantidad.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="http://3.bp.blogspot.com/-lUsBU8K_LPE/Vpv4Hct0VvI/AAAAAAAAD2s/Do7UD9x-bR4/s1600/olimpiada2016a.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://3.bp.blogspot.com/-lUsBU8K_LPE/Vpv4Hct0VvI/AAAAAAAAD2s/Do7UD9x-bR4/s320/olimpiada2016a.png" /></a></div><p>Vamos a estudiar, por ejemplo, el caso n = 7 y m = 4, es decir, un heptágono en el que exactamente cuatro lados tienen extremos de colores diferentes. Si queremos poner un ejemplo, lo primero que haremos será situar qué lados vamos a elegir, por ejemplo, el segundo, el tercero, el quinto y el séptimo. Eso conlleva que el primer y segundo vértice tienen el mismo color, el tercero lo tendrá diferente del segundo, el cuarto diferente del tercero, el quinto igual que el cuarto, el sexto diferente, y el séptimo igual que el sexto pero diferente del primero. En el dibujo, he rodeado con una elipse los vértices que deben ser del mismo color. De esta forma, en realidad sólo debo elegir cuatro colores diferentes a sus vecinos, y los otros tres se colorearán de forma automática. Por ejemplo, puedo elegir AABCCBB.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="http://1.bp.blogspot.com/-ttJbDQxWXUM/Vpv6JAmrKqI/AAAAAAAAD24/ydzTwxbxzcg/s1600/olimpiada2016b.png" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" src="http://1.bp.blogspot.com/-ttJbDQxWXUM/Vpv6JAmrKqI/AAAAAAAAD24/ydzTwxbxzcg/s320/olimpiada2016b.png" /></a></div><p>Entonces, si quiero contar la cantidad de formas en la que puedo hacer esto, se trata de elegir cuatro colores por un lado con la condición de ser diferentes de sus vecinos, y los cuatro lados que quiero que tengan la condición pedida. Por lo menos puedo estudiar por separado ambas elecciones.</p><p>El número de elecciones de los lados es un sistema más estudiado. Para el otro habrá que improvisar bastante.</p><p>Si has estudiado combinatoria, reconocerás que elegir cuatro lados entre 7 se llama combinaciones de cuatro elementos escogidos entre 7, y sabrás como calcularlos. En el siguiente párrafo razono la cantidad para aquellos que no tengan este concepto.</p><p>El primer lado lo selecciono entre 7 posibilidades, el segundo entre los 6 restantes, y así sucesivamente, de forma que tendría, en principio, 7*4*3*2 formas de elegir los cuatro, pero cada elección la estaría contando muchas veces. En efecto, una elección de 4 lado estaría contándola una vez por cada lado que tomara como primer lado (4), multiplicada por una vez cada vez que contara otro como segundo, y así sucesivamente, es decir, la estaría contando 4*3*2*1 veces. Por tanto, el número total de formas diferentes de elegir sería (7*6*5*4)/(4*3*2*1), en total en nuestro ejemplo eso da 35 formas diferentes.</p><p>Puede que conozcas la fórmula para este cálculo, es n!/(m!*(n-m)!).</p><p>Ahora, debemos elegir los cuatro colores diferentes, es decir, ver de cuantas formas lo podemos hacer. Para el primer color disponemos de 3 posibilidades, pero para el segundo sólo 2, para el tercero otros 2, y el cuarto es mucho más complejo, ya que depende de si el primer y el tercero son iguales o diferentes. Si son iguales, tendré dos formas diferentes de lograrlo, y si son diferentes, sólo una. Para esto, podemos partir del estudio que hemos hecho antes, para el triángulo. Había exactamente 6 casos en que todos los colores eran diferentes cada uno del siguiente, que derivarán en una única elección para el cuarto color. Si el primero y el tercero son iguales sólo eliges dos colores realmente diferentes antes de elegir el cuarto (3*2 posibilidades) y entonces tienes otras 2 de elegir el último, lo que hace un total de 12 posibilidades, es decir, tenemos 18 formas de elegir los colores.</p><p>Al final, tendremos 18*35 = 630 coloraciones diferentes para el heptágono con cuatro lados de diferente color en los extremos. No las voy a poner todas, desde luego.</p><p>La elección de los lados es sencilla de convertir en una fórmula, pero la selección de colores no. Tendremos que estudiarla más a fondo. Hay que calcular de cuántas formas se pueden conseguir elegir un cierto número de colores entre tres, diferentes cada uno del siguiente y el primero del último.</p><p>Además, tendremos que hacerlo a partir de 2. Para 2 son 6 las formas de hacerlo, para 3 ya sabemos que 6 también, y para 4 hemos visto que 18. Veamos para 5 y creemos una fórmula.</p><p>Si queremos escoger una cadena de 5 colores con esa condición, podemos partir de las anteriores. Si tomamos una cadena de 4 diferentes (18 formas) y añadimos un color diferente del primero y el último tendremos 18 formas diferentes, las 18 en las que el penúltimo y el primero son distintos. Para las restantes, como sabemos que primero y penúltimo han de ser iguales, partimos de una cadena de 3 diferentes (6 formas), añadimos otra igual que el primero (podemos, porque el tercero es diferente del primero), y luego disponemos de dos posibilidades para el último color, es decir, que tendremos 6*2 = 12 formas más, hasta un total de 30.</p><p>Observa que hemos calculado el valor para la cuarta elección a partir de la tercera y la segunda. De ahí se puede sacar una primera fórmula que nos ayude, que sería inductiva (a partir de los números previos). Se trataría de tomar la anterior y sumarle el doble de la anterior de la anterior. Es decir, C<sub>m</sub> = C<sub>m - 1</sub> + 2 C<sub>m - 2</sub>.</p><p>La secuencia vendría a ser 6, 6, 18, 30, 66, 126, ...</p><p>Si nos fijamos bien, se parece enormemente a las potencias de 2 (4, 8, 16, 32, 64, 128, ...), sólo que se le suma o resta 2. Esa fórmula se podría poner como 2<sup>m</sup> + 2*(-1)<sup>m</sup>.</p><p>Para comprobar que es válida, lo demostramos por inducción, ya que 2<sup>m - 1</sup> + 2*(-1)<sup>m - 1</sup> + 2*(2<sup>m - 2</sup> + 2*(-1)<sup>m - 2</sup>) = 2<sup>m - 1</sup> + 2*(-1)<sup>m - 1</sup> + 2<sup>m - 1</sup> + 4*(-1)<sup>m</sup> = 2<sup>m</sup> - 2*(-1)<sup>m</sup> + 4*(-1)<sup>m</sup> = 2<sup>m</sup> + 2*(-1)<sup>m</sup>, como se quería demostrar.</p><p>Por lo tanto, la fórmula para la cantidad de formas de elegir los colores con esa condición, para n y m genéricos, es (n!*(2<sup>m</sup> + 2*(-1)<sup>m</sup>))/(m!*(n-m)!).</p><p>Como veis, un problema muy largo y complejo para cerrar la olimpiada.</p>Proble Máticohttp://www.blogger.com/profile/13288566943895328911noreply@blogger.com6tag:blogger.com,1999:blog-5143217119132695352.post-63867437691725013052015-03-15T21:23:00.000+01:002015-03-17T09:09:23.281+01:00Un problema muy complejo<p><a href="http://problemate.blogspot.com.es/2015/03/un-problema-muy-complejo.html">Enunciado</a></p><p>La idea es partir de una fracción s/t, con s y t enteros positivos, y construir k, a, b, c y d que cumplan el sistema de ecuaciones a<sup>3</sup> + b<sup>3</sup> = ks y c<sup>3</sup> + d<sup>3</sup> = kt. Sin embargo, tenemos sólo un par de ecuaciones y nada menos que 5 incógnitas, de forma que podemos construirlas, en teoría, de muchas formas.</p><p>Para empezar, vamos a suponer que k = 1, aunque luego igual nos damos cuenta de que nos conviene más otro valor.</p><p>Una reducción que viene bien es hacer a = d, pero hay que ser flexible, ya que este tipo de simplificaciones a lo mejor no nos sirve luego.</p><p>Ahora, trataremos de factorizar y simplificar, para que el sistema sea lineal y realmente podamos obtener una fórmula general. Así, a<sup>3</sup> + b<sup>3</sup> = (a + b)*(a<sup>2</sup> - ab + b<sup>2</sup>) y a<sup>3</sup> + c<sup>3</sup> = (a + c)(a<sup>2</sup> - ac + c<sup>2</sup>). Esta factorización se puede conocer como uno de los productos notables, pero también podemos intentar realizar la división (a<sup>3</sup> + b<sup>3</sup>)/(a + b) por cualquier método para ver si es divisible.</p><p>Para que se simplifique el término al cuadrado, debería darse que a<sup>2</sup> - ab + b<sup>2</sup> = a<sup>2</sup> - ac + c<sup>2</sup>, pero sin que b sea igual que c, ya que en ese caso la fracción sólo podría valer 1.</p><p>Considerando esta igualdad como una ecuación de segundo grado en b, observamos qué implica.</p><p>Resulta que nos lleva a que - ab + b<sup>2</sup> = - ac + c<sup>2</sup>, que equivale a b<sup>2</sup> - ab + ac - c<sup>2</sup> = 0, por lo que en esa ecuación el coeficiente del término de segundo grado es 1, el de primer grado es -a y el término independiente es ac - c<sup>2</sup>. Así, el discriminante, que estaría dentro de la raíz cuadrada, sería a<sup>2</sup> - 4(ac - c<sup>2</sup>) = a<sup>2</sup> - 4ac + 4c<sup>2</sup> = (a - 2c)<sup>2</sup>. ¡Observa que es un cuadrado perfecto! Eso quiere decir que b puede tener dos valores, (a + a - 2c)/2 = a - c y el valor que ya conocíamos, (a - a + 2c)/2 = c, que no nos interesa.</p><p>También podríamos haber tratado esta igualdad como un polinomio en b y dividir por el binomio (b - c), que es solución y no nos interesa que suceda, como dividimos por el método de Ruffini.</p><p>El caso es que, imponiendo que b = a - c, ese término de segundo grado se simplifica, y tenemos nuestro sistema mucho más sencillo: a + b = s, a + c = t y b = a - c. Sustituyendo, por ejemplo, b, tenemos que 2a - c = s y a + c = t. Aplicando ahora reducción, tenemos que 3a = s + t. Puesto que debemos dividir por 3 para obtener un entero, reconsideramos nuestra postura inicial de tomar k = 1, de forma que k realmente la hacemos valer 3, lo que no cambia mucho nuestras ecuaciones.</p><p>De esta forma, 3a = 3s + 3t, luego a = s + t, c = 3t - a = 2t - s, y b = a - c = 2s - t.</p><p>Sin embargo, deberemos probar que a, b y c son positivos, y eso sólo sucede si 2t es mayor que s y además 2s es mayor que t. Manipulando un poco estas desigualdades vemos que este método parece un poco limitado, ya que sólo funciona con las fracciones en el intervalo entre 1/2 y 2. Podemos comprobar que una fracción en ese intervalo ya la podemos poner de esa forma.</p><p>¿Qué podemos hacer con una fracción positiva que no esté comprendida en ese intervalo?</p><p>La idea genial consiste en "desplazarla" hacia ese intervalo multiplicando por una fracción que sea cubo de otra, y después transformarla con esta receta. Podremos volverla a convertir mediante una división y tendremos, agrupando los cubos, que será de la forma deseada.