Me ha gustado mucho la solución del comentario de Alex.
La idea es que, en efecto, si sumamos todos los números de los lados, para obtener la suma de cada lado, y luego sumamos los lados entre sí, habremos sumado tres veces los números de los vértices.
Entonces, como sabemos que la suma de los nueve números es 45, y los tres números más pequeños son 1, 2 y 3, la suma menor que podemos lograr es (45 + 6)/3 = 17, que en efecto se puede alcanzar con poco esfuerzo, poniendo el 5 y el 7 entre el 2 y el 3, el 4 y el 9 entre el 1 y el 3, y el 6 y el 8 entre el 1 y el 2.
Lograr una suma de 20 tampoco es complicado, hay que sumar entre tres números 15, por ejemplo 4, 5 y 6. Así, si sumamos 45 (la suma de todos) y 15 (la suma de los tres números), obtenemos 60, que sería la suma de los tres lados. Bueno, eso suponiendo que podemos situar los números restantes, que también es sencillo, colocando 1 y 6 entre 7 y 9, 2 y 4 entre 8 y 9, y 3 y 5 entre 7 y 8. Probablemente hay más soluciones.
Encontrar la suma mayor consiste en buscar tres números que sumen lo máximo posible, que deben ser 7, 8 y 9. Entonces 45 + 7 + 8 + 9 = 69, que es 23*3. Para ver si funciona, sólo hemos de tantear un poco, y lo conseguimos situando 1 y 6 entre 7 y 9, 2 y 4 entre 8 y 9 y 3 y 5 entre 7 y 8. No conseguiremos sumar más.
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