La altura misteriosa

Enunciado

Triángulo y semicircunferencias

Como cuentan en los comentarios al enunciado, la forma de dar las longitudes del triángulo es en realidad una pista sencilla. Si sabemos las longitudes de las semicircunferencias, en centímetros, (3π, 4π y 5π) una circunferencia completa mediría el doble (6π, 8π y 10π), y los radios de estas circunferencias serían, respectivamente, 3, 4 y 5 centímetros. Puesto que los lados del triángulo son los diámetros de las circunferencias, deben medir 6, 8 y 10 centímetros. Más difícil es calcular la altura del ángulo recto sobre la hipotenusa.

Altura sobre la hipotenusa

Si nos fijamos en un triángulo rectángulo cualquiera, la altura lo parte en otros dos triángulos rectángulos que, por tener un ángulo en común cada uno de ellos con el grande, son semejantes a él.

Usando esa figura se puede razonar de diversas maneras para calcular la altura. Voy a proponer aquí una forma bastante original que es muy útil para otros problemas similares.

Tenemos que usar dos triángulos semejantes al que tenemos y que formen una figura como la de la imagen, es decir, que el cateto pequeño de uno de ellos coincida con el grande. Una forma de lograrlo es similar a conseguir un denominador común, podemos multiplicar el triángulo por dos cantidades como 3 y 4, para conseguir el triángulo (18, 24 y 30) y el triángulo (24, 32 y 40). Si unimos los catetos correspondientes, tendremos que la figura será un triángulo cuyos lados miden (30, 40 y 18 + 32 = 50). Eso sería semejante a la que queremos, y su altura mediría 24. Ahora, lo reducimos a la escala que queremos, que es, 6, 8 y 10. Si nos fijamos, por ejemplo, en la hipotenusa, el factor por el que tenemos que dividir es 5, así que la altura medirá exactamente 24/5 = 4.8.

Demasiado trabajo

Enunciado

Evidentemente, no podemos multiplicar tantos números, pero debemos buscar cierta regularidad. Si nos vamos a fijar sólo en la última cifra, conforme vayamos añadiendo números pares, será 2, 8, 8, 4, 0, 0, ... Es evidente que a partir de ahí será siempre 0, ya que cualquier número que usemos para multiplicar dará lugar a un 0 en esa posición. Por lo tanto, el producto de los 1005 pares acabará, necesariamente, en 0.

Para los impares la cosa es similar, ya que la última cifra es, multiplicando los primeros términos, 1, 3, 5, 5, ... Y parece que a partir de ahí siempre es 5. Pero ¿estamos seguros?

En el caso anterior, cuando multiplicábamos por 0 daba seguro 0, ya que es una propiedad de ese número, pero 5 no tiene esa propiedad.

¿En qué acaban los números cuando los multiplico por 5? En 0 o en 5.

¿Por qué no pueden acabar, en este caso, en 0? Porque siempre uso números impares (y ahí está la clave), y siempre acabará en 5.

Por lo tanto, el producto de los 1005 impares acabará, seguro, en 5.

Conjuntos especiales

Enunciado

En principio podemos empezar por tantear con los números más bajos posibles cuándo se da esta circunstancia. Evidentemente, si dos números son consecutivos, la diferencia es 1, por lo que cumplirán la condición rápidamente si usamos 1 y 2, o 2 y 3. sin embargo, 1 y 3 no la cumplen, por lo que {1, 2, 3} no es un conjunto especial. Como 2, 4 sí cumplen la condición, por ser 4 - 2 = 2, y 4 divide a 4*2 = 8, el conjunto {2, 3, 4} es un conjunto especial, con lo que tenemos resuelto el apartado (a).

Estos tres números, además, están en progresión aritmética, pero si añadimos el 5 no funciona por no ser 5 - 3 = 2 un divisor de 3*5.

Veamos si hay alguna regla general en la situación del apartado (b) (si tanteamos repetidamente, veremos que no es sencillo encontrar cuatro números como nos piden). Un conjunto de esas características dependería de dos números a y b, sería {a, a + b, a + 2b, a + 3b}. Las condiciones que tiene que cumplir es que b² divide a a*(a + b), a (a + b)*(a + 2b) y a (a + 2b)*(a + 3b), que 4b² divide a a*(a + 2b) y a (a + b)*(a + 3b) y 9b² divide a a(a +3b).