</p><p>Es decir, necesitamos un multiplicador p<sup>3</sup>/q<sup>3</sup>. Una vez convertida en una fracción de la forma (a<sup>3</sup> + b<sup>3</sup>)/(c<sup>3</sup> + d<sup>3</sup>), volvemos a multiplicar el resultado, esta vez por q<sup>3</sup>/p<sup>3</sup>, agrupamos los cubos y tenemos una expresión como la que necesitamos, ((aq)<sup>3</sup> + (bq)<sup>3</sup>)/((cp)<sup>3</sup> + (dp)<sup>3</sup>).</p><p>¿Seguro que existe este multiplicador? Supongamos que nuestra fracción es s/t. En realidad el multiplicador debe estar entre t/2s y 2t/s, para que al usarlo esté entre 1/2 y 2. Si tomamos raíces cúbicas, tendremos dos valores distintos (t/2s)<sup>(1/3)</sup> y (2t/s)<sup>(1/3)</sup>. Como las fracciones son densas, es decir, entre dos números podemos encontrar infinidad de ellas, bastará que tomemos una entre esos dos números, y su cubo cumplirá las propiedades que necesitamos.</p><p>Veamos un ejemplo. Imagina que la fracción es, por fijar ideas, 2/5.</p><p>Los dos extremos que necesitamos son 5/4 y 5, o, mejor dicho, sus raíces cúbicas. Vamos a buscar una fracción lo más sencilla posible. En estos casos, a mí me gusta recurrir a las series de Farey o el árbol de Stern-Brocot. No sirve un entero (1 es muy pequeño y 2 demasiado grande), probamos con su mediante, 3/2. Éste sí sirve, ya que 5/4 es menor que 27/8 y 27/8 es menor que 5. Si no hubiésemos encontrado una tan sencilla, por ejemplo, hubiese sido demasiado pequeña, habríamos usado el mediante con el 2 y así sucesivamente.</p><p>Ahora que tenemos el multiplicador, tomamos la fracción (2/5)*(27/8) = 54/40 = 27/20. Pues bien, tenemos que a = 27 + 20 = 47, b = 54 - 20 = 34 y c = 40 - 27 = 13. Con esos números, tenemos que 27/20 = (47<sup>3</sup> + 34<sup>3</sup>)/(47<sup>3</sup> + 13<sup>3</sup>), por lo que 2/5 = (8/27)*(27/20) = (94<sup>3</sup> + 68<sup>3</sup>)/(141<sup>3</sup> + 39<sup>3</sup>). ¿No es fascinante?</p><p>Una vez hecho todo el razonamiento, podemos resumirlo en: tomamos la fracción s/t, buscamos un multiplicador p/q de forma que esté entre (t/2s)<sup>(1/3)</sup> y (2t/s)<sup>(1/3)</sup>. Así, su cubo estará entre t/2s y 2t/s. Luego (sp<sup>3</sup>)/(tq<sup>3</sup>) está entre 1/2 y 2. Tomamos ahora a = sp<sup>3</sup> + tq<sup>3</sup>, b = 2tq<sup>3</sup> - sp<sup>3</sup> y c = 2sp<sup>3</sup> - tq<sup>3</sup>. Con esas condiciones, es largo pero no muy complicado ver que ((qa)<sup>3</sup> + (qb)<sup>3</sup>)/((pa)<sup>3</sup> + (pc)<sup>3</sup>) = s/t, y que los cuatro valores, qa, qb, pa y pb son números positivos, debido a la elección de p y q.</p><p>Enhorabuena si has llegado hasta aquí. Ha sido un texto escrito sobre todo para mí mismo, para recordar este problema que me ha rondado por la cabeza más de una semana. Si hay algo que creas que no funciona bien, o que no entiendes, deja un comentario. Gracias.</p>Proble Máticohttp://www.blogger.com/profile/13288566943895328911noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-5143217119132695352.post-10560813948503690482015-02-21T19:00:00.001+01:002015-02-21T19:03:08.641+01:00Un sistema circular con tres variables<p><a href="http://problemate.blogspot.com.es/2015/02/un-sistema-circular-con-tres-variables.html">Enunciado</a></p><p>Este tipo de sistemas están formados por ecuaciones en varias variables, que tienen una característica muy especial: en realidad se trata de una única ecuación, en la que el papel de las variable se intercambia de alguna forma.</p><p>Las soluciones, en el caso en que las incógnitas sean números reales, deben valer lo mismo y la demostración de que así es suele hacerse siempre de forma muy similar.</p><p>Supongamos que tenemos una solución en la que los valores x, y, z no son iguales los tres. En ese caso, vamos a trabajar suponiendo que x ≤ y ≤ z, con alguna de las desigualdades estricta, o bien y ≤ x ≤ z. Cualquier otro orden sería equivalente, cambiando los nombres de las variables y el orden de las ecuaciones.</p><p>En el primer caso, veamos que se llega a una contradicción. Puesto que las variables son positivas, y se da que x ≤ y ≤ z, entonces x + 1 ≤ y + 1 ≤ z + 1, por lo que √(x + 1) ≤ √(y + 1) ≤ √(z + 1) y también 2x√(x + 1) ≤ 2y√(y + 1) ≤ 2z√(z + 1). Sin embargo, debido a las ecuaciones, eso significa que 1 + y(y + 1) ≤ 1 + z(z + 1) ≤ 1 + x(x + 1), por lo que y(y + 1) ≤ z(z + 1) ≤ x(x + 1). Sin embargo, de las desigualdades anteriores, se deduce que x(x + 1) ≤ y(y + 1) ≤ z(z + 1) ≤ x(x + 1), pero eso es imposible, puesto que alguna de las desigualdades es estricta.</p><p>En el segundo caso, se deduce una contradicción similar, empleando el mismo sistema.</p><p>Ahora que sabemos que las tres variables son iguales, el sistema se reduce a una igualdad de la forma 2x√(x + 1) = 1 + x(x + 1). Para resolver esta ecuación, no hay un método sencillo, pero hay dos aproximaciones interesantes.</p><p>La primera de ellas, hace uso de los métodos de eliminación de raíces que se estudian en educación secundaria. Elevando ambos extremos al cuadrado, tenemos que 4x<sup>2</sup>(x + 1) = (1 + x(x + 1))<sup>2</sup>. Es decir, 4x<sup>2</sup>(x + 1) = 1 + 2x(x + 1) +x<sup>2</sup>*(x + 1)<sup>2</sup>, y quitando paréntesis, 4x<sup>3</sup> + 4x<sup>2</sup> = 1 + 2x<sup>2</sup> + 2x +x<sup>2</sup>*(x<sup>2</sup> + 2x + 1) = 1 + 2x<sup>2</sup> + 2x + x<sup>4</sup> + 2x<sup>3</sup> + x<sup>2</sup>. Pasando todos los términos al mismo lado , tenemos que 0 = - 4x<sup>3</sup> - 4x<sup>2</sup> + 1 + 2x<sup>2</sup> + 2x + x<sup>4</sup> + 2x<sup>3</sup> + x<sup>2</sup>, por lo que 0 = x<sup>4</sup> - 2x<sup>3</sup> - x<sup>2</sup> + 2x + 1.</p><p>Esta ecuación de cuarto grado resiste todos los intentos de factorización por el método de Ruffini, por lo que no parece que sea abordable por los métodos convencionales, y tampoco es bicuadrada. Sin embargo es (casi) simétrica, y eso ayuda a hacer un cambio de variable muy original. En efecto, puesto que x no es cero, podemos dividir por x al cuadrado, y es equivalente a 0 = x<sup>2</sup> - 2x - 1 + 2/x + 1/x<sup>2</sup>, que se reagrupa en 0 = x<sup>2</sup> + 1/x<sup>2</sup> - 2(x - 1/x) - 1.</p><p>Ahora, haciendo t = x - 1/x, tenemos que t<sup>2</sup> = x<sup>2</sup> - 2 + 1/x<sup>2</sup>, por lo que t<sup>2</sup> + 2 = x<sup>2</sup> + 1/x<sup>2</sup>. La igualdad queda ahora como 0 = t<sup>2</sup> + 2 - 2t - 1, por o que se convierte en una ecuación de segundo grado, es decir, 0 = t<sup>2</sup> - 2t + 1, y se tiene que t = 1 es la única solución. Así que 1 = x - 1/x, de donde x = x<sup>2</sup> - 1 y por tanto 0 = x<sup>2</sup> - x - 1, lo que nos da una única solución positiva (recuerda que la x debe serlo) x = (1 + √5)/2, que es el número áureo. Así, la única solución es la tripleta (x, y, z) = ((1 + √5)/2, (1 + √5)/2, (1 + √5)/2).</p><p>La otra aproximación es considerar la igualdad 2x√(x + 1) = 1 + x(x + 1) como una igualdad en la que aparezca la media geométrica y la aritmética. Transformando esta expresión en 2√(x<sup>2</sup>(x + 1)) = 1 + x<sup>2</sup> + x, y después en √(x<sup>2</sup>(x + 1)) = (x<sup>2</sup> + x + 1)/2, se ve claramente que en un lado de la igualdad tenemos la media geométrica de x<sup>2</sup> y x + 1, y en el otro la media aritmética de los mismos números.</p><p>Puesto que ambos son números positivos, la desigualdad entre medias nos impone que sólo se puede alcanzar esta equivalencia si ambos números son iguales, de donde x<sup>2</sup> = x + 1, lo que hace una ecuación de segundo grado de donde se obtiene la misma solución que en la otra aproximación.</p>Proble Máticohttp://www.blogger.com/profile/13288566943895328911noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5143217119132695352.post-20442230241048466482015-02-17T20:30:00.000+01:002015-02-17T20:30:00.719+01:00Cuatro puntos alineados<p><a href="http://problemate.blogspot.com.es/2015/02/cuatro-puntos-alineados.html">Enunciado</a></p><p>Como el objetivo es demostrar que un ángulo es doble que otro, lo primero que viene a la cabeza es pensar que debo trazar un ángulo central y un arco capaz, de forma que automáticamente el ángulo central quede el que debe ser doble y el que está sobre el arco, su mitad.</p><p>Hay otros métodos, por ejemplo, razonar con coordenadas, tratando de calcular alguna razón trigonométrica, por ejemplo, mediante el producto escalar, que nos permite calcular el coseno, y tratar de establecer alguna relación entre ángulos, y en las soluciones oficiales veréis otras variantes, pero lo que voy a desarrollar aquí será el método del arco capaz.</p><p>Cuando hacemos el dibujo correspondiente al enunciado, observamos que los dos ángulos que tratamos de comparar se apoyan en el mismo punto, en E, de forma que mi primera idea fue separarlos. ¿qué mejor que buscar otro punto F, que ocupase la misma posición respecto a A y B que E respecto a C y D?</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="http://3.bp.blogspot.com/-7SYUjvRsgwM/VOOWA2B-f7I/AAAAAAAADy0/mlvwrfLIwpc/s1600/OME52005.png" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" src="http://3.bp.blogspot.com/-7SYUjvRsgwM/VOOWA2B-f7I/AAAAAAAADy0/mlvwrfLIwpc/s320/OME52005.png" /></a></div><p>Es decir, trasladamos el punto E mediante un vector paralelo a la recta en la que están los puntos A, B, C y D, y que mida exactamente la distancia entre C y A. En ese punto F se forma exactamente el mismo ángulo AFB que el ángulo BEC que se forma en E. Pero ahora, comparte extremos con el segmento AB, igual que el otro ángulo AEB.</p><p>Trazamos entonces un arco que se centre en F y que tenga de extremos el segmento AB, así el ángulo AFB es un ángulo central de ese arco.</p><p>Vamos ahora a tratar de demostrar el enunciado.</p><p>Supongamos que AC = EC. En ese caso, EC = ED = FA = FB = radio del arco, y como la distancia FE es la misma que AC, tenemos que FE = radio del arco, por lo que en ese caso E está sobre el arco, de donde el ángulo AEB es la mitad que el ángulo central, como queríamos demostrar.</p><p>Supongamos ahora que el ángulo AFB es doble que AEB, entonces eso significa que E está sobre el arco que hemos trazado, luego EF = radio del arco. Pero EF recordemos que, por construcción, vale lo mismo que AC, y EC vale lo mismo que FA, que también es un radio del arco, de forma que AC = EC, como queríamos demostrar.</p><p>De forma que tenemos, como queríamos, que AC = EC si y sólo si el ángulo AFB es doble que AEB.