Los científicos

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Posición de los científicos

Este problema es similar a resolver un sudoku, ya que hemos de evitar que aparezcan ciertas características repetidas en la columna, en la fila, y en las diagonales.

Lógicamente, debemos empezar por la diagonal. Podemos intercambiar el papel de rol familiar y de rama de la ciencia entre ellos, de forma que a partir de una solución determinada salga otra, así que supondremos que el orden correcto es el que aparece, por ejemplo, en la primera columna. Situaremos, por orden creciente de edad a un nieto, un hijo, un padre y un abuelo en esa columna, y las ciencias las ordenaremos, por ejemplo, por orden alfabético: biología, física, matemáticas y química. Así, tendremos la primera columna formada por B1, F2, M3, Q4.

Ahora, en la segunda columna hemos de situar de nuevo las cuatro ciencias, pero alterando el orden, por ejemplo M4, Q3, B2, F1. Observa que hay pocas opciones para elegir, ya que hemos de controlar las diagonales para que no se repitan. He tenido que tantear para que podamos continuar en la tercera columna, ya que en las primeros intentos no había ninguna disposición posible en la tercera fila.

En la tercera columna las opciones son aún escasas, sólo he encontrado Q2, M1, F4 y B3.

Evidentemente, en la última la opción es única: F3, B4, Q1 y M2.

Es posible que haya más soluciones, evidentemente puedes permutar todas las relaciones de parentesco entre sí (24 posibilidades) y todas las ciencias (24 distintas), lo que daría 24*24 posibilidades, pero no serían fundamentalmente distintas. Ignoro si hay más.

Adivinanza

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Hay varios juegos con números de este tipo. Si queremos averiguar el número de partida, podemos utilizar el álgebra para construir una ecuación, pero lo más eficaz es, siempre que sea posible, deshacer todas las operaciones que se han efectuado.

En el ejemplo, el resultado es 2 y la última operación ha sido dividir por 7, por lo que el resultado anterior es 14.

La operación anterior es restar 1, por lo que el resultado previo es 15.

Como este número proviene de dividir entre 11, el resultado anterior será 11*15 = 165.

Ahora, la operación anterior es sumar 30, por lo que el resultado previo será 135.

Y la primera operación ha sido multiplicar por 3, de forma que el número de partida sería 135/3 = 45.

Efectivamente, como dicen los comentarios, Nuria partía del número 45.

Otra ecuación con raíces

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El problema es muy similar al que resolvimos en "Una ecuación complicada". La solución también lo es.

La clave está en hacer un cambio de la forma x^1/4 = t, por lo que t⁴ = x, de forma que la ecuación quede (97- t⁴)^(1/4) + t = 5, que también podemos expresar como (97- t⁴)^(1/4) = 5 - t. Elevamos a 4 ambos extremos, lo que da por resultado 97- t⁴ = (5 - t)⁴.

Desarrollando esta potencia, obtenemos que 97- t⁴ = 625 - 500t + 150t² - 20t³ + t⁴.

Si pasamos todo el polinomio al mismo extremo, tenemos 0 = 2t⁴ - 20t³ + 150t² - 500t + 528. Podemos dividir todo el polinomio por 2, para trabajar con 0 = t⁴ - 10t³ + 75t² - 250t + 264.

Para buscar sus raíces mediante ruffini, probamos con los divisores de 264: 1, -1, 2. En este punto, encontramos una raíz, que será solución de la ecuación (t = 2). Aún nos queda el polinomio cociente, 0 = t³ - 8t² + 59t - 132.

Seguimos probando divisores de 132 que no hayamos descartado: 2, -2, 3, que de nuevo vuelve a dar, obteniendo la segunda raíz, t = 3. El cociente es ya un polinomio de 2º grado, 0 = t² - 5t + 44, al que aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado, para asegurarnos de que no tiene más soluciones.

En definitiva, que las únicas soluciones son t = 2, de donde x = 16, y t = 3, por lo que x = 81.

