Me ha parecido muy interesante el comentario de Alex en la entrada del enunciado, ya que es un método que no se me había ocurrido.
El método más directo, evidentemente, es empezar a manipular los números más bajos. Para eso, si no te permiten el uso de calculadora, sería bueno recordar el algoritmo de la raíz cuadrada, o bien probar por tanteo (no se tarda mucho en ir obteniendo todas las cifras).
Así, comprobamos que 49 es el cuadrado de 7, 4489 es el cuadrado de 67 y 444889 es el cuadrado de 667. ¿Cómo demostrarlo en el caso general?
Supongamos que no queremos usar la inducción. Entonces, necesitamos estudiar cuánto da el número compuesto de n - 1 seises y un 7 en el último lugar, tanto cuando lo multiplicamos por 6 como cuando lo multiplicamos por 7. Multiplicar por 6 es sencillo. Se obtiene un 2 como última cifra y me llevo 4 decenas. Observa que cada vez que multiplique por 6 da 36, más 4 unidades que me llevo del resultado anterior, por lo que da 40, es decir, un 0 y me llevo 4 unidades. Eso sucederá con los n - 1 6, por lo que tendré un 4, n - 1 ceros y un 2 solitario al final. Multiplicar por 7 es muy similar, y proporciona un 4, n - 1 seises y un 9 al final.
Ahora, hemos de sumar todos los resultados parciales para averiguar qué resultado obtenemos cuando multiplicamos el número compuesto de n - 1 seises y un 7 en el último lugar por sí mismo. Evidentemente, la cifra de las unidades la obtendremos únicamente del producto por 7 y será un 9. Este producto por 7 proporciona n - 1 seises, que se añadirán a todos los 2 que proporcionan los productos por 6, pero no sumarán nada más pues estarán alineados con los n - 1 ceros que proporciona este producto, por lo que obtendremos un 8. A partir de la posición n, obtendremos cuatros, puesto que sumaremos la primera cifra de cada resultado parcial sumada a los ceros que proporcionan los otros, por lo que el resultado será el número pedido (n cuatros, n - 1 ochos y un nueve).
La verdad es que no resulta muy claro expresado así, de forma que lo haré por inducción. Está claro que para pasar de un número compuesto por n - 1 seises y un 7, al siguiente, podemos multiplicarlo por 10 y restarle 3. Se puede deducir que para obtener el valor siguiente, a partir de un número formado por n cuatros, n - 1 ochos y un 9, es necesario multiplicarlo por 100 y restarle un número formado por un 4, n - 1 ceros y dos unos. Si suponemos que para el valor n el cuadrado del número X formado por n - 1 seises y un siete coincide con el número Y formado por n cuatros, n - 1 ochos y un nueve, vemos si sigue dándose esta relación para el número siguiente.
El número siguiente sería 10X - 3, y su cuadrado sería 100X2 - 60X + 9, según el cuadrado de la suma. Evidentemente, 100X2 es el resultado de multiplicar por 100 el número Y formado por cuatros, ochos y un nueve. Basta entonces ver que 60X - 9 es el número que necesitamos, formado por un 4, n - 1 ceros y dos unos. Evidentemente, 6X es, como hemos visto, un número formado por un 4, n - 1 ceros y un 2, por lo que 60X estará formado por un 4, n - 1 ceros y un 2 y un cero. Restarle 9 es exactamente lo que nos falta para lograr el número que necesitamos.
Si conocemos los símbolos de sumar series (Σ) y que las cifras de un número van en realidad multiplicadas por potencias sucesivas de 10, podríamos dar a las demostraciones mejor apariencia y rigor.
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