</p>Proble Máticohttp://www.blogger.com/profile/13288566943895328911noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5143217119132695352.post-48164629094585405672015-02-15T13:00:00.001+01:002015-02-15T13:00:30.075+01:00Un producto de números enteros<p><a href="http://problemate.blogspot.com.es/2015/02/un-producto-de-numeros-enteros-los.html">Enunciado</a></p><p>Como se trata de números enteros, trataremos de fijarnos en una propiedad que despeje uno en función de otro y a partir de ahí aplicamos propiedades de divisibilidad, por ejemplo.</p><p>Ya que tenemos despejada la primera ecuación, sabemos que z = x + 2y, así que vamos a sustituir en la segunda, teniendo que x<sup>2</sup> - 4y<sup>2</sup> + (x + 2y)<sup>2</sup> = 310.</p><p>Eliminando paréntesis, esto significa que x<sup>2</sup> - 4y<sup>2</sup> + x<sup>2</sup> + 4xy + 4y<sup>2</sup> = 310.</p><p>Agrupando términos, esto significa que 2x<sup>2</sup> + 4xy = 310.</p><p>Para simplificar, dividimos por 2, dejando la expresión x<sup>2</sup> + 2xy = 155.</p><p>A partir de este punto, hay varios razonamientos posibles. El más directo es convertir en un producto esta expresión, x(x + 2y) = 155 (observa que esta igualdad es equivalente a la que proponen en el comentario dejado en el enunciado, si cambiamos x + 2y por z, el razonamiento se simplifica algo).</p><p>Ahora, puesto que 155 = 5*31, x sólo puede valer 1, 5, 31 ó 155, pero hay que observar que tanto x como y deben ser positivos, así que x + 2y debe ser mayor que x, por lo que en realidad sólo son válidas las posibilidades x = 1 y x = 5.</p><p>En el primer caso, x = 1 y por tanto x + 2y = 155, de donde 2y = 154, por lo que y = 77. La última variable, z = x + 2y = 155, por lo que xyz = 11935.</p><p>En el segundo, x = 5, por lo que x + 2y = 31, y por tanto 2y = 26, y así y = 13. Como z = x + 2y = 31, xyz = 2015.</p><p>El problema habría tenido algo más de dificultad si hubiesen permitido valores negativos, ya que el número de soluciones habría sido algo mayor.</p><p>Otro enfoque sería despejar y en la fórmula, y = (155 - x<sup>2</sup>)/x. Puesto que tanto x como y han de ser positivos, 155 debe ser mayor que x<sup>2</sup>, por lo que basta tantear entre el 0 y el 12 para encontrar las dos soluciones válidas, aunque no pensemos en divisibilidad.</p>Proble Máticohttp://www.blogger.com/profile/13288566943895328911noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5143217119132695352.post-62327167630662376472015-02-12T19:00:00.002+01:002015-02-12T19:01:21.363+01:00Torneo de baloncesto<p><a href="http://problemate.blogspot.com.es/2015/02/torneo-de-baloncesto.html">Enunciado</a></p><p>Lo primero que hay que determinar es la cantidad de equipos que se enfrentan en esta liga.</p><p>Pensemos que son n equipos. Si tenemos en cuenta que cada uno de ellos se enfrenta con cada uno de los demás, cada equipo juega 2n - 2 partidos. Como tienen que jugar todos, el número total de partidos sería n*(2n - 2)/2 = n*(n - 1). Observa que dividimos por 2 porque cada partido lo juegan 2, es decir, si multiplicamos sólo, contamos cada partido 2 veces.</p><p>Ahora, según el enunciado, en cada partido se reparten 3 puntos (1 para el perdedor y 2 para el ganador). Por lo tanto, El total de puntos sería 3*n*(n - 1) y el máximo de puntos que puede lograr un equipo, ganando todos los partidos, sería 4n - 4.</p><p>Con ese conocimiento, hay que ver qué valor de n ocasiona que el total de puntos sea superior a 2015, pero no demasiado superior.</p><p>El método más rápido sería un tanteo. Si n = 26, 3n*(n - 1) = 1950, por lo que debe ser superior a 26, pero n = 28 ocasiona 2268, que deja un total de puntos para el primer clasificado de 2268 - 2015 = 253, que es muy superior al total de puntos que puede sacar un equipo en una liga de 28, que es 108. Luego el total de equipos de la liga es exactamente 27.</p><p>Ahora, eso significa que el total de puntos es 2106, lo que hace que el total de puntos del primero sea 2106 - 2015 = 91.</p><p>Sabiendo que tiene 91 puntos, podemos restar la cantidad de partidos jugados, 91 - 52 = 39, es decir, debe haber ganado exactamente 39 partidos. Restamos porque si observas, en cada partido el equipo gana un punto seguro, y sólo obtiene otro si gana. Por tanto, restando el número de partidos se obtiene el número de victorias. También se puede hacer con un sistema, pero la solución me pareció menos interesante.</p>Proble Máticohttp://www.blogger.com/profile/13288566943895328911noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5143217119132695352.post-14222283596539296662015-02-11T18:33:00.000+01:002015-02-11T18:35:49.228+01:00Circunferencia entre dos rectas<p><a href="http://problemate.blogspot.com.es/2015/02/circunferencia-entre-dos-rectas.html">Enunciado</a></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="http://2.bp.blogspot.com/-OsxzhXkbliw/VNuR85ucREI/AAAAAAAADyg/A4r4FNEHUdY/s1600/olimpiada2015.2.png" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" src="http://2.bp.blogspot.com/-OsxzhXkbliw/VNuR85ucREI/AAAAAAAADyg/A4r4FNEHUdY/s320/olimpiada2015.2.png" /></a></div><p>De este problema hay numerosas soluciones. Incluyo aquí una que me ha enviado Ricard Peiró, traduciéndola del original en valenciano, ya que este blog lo consulta mucha gente castellanoparlante.</p><p>Según vemos en el dibujo, se traza la recta perpendicular a r que pasa por A, y que corta a las rectas paralelas r y s en los puntos N y M, respectivamente.</p><p>Los segmentos AN y AM son de la misma longitud, llamémosla k. Veamos que, por construcción, la distancia AP también vale k, por lo que es independiente de la elección de B, y por tanto P está sobre una circunferencia de radio k centrada en A, que es tangente a las rectas r y s.</p><p>Aplicando el teorema de la altura al triángulo ABC, que es rectángulo y está dividido por una altura, tenemos que AP<sup>2</sup> = CP*BP.</p><p>Aplicando el teorema del cateto a cada uno de los dos catetos del triángulo ABC, AB<sup>2</sup> = CB*BP y AC<sup>2</sup> = CB*CP.</p><p>Dado que el ángulo CAB es recto, los ángulos NAC y MAB suman también 90 grados, por lo que los triángulos ANC y BMA son semejantes.</p><p>Aplicando proporcionalidad, tenemos que k/AC = MB/AB = √(AB<sup>2</sup> - k<sup>2</sup>)/AB.</p><p>Por tanto, elevando al cuadrado, tenemos que k<sup>2</sup>/AC<sup>2</sup> = (AB<sup>2</sup> - k<sup>2</sup>)/AB<sup>2</sup> y, puesto que ambas fracciones son iguales, también son ambas iguales a la fracción formada sumando ambos numeradores y ambos denominadores, AB<sup>2</sup>/(AB<sup>2</sup> + AC<sup>2</sup>) = AB<sup>2</sup>/BC<sup>2</sup>.</p><p>Por tanto, k<sup>2</sup>/AC<sup>2</sup> = AB<sup>2</sup>/BC<sup>2</sup>.</p><p>Eso significa que k<sup>2</sup>= AC<sup>2</sup>*AB<sup>2</sup>/BC<sup>2</sup>.</p><p>Según hemos visto antes, tenemos que k<sup>2</sup> = CB*CP*CB*BP/BC<sup>2</sup> = CP*BP = AP<sup>2</sup>, por lo que se tiene que k = AP, como queríamos demostrar.</p><p>Hay muchas otras demostraciones muy interesantes. En las soluciones oficiales podemos encontrar varias construcciones diferentes.</p>Proble Máticohttp://www.blogger.com/profile/13288566943895328911noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-5143217119132695352.post-13186490142872883512015-02-01T10:34:00.001+01:002015-02-01T18:48:27.943+01:00Desigualdad entre cuadrados<p><a href="http://problemate.blogspot.com.es/2015/01/desigualdad-entre-cuadrados.html">Enunciado</a></p><p>Efectivamente, según publican algunos seguidores, es una aplicación trivial de una famosa desigualdad, pero esta desigualdad es poco conocida para los alumnos a los que va dirigida esta prueba, y es relativamente sencillo manejar esta desigualdad con herramientas directas.</p><p>La parte más difícil es entender qué hacer con tantas variables. Una de las cosas más útiles es reducirlas. En este caso, usando que x no vale cero (el caso particular lo dejamos para el final), la desigualdad (ax + by)<sup>2</sup> ≤ ax<sup>2</sup> + by<sup>2</sup> es equivalente a ((ax + by)/x)<sup>2</sup> ≤ ax<sup>2</sup>/x<sup>2</sup> + by<sup>2</sup>/x<sup>2</sup>, que si se simplifica queda (a + by/x)<sup>2</sup> ≤ a + b(y/x)<sup>2</sup>. como se puede ver, todo depende de z=y/x, es decir, nos quedamos con la desigualdad equivalente que nos indica que (a + bz)<sup>2</sup> ≤ a + bz<sup>2</sup>. Esto no es estrictamente necesario, pero nos dará una visión más clara.</p><p>Ahora, como a + b = 1, despejamos b = 1 - a y sustituimos en la igualdad, es decir, que nuestra desigualdad anterior es equivalente a (a + (1 - a)z)<sup>2</sup> ≤ a + (1 - a)z<sup>2</sup>. Para poder probarlo, quitamos los paréntesis y restamos ordenadamente para comprobar si realmente la diferencia es positiva. Si es así, el extremo de la derecha será mayor que el de la izquierda.</p><p>Por un lado, (a + (1 - a)z)<sup>2</sup> = a<sup>2</sup> + 2a(1 - a)z + (1 - a)<sup>2</sup>z<sup>2</sup> = a<sup>2</sup> + 2az -2a<sup>2</sup>z + (1 - 2a + a<sup>2</sup>)z<sup>2</sup> = a<sup>2</sup> + 2az - 2a<sup>2</sup>z + z<sup>2</sup> - 2az<sup>2</sup> + a<sup>2</sup>z<sup>2</sup>.</p><p>Por otro lado, a + (1 - a)z<sup>2</sup> = a + z<sup>2</sup> - az<sup>2</sup>.</p><p>Si restamos la expresión de la derecha menos la izquierda, tendremos a + z<sup>2</sup> - az<sup>2</sup> - (a<sup>2</sup> + 2az - 2a<sup>2</sup>z + z<sup>2</sup> - 2az<sup>2</sup> + a<sup>2</sup>z<sup>2</sup>) = a - a<sup>2</sup> - 2az + 2a<sup>2</sup>z + az<sup>2</sup> - a<sup>2</sup>z<sup>2</sup>). Esta expresión, si sacamos factores comunes las diferentes potencias de z, obtenemos que es equivalente a a(1 - a) - 2a(1 - a)z + a(1 - a)z<sup>2</sup> = a(1 - a)(1 - 2z + z<sup>2</sup>) = a(1 - a)(1 - z)<sup>2</sup>, que es claramente positivo, ya que es un producto de un cuadrado por dos valores positivos, ya que a y b = 1 - a son números positivos. Por lo tanto está demostrada la desigualdad.</p><p>Además, la igualdad se da cuando la expresión anterior vale cero, que es en el caso en que a o b valen cero, en el que es trivialmente cierta la igualdad, o bien cuando z = 1, lo que equivale a que x sea igual a y.</p><p>Queda por tratar el caso x = 0, en el que no podríamos dividir por x para iniciar la transformación. En este caso, la desigualdad queda (by)<sup>2</sup> ≤ by<sup>2</sup>. Esta desigualdad es claramente cierta, ya que by<sup>2</sup> - b<sup>2</sup>y<sup>2</sup> = b(1 - b)y<sup>2</sup> = bay<sup>2</sup>, que es un número positivo y sólo se anula cuando uno de los dos es cero. También es igualdad cuando y = 0, que en este caso también es igual a x.