Son muchas condiciones, veamos si podemos descubrir algo de todas ellas. De la primera, obtenemos que b² divide a a² + ab, es decir, que kb² = a² + ab. En estos casos, se suele buscar despejar alguna de las dos incógnitas, pero no parece sencillo. Sin embargo, jugando con esta igualdad, obtenemos que kb² - ab = a², por lo que b*(kb - a) = a². Esto significa que cada factor primo de b está presente en a (puede que un número no divida a otro pero sí a su cuadrado).

Ese descubrimiento nos permite "bajar" a otro conjunto del mismo tipo más sencillo, ya que cuando trabajamos con enteros es muy típico recurrir al ejemplo menor posible. Si estamos en esta situación, dado que todas las condiciones que hemos puesto son productos de dos términos, al dividir a y b por un mismo número, se siguen cumpliendo las mismas relaciones de divisibilidad. Dividiendo por los factores primos de b tanto a como b, llegaremos a otro conjunto especial, con números más bajos. Así, procederemos hasta que b no tenga factores primos, es decir, sea 1.

Hemos llegado a una situación en la que el conjunto es de la forma {x, x + 1, x + 2, x + 3}, y las condiciones son triviales para pares de números consecutivos, como sabemos, pero 4 divide a x(x + 2) y a (x + 1)(x + 3). Sin embargo, está claro que ambos números tienen distinta paridad, es decir, si x es par, (x + 1)(x + 3) es impar, y si es impar, entonces x(x + 2) es impar. Es imposible que ambas relaciones se den a la vez.

Se puede razonar de una manera similar sin reducir a los números más bajos, sencillamente estudiando cuántos factores 2 tiene b, pero sería, a mi juicio, más complicado.

Con dos dados

Enunciado

Como bien cuenta David en su comentario, podemos contar todas las opciones que son favorables de las 36 parejas de resultados distintos, obteniendo que la suma es múltiplo de 6 en los casos en que sume 6 o 12, y que es múltiplo de 5 en los casos en que sume 5 o 10.

Para 6, tenemos las parejas ordenadas 1-5, 2-4, 3-3, 4-2 y 5-1, es decir, 5. Para 5 tenemos sólo 4, para 10 tendremos 3 y para 12 sólo 1. En total, hay 6 que dan múltiplo de 6 y 7 que salen múltiplo de 5, es decir, que es más probable que aparezca un múltiplo de 5, pero por muy poco.

Otro sistema sería ir tomando cada uno de los seis números y desglosarlo a su vez en qué casos logramos o no un múltiplo de los que nos interesa. Evidentemente, el resultado sería sumar de nuevo los casos favorables y obtendríamos el mismo resultado.

La paga semanal

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Hay nueve afirmaciones, de las que hemos de averiguar cuáles son verdaderas y cuáles no lo son.

Lo mejor en este caso es buscar contradicciones. Según Marc, Pere cobra 10€, mientras que según Pere, cobra 9€. Está claro que uno de los dos miente. También se contradicen Marc y Pere en que Josep cobra 3€ más que Pere, según Marc, mientras que sólo cobra 2€ más según Pere. Uno de los dos miente, pero otro debe decir la verdad, puesto que uno de los dos miente en la otra contradicción y sólo pueden decir una mentira.

Ya sabemos que Pere cobra 9 o 10€, que Josep cobra más que Pere, 2 ó 3 € más, exactamente. Por tanto, Josep puede cobrar entre 11€ y 13€. Por otra parte, las otras dos afirmaciones son ciertas, por lo que Marc debe cobrar 1€ menos que Pere (8 o 9 €).

Por lo tanto, es falsa la afirmación de Josep en la que dice que Marc cobra 12 €. Como consecuencia, las otras dos deben ser ciertas, es decir, cobra 3€ más (ya que está claro que cobra más) que Marc. Por lo tanto, su paga debe ser entre 11€ y 12€.

Ahora todos tienen dos valores posibles, veamos si hay suficientes datos para aclarar la situación.

