A esta terna de números podría unirse el 21, que es 3171. Con eso, serían 4 números consecutivos cuya descomposición está formada por primos elevados a potencia impar. No podríamos añadir más, ni por bajo (20 = 225) ni por arriba (25 = 52).
¿Habrá, entre todos los números naturales algún grupo de 5 números con esa propiedad?
El principal problema que puede aparecer es el primo más pequeño (el 2), que aparecerá varias veces (en nuestro ejemplo, en 2 ocasiones). Por supuesto, podría aparecer incluso más, hasta tres ocasiones, siempre y cuando el del centro fuese mayor e impar, como en el ejemplo. Podemos hacer una búsqueda entre los múltiplos de 8.
El propio 8 nos proporciona poca ayuda, al tener el 9 a continuación.
El 16 es una potencia par en sí mismo.
Si probamos con 32 = 25, descubrimos que tiene a su lado a 31 = 311 y a 33 = 31111. Más allá, encontramos 30 = 213151 y 34 = 21171. También podemos añadir el 35 = 5171 y el 29 = 291. En total, son 7 números con la propiedad que hemos buscado.
Si seguimos, no encontraremos cadenas más largas. Del 37 al 43, centrada en 40 encontramos otra de 7.
De 53 a 59 encontramos otra cadena de 7, centrada en el 56, pero siempre están limitadas por potencias pares de 2. ¿Sucederá siempre?
Efectivamente, si tuviésemos 8 números con esa propiedad, uno de ellos sería múltiplo de 8 (sus restos al dividir serían todos distintos, y sólo puede haber 8, así que uno de ellos sería 0). Como son 8, podemos avanzar o retroceder 4 desde él, y volveríamos a encontrar a un múltiplo de 4, pero que no puede ser un múltiplo de 8 (está a sólo 4 unidades de uno). De esta forma, el exponente de 2 debe ser 2 (no puede ser mayor), es decir, par. Nuestro mejor resultado lo logramos poniendo el múltiplo de 8 en el centro, para no poder avanzar ni retroceder 4, como hemos visto, ya que siempre se obtienen potencias de 2 de exponente par al hacerlo.
Por lo menos hay 7:
ResponderEliminar{29,30,31,32,33,34,35}
Y no puede haber más de 7, ya que los números de la forma 8n + 4
tienen 2^2 en su descomposición
Por reducion al absurdo:
Es decir vamos a demostrar que no existe una sucesion de 8 numeros consecutivos con las condiciones que nos piden
Entre esos ocho números hay uno que llamaremos n que es múltiplo de 8; entonces n=8k en general=k*2^(potencia impar).Entre esos ocho números
tambien estara el número 8k+4 o bien el 8k-4 o lo que es lo mismo 4(2k+1) o 4(2k-1) en ambos casos el número obtenido
es de la forma 2^2*impar lo que es una contradiccion porque el exponente del dos es par en contra de lo que habiamos supuesto
Oiga Nesesito Que Responda
ResponderEliminarME Pusieron una Problema
Es Hay un Numero Muy Especial
Al Que Usted Le Resta 6 Y A La Diferecia Le Multiplico 6
Cual Numero Es Por Favor Digame
Y Otra Pregunta Es Lo Mismo Pero
Cambio El Numero Es 9 Por Favor Responda Lo Mas Pronto Posible.
Estare Pendiente En Su Blog Si Responde O Me Responde EN Los Oomentarios.
Con las pistas que das en el comentario, no tengo una respuesta. Tendrás que describir el problema más detalladamente.
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