</p><p>Por tanto es un caso más de los que se ha hablado anteriormente.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="http://2.bp.blogspot.com/-r0mPDANKSCM/VM5mCCKinnI/AAAAAAAADyI/DtClTNxJhg8/s1600/2015.p1.png" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" src="http://2.bp.blogspot.com/-r0mPDANKSCM/VM5mCCKinnI/AAAAAAAADyI/DtClTNxJhg8/s320/2015.p1.png" /></a></div><p>La representación geométrica de todo esto nos daría otra visión para lograrlo, ax + by es un valor entre x e y, y con cuadrados sería un valor entre x al cuadrado e y al cuadrado, es decir, que sería un valor intermedio entre dos puntos de la parábola, comparado con el valor promedio de la parábola entre ambos, que es claramente inferior debido a la concavidad de la parábola.</p>Proble Máticohttp://www.blogger.com/profile/13288566943895328911noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5143217119132695352.post-71128989095738141182014-07-16T09:59:00.000+02:002014-07-18T01:03:46.540+02:00Único para cada sucesión positiva creciente <p><a href="http://problemate.blogspot.com.es/2014/07/unico-para-cada-sucesion-positiva.html">Enunciado</a></p><p>En primer lugar, debemos hacer pruebas hasta comprender bien el enunciado. Supongamos que probamos con la sucesión 1, 2, 3, ... Observamos que a<sub>0</sub> vale 1, realmente. Si comprobamos, 2 < (1 + 2)/1 ≤ 3, pero para valores mayores no se cumple, ya que 3 = (1 + 2 + 3)/2 y 4 > (1 + 2 + 3 + 4)/3. Si comprobamos otras sucesiones, es sencillo apreciar una regularidad. Siempre falla la segunda desigualdad para valores pequeños, y la primera para valores grandes, y sólo hay un valor para el que se cumplen los dos.</p><p>Veamos un ejemplo. Tomemos una progresión aritmética como 5, 7, 9, 11, ... Para valores pequeños de n, tenemos que (5 + 7)/1 > 9, pero (5 + 7 + 9)/2 ≤ 11, y también 9 < (5 + 7 + 9)/2. A partir de ahí, ya tenemos que 11 > (5 + 7 + 9 + 11)/3 y para valores posteriores también se cumple esa desigualdad, de forma que n = 2 es el único valor para el que se cumple en esta sucesión en concreto.</p><p>Para trabajar en general, quitaremos en primer los denominadores, de forma que las expresiones queden n*a<sub>n</sub> < a<sub>0</sub> + a<sub>1</sub> + ... + a<sub>n</sub> ≤ n*a<sub>n + 1</sub>. En concreto, buscaremos el valor de n centrándonos en la primera desigualdad. Debemos estudiar la diferencia n*a<sub>n</sub> - a<sub>0</sub> - a<sub>1</sub> - ... -a<sub>n</sub>, y ver si es positiva o negativa.</p><p>Está claro que para n = 0 es negativa, ya que es a<sub>0</sub> - a<sub>0</sub> - a<sub>1</sub> = -a<sub>1</sub> < 0. Veamos si esta sucesión es creciente.</p><p>La diferencia entre un término y el anterior sería (n + 1)*a<sub>n + 1</sub> - a<sub>0</sub> -a<sub>1</sub> - ... -a<sub>n</sub> - a<sub>n + 1</sub> - (n*a<sub>n</sub> - a<sub>0</sub> -a<sub>1</sub> - ... -a<sub>n</sub>) = n*a<sub>n + 1</sub> + a<sub>n + 1</sub> - a<sub>0</sub> -a<sub>1</sub> - ... -a<sub>n</sub> -a<sub>n + 1</sub> -n*a<sub>n</sub> + a<sub>0</sub> + a<sub>1</sub> + ... + a<sub>n</sub> = n*a<sub>n + 1</sub> -n*a<sub>n</sub> = n*(a<sub>n + 1</sub> -a<sub>n</sub>), que es mayor que cero debido a que la sucesión original es creciente.</p><p>Por tanto tenemos una sucesión de números enteros nueva que es creciente y cuyo primer término es negativo, lo que significa que el valor n cumple la primera desigualdad seguro para el valor n = 1. Puesto que va aumentando, existirá un valor, que llamaremos k para concretar, de forma que el término que corresponde a k es negativo pero a partir del cual los términos de la sucesión sean mayores o iguales que cero, con lo que la desigualdad primera no se cumplirá para valores mayores que k, pero sí para el valor k y los inferiores.</p><p>Ahora, trataremos de ver que para ese valor de k se cumple la segunda de las desigualdades originales, y para valores inferiores no, por lo que k es el único valor que cumple las dos desigualdades iniciales y es mayor o igual a 1.</p><p>Recapacitemos: k es el único valor en que se cumple que k*a<sub>k</sub> - a<sub>0</sub> - a<sub>1</sub> - ... -a<sub>k</sub> es negativo y (k + 1)*a<sub>k</sub> - a<sub>0</sub> - a<sub>1</sub> - ... -a<sub>k</sub> - a<sub>k + 1</sub> es positivo o cero.</p><p>Como ya hemos comentado, k*a<sub>k</sub> - a<sub>0</sub> - a<sub>1</sub> - ... - a<sub>k</sub> < 0 implica k*a<sub>k</sub> < a<sub>0</sub> + a<sub>1</sub> + ... + a<sub>k</sub> lo que a su vez nos lleva a que se cumple a<sub>k</sub> < (a<sub>0</sub> + a<sub>1</sub> + ... + a<sub>k</sub>)/k, que es la primera de las desigualdades.</p><p>Por otro lado, como (k + 1)*a<sub>k + 1</sub> - a<sub>0</sub> - a<sub>1</sub> - ... - a<sub>k</sub> - a<sub>k + 1</sub> ≥ 0, tenemos que (k + 1)*a<sub>k + 1</sub> ≥ a<sub>0</sub> + a<sub>1</sub> + ... + a<sub>k</sub> + a<sub>k + 1</sub>, por lo que k*a<sub>k + 1</sub> ≥ a<sub>0</sub> + a<sub>1</sub> + ... + a<sub>k</sub>, de donde se deduce que a<sub>k + 1</sub> ≥ (a<sub>0</sub> + a<sub>1</sub> + ... + a<sub>k</sub>)/k, que equivale a la segunda de las desigualdades.</p><p>Como toda la deducción es perfectamente reversible, la segunda desigualdad implica que el término siguiente de la nueva sucesión es positivo, y la primera, que el término correspondiente es negativo, por lo que sólo hay un valor posible que cumpla ambas, y es el que hemos encontrado.</p>Proble Máticohttp://www.blogger.com/profile/13288566943895328911noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-5143217119132695352.post-74046904634454866542014-04-27T22:26:00.001+02:002014-04-27T22:29:15.437+02:00Pesadas<p><a href="http://problemate.blogspot.com.es/2014/04/pesadas.html">Enunciado</a></p><p>Está claro que para pesar un kilogramo de lentejas, hay que poner un peso de 1 kg en la otra balanza, y que para pesar 2, basta repartir el peso de 3 y de 1, de forma que se resten, es decir, que el saco de lentejas debe acompañar a la pesa de 1 kg y en la otra balanza poner la de 3 kg.</p><p>Así, con sumas y restas, usando una única vez a lo sumo cada pesa, se tienen todos los valores que se desean.</p><p>En realidad sólo hay una única manera de hacerlo, y es extraño que las pesas elegidas sean las potencias de 3, ya que sólo funciona así con ellas, es decir, que si queremos pesar todas las cantidades hasta 40, añadiríamos al conjunto una pesa de 27 kg, y con una de 81 kg podríamos llegar a las cantidades hasta 121 ¡sin que falte ninguna!</p><p>Pero vamos a rellenar nuestra tabla:</p><table style="width: 100%; text-align: center; margin-left: auto; margin-right: auto;" border="1" cellpadding="2" cellspacing="2"><tbody>
<tr> <td style="width: 33%;">Plato A</td> <td style="width: 33%;">Plato B</td> <td>Kilogramos de lentejas</td></tr>
<tr><td>1</td><td>0</td><td>1</td></tr>
<tr><td>3</td><td>1</td><td>2</td></tr>
<tr><td>3</td><td>0</td><td>3</td></tr>
<tr><td>3 + 1</td><td>0</td><td>4</td></tr>
<tr><td>9</td><td>3 + 1</td><td>5</td></tr>
<tr><td>9</td><td>3</td><td>6</td></tr>
<tr><td>9 + 1</td><td>3</td><td>7</td></tr>
<tr><td>9</td><td>1</td><td>8</td></tr>
<tr><td>9</td><td>0</td><td>9</td></tr>
<tr><td>9 + 1</td><td>0</td><td>10</td></tr>
<tr><td>9 + 3</td><td>1</td><td>11</td></tr>
<tr><td>9 + 3</td><td>0</td><td>12</td></tr>
<tr><td>9 + 3 + 1</td><td>0</td><td>13</td></tr>
</tbody> </table><p>Si te fijas, encontrarás cierta simetría en la forma de disponer las piezas, añadiendo siempre una pesa más para cifras crecientes. La siguiente serie sería similar a la que hay, pero cambiándolas de plato y añadiendo la pesa de 27 en el primero. ¿Serías capaz de seguir?</p>Proble Máticohttp://www.blogger.com/profile/13288566943895328911noreply@blogger.com7tag:blogger.com,1999:blog-5143217119132695352.post-43671588669831732492014-04-06T22:27:00.002+02:002014-04-06T22:32:51.827+02:00Desigualdad con dos variables<p><a href="http://problemate.blogspot.com.es/2014/03/desigualdad-con-dos-variables.html">Enunciado</a></p><p>En este tipo de problemas, la idea es tratar la expresión comparada con 0, para tratar de delimitar si hay o no algún cambio de signo.</p><p>La idea más acertada sería transformarla en la expresión 0 ≤ -x<sup>3</sup> - xy<sup>2</sup> - 2xy + 2x<sup>2</sup>y + x<sup>2</sup> + x + y y a partir de aquí, factorizar la expresión para transformarla en alguna expresión claramente mayor que 0.</p><p>Para probar diferentes ideas, podemos tratar de sustituir una de las dos variables (la x o la y) por números válidos (por ejemplo, por 0, 1, 0.5, 0.2), para ver la expresión del polinomio que se presenta, de forma que tratemos de ver un resultado común, o al menos una idea general.</p><p>En este caso, parece que eso no nos da una idea que nos permita abordar el caso general.</p><p>Otra iniciativa que traté de hacer, de forma infructuosa, fue substituir las variables por t = 1 - x, que es positiva, o por s = 1 - y, que también lo es, y que estarían situadas exactamente en el mismo intervalo. Sin embargo, las expresiones que obtuve no me ofrecieron una idea, ni un factor común.</p><p>Una tercera vía fue intentar manipular los términos que tenían un coeficiente 2 para tratar de convertirlos en parte del cuadrado de una suma. Este trabajo sí que condujo a resultados claros. Por ejemplo, viendo que aparece 2x<sup>2</sup>y, traté de juntarlo con - x<sup>3</sup> y con -xy<sup>2</sup>, de forma que sacando factor común - x, obtuviese el cuadrado de una suma. En efecto, -x<sup>3</sup> - xy<sup>2</sup> - 2xy + 2x<sup>2</sup>y + x<sup>2</sup> + x + y = -x(x<sup>2</sup> - 2xy + y<sup>2</sup>) + x<sup>2</sup> - 2xy + x + y = -x(x - y)<sup>2</sup> + x<sup>2</sup> - 2xy + x + y.</p><p>Ahora, aparecen también en la expresión dos de los términos de (x - y)<sup>2</sup>, sólo falta el tercero, que podemos añadirlo por el sencillo método de sumar y restarlo, sin que varíe la expresión total, así, -x(x - y)<sup>2</sup> + x<sup>2</sup> - 2xy + x + y = -x(x - y)<sup>2</sup> + x<sup>2</sup> - 2xy + y<sup>2</sup> - y<sup>2</sup> + x + y = -x(x - y)<sup>2</sup> + (x - y)<sup>2</sup> - y<sup>2</sup> + x + y.