Cuando sabes qué buscas, se trata de un problema de poca dificultad, sin embargo, en este caso, se complica extraordinariamente porque no sabes qué es lo que estás buscando.
Voy a tratarlo en principio con un poco de geometría analítica, combinada con algo de imaginación.
Supongamos que pones el centro de coordenadas en el punto P, y el primer vértice, A, sobre la parte positiva del eje x, a una distancia a del punto p (podríamos suponer que la distancia es 1 ajustando la unidad de medida, pero no es necesario).
Si situamos ahora el punto B, debe tener coordenada vertical negativa (por convexidad) -b, y el área del triángulo APB será ab/2.
Ahora, el punto D debe tener coordenada vertical positiva, y debe coincidir con b por la igualdad de áreas entre APB y APD.
Esto significa que el punto medio entre B y D debe caer sobre la recta PA. De la misma forma, el punto medio entre A y C debe caer sobre la recta PB.
Si el punto medio entre B y D no es exactamente P, eso significa que C está sobre una paralela a BP a la misma distancia que A, y sobre una paralela a DP a la misma distancia que A, con lo que sólo puede ser un punto: el simétrico de A respecto a P.
Dicho de otra forma: P es el punto medio de la diagonal AC, y el punto medio de la diagonal BD está sobre la recta AC.
Observa que si el punto medio entre B y D es precisamente P, tenemos una situación análoga.
Es decir, para que se dé la circunstancia pedida, las diagonales se deben cortar en el punto medio de una de ellas, y el punto P es el punto medio de la otra diagonal (no el punto de corte). Si se trata de un paralelogramo (se cortan por el punto medio de ambas), P es ese punto medio.
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