Triángulos mágicos

Enunciado

Lo primero que debemos hacer es probar una distribución cualquiera de los números, para ver cuánto suman sus lados y razonar un poco sobre ella. Procuraremos que, puesto que queremos que sumen 12, que al menos uno de los lados sume 12.

Primera prueba

Tomamos de ejemplo el triángulo que aparece a la derecha, cuyos vértices están escritos 5, 1 y 2, y en el que no se ha conseguido la misma suma. Un lado da 12, otro 10 y otro sólo 7. Está claro que no es suficiente con cambiar de sitio un par de números para que funcione, hay que pensar.

Observemos los tres lados, 5 + 6 + 1 = 12, 5 + 3 + 2 = 10, y 2 + 4 + 1 = 7. Está claro que hay números que empleamos dos veces, los de los vértices, y otros que empleamos sólo una vez. Si cambiamos uno más grande de un centro a un vértice, podemos aumentar las sumas.

Nuestro segundo intento está algo mejor, aunque no es suficiente. Lo he obtenido cambiando el 6 por el 1, y da 12, 12 y 10. Falta un poco.

Suma 12

El tercer intento, cambiando el 4 por el 2, es el definitivo, que vemos junto a estas líneas. En los vértices aparecen los tres números más grandes, y en los lados los necesarios para que sumen 12. Evidentemente, no puedo aumentar la suma de los tres lados a la vez, porque los que ocupan los vértices ya son los números más grandes. Luego no es posible un triángulo cuyos tres lados sumen 13.

Veamos cómo conseguir ahora un triángulo que sume 9. Vamos a poner los números más pequeños en los vértices, y rellenamos con la suma que buscamos los lados. Es fácil ver que sólo hay una forma de hacerlo, y que no es posible tampoco conseguir un triángulo con los tres lados que sumen 8.

Para conseguir 10, es necesario cambiar un poco el triángulo anterior. Tras varios intentos, descubrimos que si queremos que los tres lados sumen 10, entre todos los números deben sumar 30. Como los de fuera se suman dos veces, y todos los números suman 21, está claro que los de fuera suman 9. Sin embargo, hay varias formas de lograr que sumen 9 los vértices, y no todas valen. Podemos sumar 9 como 1 + 2 + 6, pero no podemos colocar los demás números de forma adecuada. También podemos conseguir 9 con 1 + 3 + 5, y aquí sí sacamos una solución. Tenemos también 2 + 3 + 4, y esta no da un resultado útil. Luego la solución con 1, 3 y 5 es la única.

Para conseguir sumar 11, por último, podemos comprobar que entonces hace falta que los tres vértices sumen 12, que podemos conseguir con 1 + 5 + 6, 2 + 4 + 6 y 3 + 4 + 5. De las tres combinaciones, sólo la 2, 4, 6 funciona. Y tenemos nuestros triángulos bien rellenos.

Por supuesto, vale cualquier combinación en la que cambies las esquinas de sitio. Hay muchas variantes de una misma disposición (6 de cada una, claro).

Solución