</p><p>Como aparece dos veces la misma expresión, podemos extraerla factor común, quedando -x(x - y)<sup>2</sup> + (x - y)<sup>2</sup> - y<sup>2</sup> + x + y = (-x + 1)(x - y)<sup>2</sup> - y<sup>2</sup> + x + y.</p><p>Por último, reordenando algunos términos, dejamos (-x + 1)(x - y)<sup>2</sup> - y<sup>2</sup> + x + y = (1 - x)(x - y)<sup>2</sup> + x + y(1 - y).</p><p>Ahora, esta expresión, que es equivalente a la primera, es claramente positiva, pues es suma de tres números que son positivos, por ser estos números productos de números positivos, ya que x e y tienen un valor entre 0 y 1, por lo que x, y, 1 - y y 1 - x son valores positivos, y el factor (x - y) está elevado al cuadrado, con lo que también es positivo. Eso significa que la suma de esos tres términos es un número positivo, y por lo tanto la desigualdad inicial es cierta, siguiendo la transformación a la inversa.</p>Proble Máticohttp://www.blogger.com/profile/13288566943895328911noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5143217119132695352.post-83782509829223006872014-03-19T09:09:00.001+01:002014-03-19T17:56:15.114+01:00Agrupando tarjetas<p><a href="http://problemate.blogspot.com.es/2014/02/agrupando-tarjetas.html">Enunciado</a></p><p>El máximo teórico de puntos que tenemos repartidos en todas las tarjetas es 5*200 + 2*200 + 1*200 = 8*200 = 1600. Si pudiéramos separar los puntos de las tarjetas, podríamos hacer 1600/9 = 177, y sobrarían 7 puntos. Pero como no podemos separarlos, vamos a tratar de agruparlas de varias formas hasta dar con el máximo.</p><p>Hay varias formas de razonarlo.</p><p>Por ejemplo, si apartamos las tarjetas de 5, disponemos de tarjetas pequeñas que seguro podemos agrupar al máximo, y después ir añadiendo una a una tarjetas de 5 para tratar de dejar el mínimo de puntos fuera.</p><p>También podemos intentarlo al revés, de forma que agrupemos todas las tarjetas de 5 que podamos y después ver cuántas sobran.</p><p>Tomemos la primera de las ideas: Si agrupamos todas las de 1 y 2, el total de puntos es 600, que en teoría da para 600/9 = 66 y sobran 6. Podemos formar grupos de 9 con cuatro tarjetas de 2 y una de 1, hasta que nos quedemos sin tarjetas de 2 (200/4 = 50), eso hará 50 grupos, y aún quedarán 150 tarjetas de 1, que se repartirán en (150/9 = 16) 16 grupos de 9 tarjetas de 1, donde sobrarán sólo 6 tarjetas de 1 punto. Efectivamente, alcanzamos el máximo teórico.</p><p>Ahora, si introducimos tarjetas de 5 (en un grupo de 9 puntos, las tarjetas de 5 deben ir de una en una, no pueden unirse dos), necesitamos romper un grupo que tenga tarjetas 2 y reagrupar dos de ellas con cada 5, y unir las tarjetas de 1 entre sí para agrupar 9 cuando tengamos suficientes (la alternativa también es posible, romper los grupos de 1, pero podemos dejar esto para el final, ya que las tarjetas de 1 son más fáciles de reagrupar). Es decir, si incorporamos 36 tarjetas de 5, por ejemplo, tendríamos que romper 18 grupos de 2 + 2 + 2 + 2 + 1, originando 36 grupos de 5 + 2 + 2, y 4 nuevos grupos de 9*1, dejando siempre de exceso los 6 unos del principio. Este proceso sólo lo podemos hacer mientras queden grupos de 4*2 + 1, es decir, sólo 100 tarjetas 5 podrán ser incorporadas con éxito de esa forma. Pasamos ahora a una situación en la que tenemos 100 grupos 5 + 2*2, y las tarjetas 1 se situarán formando grupos de 9, 22 grupos de 9, sobrando 2 de ellas.</p><p>Ahora, las tarjetas 5 que añadamos (recuerda que tenemos 100 todavía), no pueden conseguir más 2, pero aún pueden romper un grupo de 9 unos para formar 5 + 4*1, y si añadimos dos 5 sólo quedará una tarjeta de 1 sobrante (que se podrá unir a los demás 1, quedando un resto si suman menos que 9). Así podremos añadir (200 / 4 = 50) 50 tarjetas de 5, hasta tener 50 grupos más con 5 + 4*1, y en ese caso no sobrará ningún 1.</p><p>Lamentablemente, aún nos quedarán 50 tarjetas 5 por agrupar, y no podremos incorporarlas sin romper un grupo y dejar, a su vez, una tarjeta 5 sin agrupar. Por tanto, nuestro procedimiento nos proporciona 150 grupos de tarjetas (100 de 5 + 2*2 y 50 de 5 + 4*1) y un excedente de 50 tarjetas 5, que sumarán 150*9 + 50*5 = 1350 + 250 = 1600 puntos en total.</p><p>Pero ¿es esa la cantidad máxima que podemos lograr? ¿habrá un reparto en el que haya más grupos?</p><p>Para estar seguros de que no, ahora que tenemos la respuesta que creemos correcta, lo plantearemos por reducción al absurdo.</p><p>Supongamos que hemos conseguido un reparto con más de 150 grupos. Para fijar ideas, pensemos que logramos 151 grupos y ponemos en otro montón las tarjetas restantes. Si sumamos los puntos, en el montón sobrante habrá menos de 250 puntos, es decir, que fuera de los grupos hay menos de 50 tarjetas de 5, pero eso quiere decir que en los repartos hemos usado más de 150 tarjetas con 5, y como sólo puede haber una de 5 en cada grupo, significa que habrá exactamente 1 en cada grupo.</p><p>Por tanto, en cada grupo de los 151 hay 4 puntos en tarjetas de 2 y de 1, es decir 151*4 = 604 puntos al menos, cuando sabemos que a lo sumo hay 600 puntos entre todas las tarjetas de esos tipos.</p><p>Esto es imposible.</p><p>Por tanto, en efecto el máximo posible de grupos es 150, y anteriormente se ha descrito uno de los repartos posibles.</p>Proble Máticohttp://www.blogger.com/profile/13288566943895328911noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5143217119132695352.post-59038304298975737342014-02-23T22:51:00.000+01:002014-02-23T22:51:19.005+01:00En la peluquería<p><a href="http://problemate.blogspot.com.es/2014/02/en-la-peluqueria.html">Enunciado</a></p><p>Supongo que todo el que haya leído este enunciado y haya cursado un nivel algo más alto, reconocerá el típico problema "de mezclas" que se resuelve usando álgebra.</p><p>Si queremos plantearlo de una manera creativa sin hacer uso del álgebra, podemos utilizar un recurso muy sencillo. Por ejemplo, probar a usar una cantidad conocida del primer producto, en el que podemos calcular mediante proporciones cuánto principio activo hay, y reemplazar una unidad por el segundo producto, para ver cuánto principio activo queda (dejando sin cambios la cantidad total). Si repetimos el procedimiento un cierto número de veces, obtendremos el resultado buscado.</p><p>Veamoslo más detalladamente. Si partimos, por ejemplo, de 100 litros del primer producto, contendrá 30 litros de principio activo. Ahora, si eliminamos un litro, quedan 99 litros (con 29,7 litros de principio activo), y si añadimos 1 litro del otro producto, estamos incorporando sólo 0,03 litros de principio activo, es decir, tendremos ahora 100 litros, pero tan sólo 29,73 litros de principio activo, es decir, habremos perdido 0,27 litros de principio activo por cada litro que cambiemos. Puedes confirmarlo cambiando una cantidad cualquiera (por ejemplo, si cambias 5 de los 100 litros, quedarán 95 litros de producto concentrado y 5 del otro, lo que supone 95*0,3 + 5*0,03 = 28,5 + 0,15 = 28,65, que es lo mismo que 30 - 5*0,27 = 30 - 1,35 = 28,65). Ahora, para conseguir que sólo quede 12 litros de principio activo, debemos quitar de los 30 litros nada menos que 18. Si intentamos quitarlos en grupos de 0,27, deberemos dividir, y no sale exacto, es decir, sale que hemos de cambiar 66,67 litros aproximadamente, y por tanto esa debería ser la proporción, 33,33 litros de cada 100 del producto más puro y 66,67 del más diluido para la mezcla buscada.</p><p>Claro, que al fin y al cabo, si buscamos números más exactos, debemos fijarnos en que hemos dividido 18 entre 0,27, es decir, 1800 entre 27. Y no es exacto porque 27 tiene un factor 3 de más, es decir, que si tuviésemos una cantidad de litros múltiplo de 3, nos habría dado exacto. Podemos repetir el razonamiento con una cantidad múltiplo de 3 para conseguirlo.</p><p>Supongamos que tenemos 3 litros del producto concentrado. Tendremos entonces 0,90 litros de principio activo. Si cambiamos un litro por el producto segundo, tendremos 2*0,30 + 1*0,03 = 0,60 + 0,03 = 0,63, es decir, habremos perdido 0,27 litros de principio activo. Como queremos alcanzar 3*0,12 = 0,36 litros, debemos perder 0,90 - 0,36 = 0,54, es decir, el doble de 0,27, es decir, que basta cambiar 2 litros del producto más concentrado por el otro.</p><p>Así que una proporción precisa sería mezclar un litro del primer producto con dos del segundo.</p>Proble Máticohttp://www.blogger.com/profile/13288566943895328911noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5143217119132695352.post-47108966856614265682014-02-16T21:00:00.000+01:002014-02-16T21:00:13.261+01:00Salto generacional<p><a href="http://problemate.blogspot.com.es/2014/02/salto-generacional.html">Enunciado</a></p><p>En definitiva, hemos de buscar lo que sucede si sumamos cuatro números consecutivos, y debe dar un número múltiplo de 11, que además sea mayor que 50.</p><p>Una primera sugerencia es sumar números bajos. Si el menor es 1, nos da 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Si aumentamos el menor de los números, también aumentaremos todos los demás, obteniendo 2 + 3 + 4 + 5 = 14. Está claro que cada unidad que aumentemos la edad del menor, añadimos 4 unidades a la suma.</p><p>Dicho de otra forma, las posibles edades del abuelo aumentan de 4 en 4, siempre entre números pares pero que no son múltiplos de 4 (10, 14, 18, 22, ....). Como vemos, el primer múltiplo de 11 es el 22, que no es válido por no ser mayor que 50. Como vamos de 4 en 4, y también de 11 en 11 para obtener múltiplos de 11, debemos añadir de 44 en 44, es decir, que la siguiente posible edad será 22 + 44 = 66. Y la siguiente 110. Está claro que la siguiente, 154, es algo excesiva hasta para un abuelo de un problema de matemáticas.</p><p>En el caso de la edad de 66, habremos sumado 56 a 10, lo que hace un total de 56/4 = 14 años a cada uno de los nietos, es decir, que tendrán 15, 16, 17 y 18.</p><p>Si el abuelo tiene 110, entonces habremos sumado 100 a 10, 25 a cada nieto, lo que da 26, 27, 28 y 29.</p><p>Otra idea que podemos seguir, es que si sumamos cuatro números consecutivos, el primero y el último suman lo mismo que los dos centrales, y debe ser un número impar, así que la edad del abuelo debe ser par, y no puede ser múltiplo de 4. Como además ha de ser múltiplo de 11, llegamos a 66 y a 110 de la misma forma. Ahora, para las edades de los nietos, en el primer caso, deben sumar 33 los dos centrales, lo que obliga a que sean 16 y 17 (observa que 16 = (33 - 1)/2). Luego son 15, 16, 17 y 18. En el segundo caso, los dos centrales sumarán 55, por lo que deben ser 27 y 28, así que los cuatro serán 26, 27, 28 y 29.