Alienígenas

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Leyendo el enunciado detenidamente, es sencillo hacer los cálculos necesarios para contestar a este problema.

Pensemos que el total que a nosotros nos interesa es sólo cuántos serán al día siguiente azules y esféricos, de forma que por un lado tendremos que considerar a los que eran azules y esféricos y no van a cambiar, y a los que no lo eran, pero sí van a cambiar (y precisamente a ser azules y esféricos).

Empecemos con los que hoy ya son azules y esféricos. Por un lado, el 80% de los azules se transforman en verdes, con lo que sólo 1000 de los 5000 se mantendrán azules. Pero como el 40% de los esféricos pasan a ser piramidales, sólo quedarán 600 que seguirán siendo azules y esféricos.

Por otro lado, tendremos a los que cambien sólo de color, pero ya son esféricos. De los 6000 rojos esféricos, el 80% se transforman en azules, lo que haría nada menos que 4800 nuevos azules, pero hay que pensar que de esos 4800, un 40% cambiarán de forma, pasando a ser piramidales, así que el aporte de este grupo será de 2880.

También tendremos a los que sólo cambien de forma, y pasen a engrosar nuestro recuento. Hoy hay 10000 azules piramidales, de los que el 40%, es decir, 4000, pasarán a ser esféricos. Sin embargo, hay que pensar que el 80% cambiarán a verdes, por lo que quedarán 800 que sí que serán azules y esféricos.

Por último, tenemos a los que cambiarán tanto de forma como de color. Hoy son 9000 rojos y piramidales, pero el 40% pasa a ser azules, esa cantidad asciende a 3600. Además, de esos 3600. el 80% también cambiará de forma, pasando a ser azules y esféricos. Eso significa 2880 nuevos seres.

En total, tenemos 2880 + 800 + 2880 + 600 = 7160. Eso significa que aumentarán un poco ¿no?

La tele

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La pregunta tiene trampa, ya que cuando decimos que cierto número de amigos ven los canales 1 y 2, por ejemplo, no estamos diciendo nada acerca de si ven o no el canal 3, con lo que incluimos a los que lo ven también.

Vamos a detallar los diferentes conjuntos en grupos diferentes, para asegurarnos de que no contamos dos veces a las mismas personas.

Por un lado, un único amigo ve los tres canales.

Hay tres que ven los canales 1 y 2, luego hay dos que ven los canales 1 y 2 pero no ven el 3 (el niño de la primera frase lo descontamos).

De la misma forma, de los cuatro que ven el 1 y el 3, sólo 3 ven el 1 y el 3 pero no el 2.

Razonando de la misma forma, hay 1 que ve el 2 y el 3 pero no ve el 1.

Puesto que no hay ninguno que ve sólo el canal 1 y el canal 2, no añadimos nuevos amigos.

La cuenta que llevamos hasta ahora es de 1 + 2 + 3 + 1 = 7.

Luego los otros 5 que no hemos mencionado no ven el canal 2 ni el 3, así que o no ven la tele (cosa que supongo que no es posible), o ven únicamente el canal 1.

Hallando coordenadas

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El patrón más claro es que la última casilla de cada fila es un cuadrado perfecto. En efecto, seguramente te habrán contado que si sumas los primeros impares, obtienes un cuadrado perfecto (1 + 3 + 5 + 9 = 25, por ejemplo). Hay un razonamiento geométrico muy sencillo, en el que se cuentan cuadraditos que forman un cuadrado grande y está claro que entre un cuadrado y el siguiente hay dos filas iguales más un cuadrado pequeño, lo que hace que sea un impar. De todas formas, el patrón salta a la vista si miras la línea oblicua que forman los últimos números de cada fila.

De esta forma, el 48 estará en la línea 7, pero no en la casilla 7, que queda reservada para el 49, si no en la 6. Sus coordenadas serán (7, 6). El 1001 está entre el cuadrado de 31 (961) y el de 32 (1024). El 1024 estaría en (32, 32), y como el 1001 estaría 23 cuadrados a la izquierda, estará en el (32, 9). El 895 está a 5 casillas del 900, que es el cuadrado de 30, por lo que estaría en la (30,25).