Supongamos que Marc cobra 8€. En ese caso, Pere gana 9€ y Josep 11€. Podemos comprobar que en ese caso hay una contradicción, ya que Marc miente dos veces (Pere no cobra 10€ y Marc no gana 3€ más que Pere).

Si Marc cobrara 9€, Pere cobraría 10€, y en ese caso, Josep debe cobrar 12€. Aquí todos dirían dos afirmaciones ciertas y la otra falsa, por lo que es el único caso en el que no hay contradicción y por tanto es la solución al problema.

Cromos

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La clave de este problema consiste en entender adecuadamente la expresión "doble de cromos del equipo A que del equipo B. Si hacemos varios experimentos, observaremos que en todos los casos en que se de esta circunstancia, el número total de cromos en total es múltiplo de 3 (1 y 2, 2 y 4, 3 y 6, 4 y 8,...). Es decir, que para estar seguro de que si es posible o no que queden los cromos cumpliendo esa característica, deben quedar, después del regalo, una cantidad de cromos múltiplo de 3. Además, debe ser tres veces la cantidad de cromos de B.

Como inicialmente, el número de cromos es 6 + 12 + 14 + 15 + 23 + 29 = 99, que es múltiplo de 3, la página que regala deberá ser múltiplo de 3.

Así, la respuesta a (a) es que no, que es imposible, puesto que quedan 85 cromos, que no es un múltiplo de 3.

La respuesta a la (b) es más larga, ya que el resultado es un múltiplo de 3, 84 = 3*28. Pero la condición de que cada página debe tener cromos de un único equipo exige que haya exactamente 28 cromos de B, por lo que debemos encontrar si se puede sumar las páginas para que de exactamente 28. Comprobamos que es imposible, porque no hay ninguna suma que dé exactamente 28. Así que no es posible que la página sea la de 15.

Para la pregunta (c), también obtenemos un múltiplo de 3, ya que 99 - 12 = 87 = 3*29. Además, 14 + 15 = 29, por lo que podría ser que esas dos páginas fuesen las de B y las otras ( 6 + 23 + 29 = 58 = 2*29) fuesen del A.

El criterio que hemos usado es el que hay que explicar, es decir, debemos regalar una página de forma que, al restarla del total, obtengamos un número divisible por 3. El resultado de dividir por 3 debe poderse obtener sumando algunos de los números que quedan.

Un punto del tetraedro

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Tetraedro regular

Tetraedro desplegado

He preparado dos vistas del tetraedro, para que se vea en perspectiva y desplegado, que suelen ser las mejores formas de abordar un problema tridimensional.

Aquí se aprecia que el ángulo CED está en un triángulo isósceles, esté donde esté el punto E dentro de la arista. Esto es debido a la simetría de la figura, ya que los segmentos ED y EC están dentro de dos triángulos equiláteros iguales, y son simétricos respecto al eje AB.

Debido a esto, el ángulo CED será mayor cuando la longitud de ambos segmentos sea lo menor posible (por ejemplo, aplicando el teorema de los senos, o el del coseno, por ejemplo, pero también mediante trigonometría elemental, aplicada a los triángulos rectángulos que se obtienen al cortar en dos triángulos rectángulos un triángulo isósceles).

Evidentemente, la longitud mínima de estos segmentos se obtiene cuando el segmento ED (y el EC) es perpendicular al segmento AB, y en ese caso E está exactamente en el centro, debido a que tanto ACB como ADB son triángulos equiláteros.

Así que el valor máximo se da cuando el punto es el punto medio.

Matrícula enigmática

Enunciado

Este problema es muy sencillo.

Si es realmente un múltiplo de 6, sus cifras sumarán 3 o múltiplo de 3, y la última cifra será par. Puesto que es la última, debe ser la cuarta, y será la siguiente de la segunda, por lo que dice otra de las afirmaciones.

Podría tratarse de 2 y 1, o de 4 y 3, o de 6 y 5, o 8 y 7.

Como las cifras segunda y cuarta forman un múltiplo de 3, sólo nos deja las opciones 1 y 2 o 7 y 8. Ahora bien, las otras dos (que también deben ser consecutivas), también deben sumar 3 o un múltiplo de 3, y deben ser consecutivas, por lo que tenemos 4 números posibles 1122, 1728, 7182 y 7788.

Evidentemente, el menor de todos es el 1122.