</p>Proble Máticohttp://www.blogger.com/profile/13288566943895328911noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5143217119132695352.post-53245526152642480532014-02-09T23:16:00.000+01:002014-02-09T23:16:40.942+01:00Desigualdad con raíces<p><a href="http://problemate.blogspot.com.es/2014/02/desigualdad-con-raices.html">Enunciado</a></p><p>Este tipo de enunciados es muy frecuente en la fase local, debemos disponer de estrategias que nos permitan afrontarlos con cierta tranquilidad, porque no son especialmente difíciles, pero si no dominamos las estrategias adecuadas, pueden convertirse en una cuestión imposible.</p><p>Una de las herramientas básicas consiste en conocer las desigualdades de las medias, para las cuales aconsejo leer dos pequeños artículos (en pdf) de korovkin: <a href="http://rinconmatematico.com/korovkin/korovmediageom.pdf">las desigualdades aritmético geométricas</a> y las <a href="http://rinconmatematico.com/korovkin/korovmediaspotenciales.pdf">potenciales</a>.</p><p>En este caso, nos interesa aplicar una desigualdad que afirma que la media aritmética de números positivos es siempre menor que la cuadrática. ¿Por qué la media cuadrática? Porque, al elevar al cuadrado, nos permite eliminar las molestas raíces que aparecen en nuestro enunciado.</p><p>Es decir, que como se da que √((s<sup>2</sup> + t<sup>2</sup>)/2) ≥ (s + t)/2, aplicándolo a la expresión más complicada que tenemos, √(ab) + √((a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup>)/2) = 2*(√(ab) + √((a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup>)/2))/2 ≤ 2*√((√(ab)<sup>2</sup> + √((a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup>)/2)<sup>2</sup>)/2), donde la hemos aplicado a esas dos expresiones, que quedan elevadas al cuadrado. Esta expresión se transforma ahora en 2*√((√(ab)<sup>2</sup> + √((a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup>)/2)<sup>2</sup>)/2) = 2*√(ab + (a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup>)/2)/2) = 2*√((2ab + a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup>)/4) = 2*√((a + b)<sup>2</sup>/4) = 2*(a + b)/2 = a + b, con lo que queda demostrada la afirmación.</p><p>Otro enfoque, bastante diferente, consiste en dividir esta desigualdad entre una de las variables, pongamos por a, de forma que √(ab) + √((a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup>)/2) ≥ a + b es equivalente a √(b/a) + √((1 + (b/a)<sup>2</sup>)/2) ≥ 1 + b/a, de forma que todo queda dependiendo de una única variable b/a, es decir, que basta demostrar que √x + √((1 + x<sup>2</sup>)/2) ≥ 1 + x, de forma que se trata de una desigualdad en una única variable, algo mucho más fácil de manejar, por ejemplo, resolviendo la igualdad √x + √((1 + x<sup>2</sup>)/2) = 1 + x y descubriendo dónde se cortan las dos funciones y dónde es mayor una que otra realmente.</p>Proble Máticohttp://www.blogger.com/profile/13288566943895328911noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5143217119132695352.post-66802163869048533102014-02-02T21:30:00.001+01:002014-02-02T21:30:31.124+01:00Una lista de 100 números muy peculiar<p><a href="http://problemate.blogspot.com.es/2014/01/una-lista-de-100-numeros-muy-peculiar.html">Enunciado</a></p><p>Si tratamos de conseguirlo, enseguida surgirán problemas, pero es difícil concretar porqué, y cuál es la cantidad de números a partir de la cual empiezan las dificultades.</p><p>La idea es encontrar una propiedad de los cuadrados que impida acumular muchos números con esas condiciones, pero es difícil dar con una propiedad sencilla. En este tipo de situaciones, debemos suponer que tenemos una lista de ese tipo, y demostrar que hay una propiedad imposible de cumplir, por lo que sabremos que no existe esa lista. Este método se denomina reducción al absurdo.</p><p>La primera observación útil es que si se obtienen cuadrados sumando cinco y nueve números impares, ha de tratarse de cuadrados impares. Esto está claro. ¿Hay alguna propiedad de los cuadrados impares que nos pueda dar una pista?</p><p>Claro, que si pensamos en 5*9 = 45 números de esa lista, nos fijamos en que los mismos números deben sumar cinco cuadrados y también nueve cuadrados, es decir, que cinco cuadrados deben sumar lo mismo que nueve cuadrados, y ahí podemos encontrar dificultades. Vamos a tratar de centrarnos en esa posibilidad, y ver qué sucede con los cuadrados impares, al estudiar diferentes posibilidades.</p><p>Si nos fijamos sólo en su paridad, no avanzamos mucho, ya que es muy sencillo sumar cinco impares y que tenga la misma paridad que sumar nueve. No es ese el factor que nos lleva a una situación imposible.</p><p>Sin embargo, atendiendo a los números en su relación con 4, por ejemplo, observaremos que pueden ser de la forma 4k + 1 y 4k + 3 según su resto al dividir entre 4. Sin embargo, al elevar al cuadrado alguno de estos dos números, tenemos (4k + 1)<sup>2</sup> = 16k<sup>2</sup> + 8k + 1 = 8*(2k<sup>2</sup> + k) + 1 y (4k + 3)<sup>2</sup> = 16k<sup>2</sup> + 24k + 9 = 8*(2k<sup>2</sup> + 3k + 1) + 1, de forma que en ambos casos, sus cuadrados sólo pueden ser de la forma 8s + 1 para algún s, es decir, al dividirlos entre 8 siempre tienen resto 1.</p><p>Aquí se ve cuál debe ser el problema, ya que si tenemos cinco números que al dividirlos entre 8 dan 1 de resto, su suma dará 5 de resto al dividirlos entre 8, y si tenemos nueve números así, entonces al dividirlos entre ocho debería dar resto 1 (ya que los nueve unos se unirían en un ocho y un uno). Por lo tanto es imposible que los dos números sean iguales, así que ni siquiera podremos llegar a 45 números con esta propiedad, por mucho que busquemos. Y mucho menos a 100.</p><p>Es posible que haya otras condiciones que impidan escribir listas incluso más cortas, pero probablemente sean más complicadas ¿alguien puede encontrar alguna?</p>Proble Máticohttp://www.blogger.com/profile/13288566943895328911noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5143217119132695352.post-24876588068156369392014-01-26T22:25:00.001+01:002014-01-26T22:30:46.976+01:00Creando espacios<p><a href="http://problemate.blogspot.com.es/2014/01/creando-espacios.html">Enunciado</a></p><p>En primer lugar, necesitamos saber más de las dimensiones de la habitación. Podemos verlo como dos rectángulos, uno de 20*x metros, y otro de (20 - x)*10, de forma que ambos suman 280 metros cuadrados. También podemos pensar en el problema como la diferencia entre dos rectángulos, y en ese caso convendría hacerlo con dos incógnitas. No veo ninguna forma de plantearlo sin utilizar álgebra, tal vez, tratar de calcularlo por tanteo.</p><p>La ecuación, en este caso, sería 20x + 200 - 10x = 280, de donde 10x = 80, por lo que x = 8.</p><p>Podemos comprobar que el rectángulo 20* 8 = 160, y que 12 * 10 = 120, sumando entre ambos 280.<br />
Por lo tanto, BC vale 12, y GA y FG valen ambos 8.</p><p>Ahora el problema es dónde situar D para hacer el tabique que nos piden.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="http://3.bp.blogspot.com/-3gb5JVK6rgE/UuV9GPTKOpI/AAAAAAAABhc/9z_N0TqtMxw/s1600/habitacionsol.png" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" src="http://3.bp.blogspot.com/-3gb5JVK6rgE/UuV9GPTKOpI/AAAAAAAABhc/9z_N0TqtMxw/s320/habitacionsol.png" /></a></div><p>Hay muchas maneras de abordar este problema. La más sencilla, tal vez, es descomponer el espacio de una de las áreas en rectángulos y triángulos rectángulos que nos permitan calcularlo con facilidad.</p><p>Si prolongamos el segmento GA, de forma que atraviese el segmento CD en un punto que llamaremos P, dividiremos ese espacio nuevo en un rectángulo que mide 12*10 = 120, y un triángulo rectángulo, que tiene un lado de 12 metros, y que debe medir 20 metros cuadrados, de forma que su altura (el otro cateto) debe medir 40/12 = 10/3 metros, para que (12*10/3)/2 = 40/2 = 20. Así, la distancia entre D y C debe ser 10/3 + 10 = 40/3 metros, aproximadamente 13,33 metros (si no me he equivocado).</p><p>Proble Máticohttp://www.blogger.com/profile/13288566943895328911noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5143217119132695352.post-81060121723037472462014-01-12T23:04:00.000+01:002014-01-12T23:04:05.404+01:00Áreas y perímetros<p><a href="http://problemate.blogspot.com.es/">Enunciado</a></p><p>La clave de este problema consiste en calcular el valor de los segmentos que forman los diferentes triángulos. Puesto que los cuadrados tienen un perímetro, respectivamente, de 20 y 48, sus lados serán 5 y 12. Por otra parte, las diagonales de los rectángulos miden, según dice el enunciado, 13 centímetros.</p><p>En cuanto a las áreas, los cuadrados tienen un área, respectivamente, de 25 centímetros cuadrados y 144 centímetros cuadrados, mientras que cada triángulo tiene un área que vale la mitad de los rectángulos, es decir, 60/2 = 30 centímetros cuadrados.</p><p>Así pues, el perímetro de la primera imagen estará formado por dos lados cortos, dos largos y dos diagonales, un total de 5*2 + 12*2 + 13*2 = 60 centímetros. Su área será la suma de dos triángulos, es decir, 60 centímetros cuadrados.</p><p>La segunda imagen tiene un perímetro formado por los mismos elementos que la primera, de forma que también mide 60 centímetros. Pero su área añade a los 60 centímetros cuadrados 25 del cuadrado pequeño, lo que hace un total de 85 centímetros cuadrados.</p><p>En el tercer caso, se trata de una figura cuyo perímetro consiste en 3 lados cortos, tres largos y una única diagonal, es decir, 5*3 + 12*3 + 13 = 64 centímetros. Su área se descompone en tres triángulos y un cuadrado grande, en total 30*3 + 144 = 234 centímetros cuadrados.</p><p>Y por último, el perímetro de la cuarta figura tiene también esa misma descomposición, es decir, tiene un perímetro de 64 centímetros. Su área se calcula de una manera similar, pero esta vez con un cuadrado pequeño, es decir, 3*30 + 25 = 115 centímetros cuadrados.