He de reconocer que cuando vi el enunciado del problema que me inspiró éste, me pareció increíble que la suma cuadrase. Tuve que hacer varias comprobaciones, primero para verificarlo, y después para comprender el patrón que había detrás.
Pensemos en un número, por ejemplo, el 6. los números del 6 al 12 son el 7, 8 , 9 , 10, 11 y 12. sus MFI son, respectivamente, 7, 1, 9, 5, 11 y 3, que como se puede comprobar suma 36.
Como todos habréis visto a estas alturas, los cuadrados son suma de impares consecutivos, y en este caso podríamos haber ordenado los MFI como 1, 3, 5, 7, 9 y 11. En efecto, con la fórmula de progresiones aritméticas, sabemos que 1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1 = n*(2n - 1 + 1)/2 = n2. También sería sencillo demostrar que la fórmula es correcta por inducción completa, ya que es cierta para n = 1, y si es cierta para n, es sencillo verificarla para n + 1, ya que (n + 1)2 = n2 + 2n + 1, siendo 2n + 1 el siguiente impar.
Pero ¿cómo podemos asegurar que los MFI son todos los impares? La cantidad de números es, desde luego, la adecuada, ya que entre n y 2n hay exactamente los n números que necesitamos. Desde luego, son todos impares, y menores que 2n. Bastaría ver que no hay dos repetidos para asegurar que están todos.
Y es claro que no hay dos repetidos, porque si dos números distintos a y b tienen el mismo MFI c, entonces hay dos potencias de dos s, t de forma que a = s*c, b = t*c. Claramente, su cociente es múltiplo de 2. Y entre los números de n a 2n no puede haber dos que sea uno doble del otro.
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