El (40, 30) es 10 unidades inferior al cuadrado de 40, 1600, por lo que es el 1590. El (50, -10) es 60 unidades menor que el cuadrado de 50, 2500, por lo que es el 2440.

Por último, la fila 100 tiene 201 cifras, 100 con coordenada positiva, la del 0 y 100 con coordenada negativa. Por tanto los valores de b van de -100 a 100.

Luz en un triángulo

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Recorrido del rayo

Los casos de reflexión se entienden mejor si imaginamos que los rayos de luz "atraviesan la línea" que representa la superficie y van a parar a un semiplano simétrico al nuestro (ver dibujo). Así, el que el ángulo de entrada y el de salida sea el mismo se interpreta como que la línea sigue recta.

Como se debe encontrar, sucesivamente, con las líneas AB, AC y BC, cada vez pasaremos a un semiplano simétrico, produciendo un encadenamiento de cuatro triángulos equiláteros. Si llamamos a los puntos simétricos por el mismo nombre que a los originales, en realidad va desde el punto O hasta el punto A del cuarto triángulo.

Si nos fijamos en el dibujo, en realidad basta calcular la distancia entre el vértice de ese cuarto triángulo y el centro del triángulo, ya que es el único recorrido posible para el rayo.

Esa línea y el radio del triángulo OB forman un triángulo rectángulo en B, y es sencillo calcular el radio del triángulo en función de su lado, 1/√(3). Como el otro lado mide 2 unidades, aplicando pitágoras, la longitud buscada vale √(4 + 1/3) = √(39)/3, aproximadamente 2,082.

Perímetros y áreas

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Dividiendo la curva

La solución a este problema es muy sencilla, pero su explicación no lo es tanto. Varios comentarios, de nuevo, han dado en el clavo.

La respuesta a la pregunta (a) es que todas las rectas que pasan a O dividen en dos partes iguales el perímetro. La explicación se puede realizar sobre la primera de las imágenes. La línea horizontal, claramente, divide en dos partes iguales el perímetro, ya que el semicírculo mayor tiene el mismo perímetro que la suma de los otros dos, ya que sus radios (y por tanto, sus proporciones lineales) miden la mitad que el grande.

Si usamos ahora una línea que no sea horizontal, como por ejemplo la que está representada en la imagen, forma un ángulo A con la horizontal, y por tanto, resta un fragmento del perímetro inferior que será proporcional al ángulo A (Pi*R*A/180). Sin embargo, debido a la propiedad de los arcos inscritos, el arco que se le quita a la figura superior tiene un ángulo central doble (ya que el ángulo A está en el borde de la circunferencia), y como el radio mide la mitad que el inferior, una cosa se compensa con la otra. Por lo tanto las dos longitudes son iguales.

Dividiendo el área

Sin embargo, no sucede lo mismo con las áreas. La única respuesta a la pregunta (b) es la línea vertical, ya que divide a la figura en dos partes de la misma área por simetría. Está claro que la línea horizontal separa a la figura en dos partes una de las cuales es la mitad (en área) que la otra, y si cortamos por una línea oblícua, aún es mayor el área de abajo que la de arriba, ya que el trozo que añadimos no compensa el que eliminamos, hasta el ángulo medio. No es sencillo calcular las áreas que añadimos y quitamos por proporcionalidad con el ángulo que forma la línea de corte con la horizontal, pero sí ver que aún hace falta para que sean iguales.

La clave está dibujada en la segunda imagen. Está claro que la linea vertical divide a la figura en dos partes simétricas, y por tanto de la misma área. A partir de ahí, se trata de dibujar una línea oblícua, y comprobar que la parte que se le añade en una de las zonas es mucho mayor que la que añade en la otra, puesto que si consideramos el reflejo de ese área respecto al punto O, contiene claramente la otra (ver el segundo dibujo).