</p>Proble Máticohttp://www.blogger.com/profile/13288566943895328911noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-5143217119132695352.post-76990374824662042182013-11-17T17:24:00.000+01:002013-11-17T17:24:14.481+01:00Desigualdad diofántica<p><a href="http://problemate.blogspot.com.es/2013/11/desigualdad-diofantica.html">Enunciado</a></p><p>En este caso es fundamental el hecho de que todos los números que aparecen son enteros, ya que no se cumple con números reales, por ejemplo.</p><p>Tenemos que ab = n<sup>2</sup> + 1, y a > b. Pongamos un ejemplo, si n = 7, podemos hacer que a = 10 y b = 5, así 10*5 = 7<sup>2</sup> + 1. Bien, pues en ese caso, a - b = 5, que es igual que √(4*7 - 3) = √25 = 5 en ese caso. Pero a veces, es incluso menor, como por ejemplo, si n = 8, y a y b pueden ser 13 y 5. En ese caso, a - b vale 8, mientras que √(4n - 3) vale √29, y este número es claramente inferior.</p><p>Puede parecer un resultado intrascendente, pero es una característica muy interesante de los números de la forma n<sup>2</sup> + 1, entre los que se sospecha que existen numerosos números primos, pero no se sabe con certeza (cuarto problema de Landau). Además, lo que probamos es que si existe una factorización en dos factores, la diferencia entre el mayor y el segundo es mayor que un cierto valor que depende de n y que, por lo tanto, va creciendo.</p><p>En este problema se trata de jugar con las expresiones a - b y √(4n - 3), para tratar de compararlas. Puesto que ambas son expresiones positivas, podemos elevarlas al cuadrado y mantendrán sus tamaños relativos, quedando a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> - 2ab y 4n - 3 respectivamente.</p><p>Usando ahora que ab es igual a n<sup>2</sup> + 1, podemos sumar a ambas expresiones esta igualdad dos veces y tenemos las dos expresiones transformadas en a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> y 2n<sup>2</sup> + 4n - 1. Tal y como quedan no sirven para nada, pero si repetimos el proceso, obtenemos que las expresiones se transforman en a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> + 2ab y 4n<sup>2</sup> + 4n - n, que son ambos cuadrados perfectos, es decir, (a + b)<sup>2</sup> y (2n + 1)<sup>2</sup>.</p><p>Bastaría entonces si pudiésemos comparar a + b a 2n + 1 y resultase ser mayor.</p><p>De la desigualdad entre las medias aritméticas y geométricas, sabemos que (a + b)/2 ≥ √(ab), por lo que a + b será mayor o igual que 2√(n^2 + 1), y, puesto que el segundo número es algo mayor que 2n, la desigualdad es estricta. De esta forma, sabemos que a + b es mayor que 2n, y, puesto que entre los enteros hay al menos una unidad, sabemos que a + b ≥ 2n + 1.</p><p>Para llegar de nuevo a la desigualdad inicial, basta seguir el proceso al revés. Como a + b ≥ 2n + 1, y ambos son positivos, elevando al cuadrado, tenemos que (a + b)<sup>2</sup> ≥ (2n + 1)<sup>2</sup>, y desarrollando, eso indica que a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> + 2ab ≥ 4n<sup>2</sup> + 4n - n. Restando a ambas expresiones, respectivamente, la igualdad ab = n<sup>2</sup> + 1 cuatro veces, tenemos que a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> - 2ab ≥ 4n - 3, que es equivalente a (a - b)<sup>2</sup> ≥ 4n - 3. Tomando de ambas expresiones su raíz cuadrada positiva, tenemos la desigualdad que pretendemos probar, que a - b ≥ √(4n - 3).</p><p>¿cuándo se da la igualdad? Es necesario que 4n - 3 sea un cuadrado perfecto, es decir, que 4n = u<sup>2</sup> + 3 (observa que basta que u sea impar para que se pueda conseguir un n válido), y además, ab = n<sup>2</sup> + 1 y a + b = 2n + 1. Tratando estas tres igualdades como un sistema de ecuaciones en las que u juega el papel de parámetro, tenemos que (con un poco más de trabajo, claro) que a = (u<sup>2</sup> + 2u + 5)/4 y que b = (u<sup>2</sup> - 2u + 5)/4. Por ejemplo, si tomamos u = 5, n = 7, a = 10, b = 5, que es el caso que ya conocíamos, y si u = 7, n = 13, a = 17, b = 10.</p>Proble Máticohttp://www.blogger.com/profile/13288566943895328911noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5143217119132695352.post-2283618927822984602013-11-09T19:37:00.000+01:002013-11-09T19:39:06.799+01:00Segmentos sin cortar<p><a href="http://problemate.blogspot.com.es/2013/10/segmentos-sin-cortar.html">Enunciado</a></p><p>Este problema es muy interesante.</p><p>Usa de forma bastante repetitiva una fórmula que nos dice cuántos segmentos se pueden trazar entre N puntos. Son, exactamente N*(N-1)/2, ya que cada uno de ellos lo podemos unir con todos los restantes, y así contaremos cada segmento dos veces, ya que tiene dos extremos cada segmento.</p><p>En realidad, si corta segmentos de los que se forman entre todos los puntos que hemos seleccionado, eso significa que esos 60 segmentos tienen un extremo a cada lado de la recta, y es suficiente decidir cuántos puntos hay en cada uno de los dos lados para contar cuántos segmentos no son cortados por la recta.</p><p>El caso más sencillo es que sólo haya un punto a un lado de la recta, por lo que habrá 60 exactamente al otro, pues la recta corta exactamente a 60 segmentos. Por lo tanto, no habrá más segmentos en el lado "solitario", pero habrá 60*59/2 = 1770 segmentos en el otro lado, así que habrá estos 1770 segmentos que no cortará la recta.</p><p>Otro caso diferente es que haya 2 puntos en el lado menos poblado, y entonces habrá 30 en el otro, evidentemente, ya que son 60 los segmentos que pasan entre ellos por la recta. Eso hará que haya un segmento en el lado de los 2 puntos, y 30*29/2 = 435 en el otro lado. En total, 436 segmentos que no cortan la recta.</p><p>En el tercer caso, habrá 3 y 20 puntos, y el número de segmentos que no cortan será 3 + 20*19/2 = 193.</p><p>En el cuarto, habrá 4 y 15 puntos, lo que lleva a 4*3/2 + 15*14/2 = 6 + 105 = 111 segmentos.</p><p>En el quinto caso, habrá 5 y 12 puntos respectivamente, lo que nos lleva a 5*4/2 + 12*11/2 = 10 + 66 = 76 segmentos que no cortan.</p><p>En el sexto caso, habrá 6 y 10 puntos respectivamente, de forma que hay 6*5/2 + 10*9/2 = 15 + 45 = 60 segmentos que no se cortan (casualmente, los mismos que sí que cortan).</p><p>Y ya no hay más casos, porque 7, 8 y 9 son números que no dividen a 60, por lo que no puede ser que esté esa cantidad de puntos a un lado, pues no conseguiremos 60 segmentos que pasen sobre la recta.</p><p>Por tanto, las respuestas posibles serían, como dice nuestro anónimo visitante, 60, 76, 111, 193, 436 y 1770.</p>Proble Máticohttp://www.blogger.com/profile/13288566943895328911noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5143217119132695352.post-72037416559179075182013-10-21T00:20:00.000+02:002013-10-21T00:20:30.417+02:00Rellenando el tablero<p><a href="http://problemate.blogspot.com.es/2013/10/rellenando-el-tablero.html">Enunciado</a></p><p>Si has manipulado algo con figuras redondas, sabrás que la forma más compacta de poner fichas consiste en crear filas de fichas apoyadas cada fila en dos fichas de la fila anterior, de forma que en las filas impares tendremos ocho fichas y en las pares una menos. El objetivo es tratar de poner alguna fila más dentro del tablero.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="http://4.bp.blogspot.com/-xVCJGRt6D9M/UmRWflBitJI/AAAAAAAABfc/Pg4Yga8WjNg/s1600/tresmonedas.png" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" src="http://4.bp.blogspot.com/-xVCJGRt6D9M/UmRWflBitJI/AAAAAAAABfc/Pg4Yga8WjNg/s320/tresmonedas.png" /></a></div><p>Si nos fijamos en tres fichas puestas de esta forma, descubrimos que se forma entre sus centros un triángulo equilátero que nos va a ayudar, con ayuda del Teorema de Pitágoras, a descubrir la distancia entre las filas.</p><p>En efecto, el triángulo equilátero tiene los lados de 3 centímetros, y si lo dividimos en dos partes iguales, se formará un triángulo rectángulo que tendrá una hipotenusa de 3 y un cateto de 1,5 centímetros. Aplicando Pitágoras, la altura, que es lo que nos interesa, al cuadrado, medirá 9 - 2.25 = 6.75, de forma que (con la calculadora) debe medir aproximadamente 2.598076211.</p><p>Así, las dos filas ocuparán un total de 3 + 2.598076211 = 5.598076211 (menos que 6), y dejarán algo de sitio libre en la segunda fila de casillas.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="http://3.bp.blogspot.com/-SavXLoORJNA/UmRWw6iRv3I/AAAAAAAABfk/oXsEa1aJMEk/s1600/masmonedas.png" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" src="http://3.bp.blogspot.com/-SavXLoORJNA/UmRWw6iRv3I/AAAAAAAABfk/oXsEa1aJMEk/s320/masmonedas.png" /></a></div><p>Si probamos ahora a unir más filas, encontramos que, por ejemplo, si ponemos tres filas, la altura máxima que usaremos será la suma de dos radios de las fichas más dos alturas del triángulo calculado previamente (3 + 2.598076211*2 = 8.196152423), dejando algo más de espacio en la tercera fila del tablero.</p><p>Sucesivamente, la cuarta fila añadirá otra altura del triángulo, midiendo 10.794228634. ¿cuántas filas caben en nuestro tablero? Pues bastará restar a sus 24 centímetros 3 y dividir el resultado entre las alturas de cada fila, 2.598076211. Eso hace un total de 8.082903769, es decir, que podemos poner en realidad 9 filas (y apenas sobrará sitio), es decir, que podemos poner 5 filas de 8 fichas y 4 de 7, lo que hace un total de 68 fichas.</p><p>Observa que hemos puesto 4 fichas más que si hubiésemos optado por poner una en cada casilla. Sin embargo, el espacio sobrante, si se pudiese aprovechar mediante un cuidadoso troceo de las fichas daría para poner 81 fichas y casi media, ya que si dividimos el área del tablero por las de las fichas obtenemos esta cantidad. Más de 13 fichas más. Pero no hay ninguna distribución que nos permita colocarlas sin romperlas.</p>Proble Máticohttp://www.blogger.com/profile/13288566943895328911noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5143217119132695352.post-5878166086541571232013-10-05T21:04:00.000+02:002013-10-05T21:04:18.973+02:00La ropa<p><a href="http://problemate.blogspot.com.es/2013/09/la-ropa.html">Enunciado</a></p><p>Este problema es sencillo si ya has trabajado con álgebra, pero no lo es tanto si deben inventarse ellos la solución.</p><p>Hay dos enfoques. Si vamos añadiendo productos, podemos acumular varias veces lo que tenemos y tratar de pagar con las condiciones que nos ponen. Como queremos pagar un pantalón, un suéter y un abrigo, podemos pagar el suéter y el abrigo, 91€, y para pagar el abrigo, añadir otro conjunto igual, un pantalón, un suéter y un abrigo, de forma que nos queda por pagar dos pantalones, un suéter y un abrigo. Ahora, lo agrupamos como un pantalón más un abrigo y un suéter más otro pantalón. En total, costaría 91€ + 112€ + 55€ = 258€. Como hemos acumulado el doble de lo que queríamos, tenemos que las tres cosas cuestan la mitad de 158, es decir, 129€.</p><p>Como nos piden el precio por separado, basta restar los pares que sabemos lo que valen, es decir, el abrigo vale 129€ - 55€ = 74€, el pantalón vale 129€ - 91€ = 38€, y el suéter vale 129€ - 112€ = 17€.</p><p>El enfoque que hemos visto es similar a tratar de resolver un sistema por reducción.</p><p>El otro enfoque que se me ocurre, es tratar por tanteo el problema, es decir, comprobar que si suponemos que el pantalón vale un euro, por ejemplo, el suéter cuesta 54 (para que sumen 55) y el abrigo 111 (para que sumen 112), por lo que entre ambos deberían valer 165, no 91. Sin embargo, si subimos el precio del pantalón a 2 euros, entonces el suéter costaría 53 y el abrigo 110, en total 163. Estamos más cerca de 91, por lo que hay que subir el precio del pantalón mucho más, hasta que cuando vale 38€, obtenemos que el suéter vale 17€, y el abrigo 74€, como hemos visto en el método anterior.</p><p>Este enfoque sería similar al método de sustitución en los sistemas, y sería más sencillo de entender para la mayoría de alumnos.</p>Proble Máticohttp://www.blogger.com/profile/13288566943895328911noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-5143217119132695352.post-12481931529975295392013-09-21T20:20:00.000+02:002013-09-21T20:20:00.795+02:00Multiplicación grande, resultado pequeño<p><a href="http://problemate.blogspot.com.es/2013/09/multiplicacion-grande-resultado-pequeno.html">Enunciado</a></p><p>Este es un problema bastante complicado, porque implica cálculos con polinomios bastante grandes, y no he encontrado una manera de resolverlo que no implique "probar" funciones sencillas. Este método, que yo sepa, no se puede generalizar, aunque a mí me ha servido al menos en dos problemas muy diferentes.</p><p>Es difícil encontrar una pauta en el crecimiento de esta multiplicación conforme le vamos añadiendo términos. Veamos los ejemplos que podemos calcular sin mucha dificultad.</p><p>El primer elemento que encontramos es 2 (1 + 1/1), evidentemente menor que 3.</p><p>El segundo factor es 1 + 1/8 = 9/8, que es poco mayor que 1, así que el producto da 9/4, también menor que 12/4 = 3.</p><p>El tercer factor es 1 + 1/27 = 28/27, que nos proporciona 7/3, claramente menor que 9/3.</p><p>Hasta aquí, tenemos cierta esperanza de que los términos se simplifiquen hasta dar un patrón claro, pero el cuarto factor, 65/64, nos da un total de 455/192, que, aunque es menor que 576/192 = 3, no es una fracción precisamente sencilla.</p><p>No parece mejorar con el siguiente factor, 126/125 que nos da un total de 1911/800. No parece que sugiera un patrón claro.</p><p>Una alternativa para estos casos consiste en acotar la sucesión de productos, es decir, probar con una sucesión sencilla (casi tanteando), que sea algo mayor que todos los términos y nos permita generalizar. Así, probaremos que, aunque tomemos tantos términos como queramos, siempre estaremos por debajo del valor que se pide, 3, en particular, si tomamos 2013 términos como pide el enunciado.</p><p>No nos vale con una cota constante, ya que cada vez habrá que multiplicarla por un número algo mayor que 1, y crecerá, lógicamente. Necesitamos algo que se acerque a 3 lentamente, para comprobar que el nuevo resultado de añadir un factor nuevo al producto es algo menor que el elemento correspondiente, aunque sea algo mayor que el anterior.</p><p>Una sucesión que hace algo similar sería la sucesión 3 - 1/n, y podemos comprobar que sirve a nuestro propósito. Tal vez no sea la única que sirva pero sí es muy sencilla y no es excesivamente difícil operar con ella.</p><p>Nuestro objetivo, ahora, es comprobar que desde el primer término, todos los productos de m términos de esa sucesión son más pequeños que 3 - 1/m, y así cualquier producto de cualquier cantidad de términos estará por debajo de 3.</p><p>Para hacerlo, comprobaremos que los primeros términos cumplen esa propiedad. De esta forma, 2 no sobrepasa a (es menor o igual que) 3 - 1/1 = 2.</p><p>También podemos ver que 2*(9/8) = 9/4 es menor que 3 - 1/3 = 8/3, como puedes comprobar (en realidad, bastaría con que a partir de cierto término sea menor o igual).</p><p>El caso es que ahora veamos que, si para cierta cantidad m es cierto que el producto de los m primeros elementos es menor que 3 - 1/m, entonces podemos comprobar que al añadir un factor más, aún estamos por debajo de 3 - 1/(m + 1). Si conseguimos comprobar esta propiedad, todos los productos estarán acotados, y el enunciado estará probado.</p><p>Así pues, supongamos que el producto de los m primeros factores es menor que 3 - 1/m.</p><p>Añadir un factor nuevo significa multiplicar todo lo anterior por el elemento (1 + 1/(m + 1)<sup>3</sup>), y como todo lo anterior es menor que 3 - 1/m, el producto ese será seguro menor que (3 - 1/m)*(1 + 1/(m + 1)<sup>3</sup>).</p><p>Ahora, debemos comprobar si el resultado es menor o no que 3 - 1/(m + 1), y, si es así, el razonamiento estará acabado.</p><p>Vamos a intentar expresar el producto (3 - 1/m)*(1 + 1/(m + 1)<sup>3</sup>) de una forma más sencilla. Pasamos por la expresión (3m + 1)*((m + 1)<sup>3</sup>+ 1)/(m*(m + 1)<sup>3</sup>) Reduciendo a un polinomio el numerador, pero no el denominador, obtenemos una expresión bastante larga, pero que es la que necesitamos: (3m<sup>4</sup> + 8m<sup>3</sup> + 6m<sup>2</sup> + 3m - 2)/(m*(m + 1)<sup>3</sup>). Observa que necesitamos mucha precisión para hacer estos cálculos, y necesitamos que el denominador siga factorizado para compararlo con 3 - 1/(m + 1), porque tendremos que restarlo.</p><p>Como suponemos que será inferior a esta cantidad, restaremos a 3 - 1/(m + 1) la fracción obtenida. Para eso, le ponemos el mismo denominador, transformándolo en (3*m*(m + 1)<sup>3</sup> - m*(m + 1)<sup>2</sup>)/(m*(m + 1)<sup>3</sup>) y después en (3m<sup>4</sup> + 8m<sup>3</sup> + 7m<sup>2</sup> + 2m)/(m*(m + 1)<sup>3</sup>).</p><p>La diferencia entre estas dos cantidades es (m<sup>2</sup> - m + 2)(m*(m + 1)<sup>3</sup>). Sólo nos queda darnos cuenta de que es positiva para cualquier valor de m, o al menos a partir de cierto valor de m (en ese caso, los valores inferiores a esa cantidad habría que comprobarlos uno a uno).</p><p>Sin embargo, tenemos suerte, porque m<sup>2</sup> - m + 2 = m<sup>2</sup> - 2*m*(1/2) + 2 = m<sup>2</sup> - 2*m*(1/2) + 1/4 + 7/4 = (m - 1/2)<sup>2</sup> + 7/4, que es claramente positivo. Y el denominador también lo es para todo m positivo, por lo que tenemos finalizada la demostración (una alternativa sería ver que es una ecuación de segundo grado sin soluciones o que su solución es un número bajo que podemos comprobar a mano).</p>Proble Máticohttp://www.blogger.com/profile/13288566943895328911noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5143217119132695352.post-55516096141056972752013-09-15T22:45:00.000+02:002013-09-15T22:46:07.761+02:00Usando la regla y el trisector<p><a href="http://problemate.blogspot.com.es/2013/09/usando-la-regla-y-el-trisector.html">Enunciado</a></p><p>La primera tentación que uno tiene al intentar este problema es triscar el segmento dado, y volver a trisecar alguno de los intervalos, esperando que alguno de los puntos así obtenidos sea el central. Al menos a mí me pasó. Tras unas pruebas, razoné que cada uno de los segmentos obtenidos tendría una longitud que sería una fracción del primero con un denominador potencia de tres, y ninguna suma de fracciones con esos denominadores pueden ser la fracción 1/2, así que parecía que estaba perdiendo el tiempo.</p><p>Mi siguiente idea fue fijarme en el material puesto a nuestra disposición: una regla y un trisector. ¿Para qué puedes usar una regla sin marcas? Pues para hacer rectas, claro. Necesito un segmento dividido por la mitad, y trazar rectas para llevar esas proporciones al segmento dado.</p><p>Sin embargo, es necesario que ese segmento dividido por la mitad esté en una paralela al segmento dado, ya que si no lo está, el trazar esas rectas no garantiza que el resultado esté exactamente en la mitad.</p><p>Eso llevó a otro problema ¿cómo trazar una paralela con el material que tenemos?</p><p>Se me ocurrió levantar un triángulo sobre el segmento dado, eligiendo como vértice un punto cualquiera que no estuviese alineado con el segmento, y dividir los otros dos lados (no el segmento) con el trisector. Uniendo ordenadamente esos puntos con segmentos trazados con la recta, consigues segmentos paralelos al de abajo (puedes razonar el paralelismo por semejanza).</p><p>Como sólo necesitamos un segmento paralelo, usamos el mayor de los dos. Ahora le volvemos a aplicar el trisector. Evidentemente, queda dividido en tres, no en dos, pero usamos tres puntos consecutivos de los cuatro puntos del segmento como si fuese un segmento divido en dos partes iguales, y con la recta trazamos las líneas necesarias para llevar esa división al segmento inicial.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="http://2.bp.blogspot.com/-AWgmmc32KmE/UjYcBMmp-hI/AAAAAAAABfA/REbtpgft7lM/s1600/trisector.gif" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://2.bp.blogspot.com/-AWgmmc32KmE/UjYcBMmp-hI/AAAAAAAABfA/REbtpgft7lM/s320/trisector.gif" /></a></div><p>Es mucho más fácil hacerlo que explicarlo, trataré de que lo veáis en un dibujo.</p><p>Ahora, vayamos con la demostración formal. En primer lugar, hemos de probar que, independientemente de la elección de C, el segmento KH es paralelo a AB. Para ello, usamos que los triángulos ABC y AKH son semejantes, por tener un ángulo igual y los dos segmentos que lo forman proporcionales. Después, obtenemos el punto R a partir de B y de Q (ver en el dibujo), y con ayuda de R y de P, obtenemos S. Está claro que P es el centro del segmento HQ, y por semejanza, RPQ es semejante a RSB, igual que RHP es semejante a RAS. Ahora, por la proporcionalidad, PQ es proporcional a SB en la misma proporción que HP a AS, y puesto que PQ y HP son iguales, también lo serán AS y SB, con lo que S es efectivamente el punto medio.</p>Proble Máticohttp://www.blogger.com/profile/13288566943895328911noreply@blogger.com0