Cuadriláteros especiales

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Cuando sabes qué buscas, se trata de un problema de poca dificultad, sin embargo, en este caso, se complica extraordinariamente porque no sabes qué es lo que estás buscando.

Voy a tratarlo en principio con un poco de geometría analítica, combinada con algo de imaginación.

Supongamos que pones el centro de coordenadas en el punto P, y el primer vértice, A, sobre la parte positiva del eje x, a una distancia a del punto p (podríamos suponer que la distancia es 1 ajustando la unidad de medida, pero no es necesario).

Si situamos ahora el punto B, debe tener coordenada vertical negativa (por convexidad) -b, y el área del triángulo APB será ab/2.

Ahora, el punto D debe tener coordenada vertical positiva, y debe coincidir con b por la igualdad de áreas entre APB y APD.

Esto significa que el punto medio entre B y D debe caer sobre la recta PA. De la misma forma, el punto medio entre A y C debe caer sobre la recta PB.

Si el punto medio entre B y D no es exactamente P, eso significa que C está sobre una paralela a BP a la misma distancia que A, y sobre una paralela a DP a la misma distancia que A, con lo que sólo puede ser un punto: el simétrico de A respecto a P.

Dicho de otra forma: P es el punto medio de la diagonal AC, y el punto medio de la diagonal BD está sobre la recta AC.

Observa que si el punto medio entre B y D es precisamente P, tenemos una situación análoga.

Es decir, para que se dé la circunstancia pedida, las diagonales se deben cortar en el punto medio de una de ellas, y el punto P es el punto medio de la otra diagonal (no el punto de corte). Si se trata de un paralelogramo (se cortan por el punto medio de ambas), P es ese punto medio.

El DNI en Torrelandia

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Busquemos todas las soluciones posibles. Como el número, cada vez que lo recortemos para tener dos, cuatro, seis y ocho dígitos, es divisible por un número par, los únicos cuatro posibles dígitos pares (2, 4, 6, 8) ocupan esas posiciones, mientras que los cinco restantes ocupan las posiciones impares. Por las mismas razones, el quinto dígito no tiene más remedio que ser el cinco.

Para los dos primeros números tenemos, por tanto, 16 posibilidades: 12, 14, 16, 18, 32, 34, 36, 38, 72, 74, 76, 78, 92, 94, 96 y 98.

La tercera cifra debe ser impar, y sumar un múltiplo de 3 con las dos primeras. Así, algunas posibilidades quedan eliminadas, y otras tienen dos opciones: 123, 129, 147, 183, 189, 321, 327, 369, 381, 387, 723, 729, 741, 783, 789, 921, 927, 963, 981 y 987.

Si nos fijamos en que el número siguiente debe ser múltiplo de 4, sólo puede ser 2 o 6, por lo que casi duplica las posibilidades: 1236, 1296, 1472, 1476, 1832, 1836, 1892, 1896, 3216, 3276, 3692, 3812, 3816, 3872, 3876, 7236, 7296, 7412, 7416, 7832, 7836, 7892, 7896, 9216, 9276, 9632, 9812, 9816, 9872 y 9876.

El siguiente está claro que es un 5, y el siguiente número par debe sumar también un múltiplo de 3. Las posibilidades son 123654, 129654, 129654, 147258, 183654, 189654, 321654, 327654, 369258, 381654, 387654, 723654, 729654, 741258, 783654, 789654, 921654, 927654, 963258, 981654 y 987654.

Ahora, vamos a usar nuestra calculadora, para ir dividiendo entre 7 y calcular cuál ha de ser la cifra siguiente, para conseguir que sea divisible entre siete. Observa que esto es más difícil de lo que parece, porque debe ser un número impar diferente de 5 y que no esté repetido. Sólo quedan las siguientes posibilidades: 1296547, 1296547, 1472583, 3216549, 3816547, 7296541, 7836549, 9216543 y 9632581.

Ahora, necesitamos un dígito más, que haga que el resultado sea múltiplo de 8. En realidad, basta que, como antes, usemos el 2 y el 6. Siempre y cuando no estén repetidos, claro. Sólo nos queda 38165472. Ahora bien, el último número es fácil de poner, el que falta, ya que siempre sumará lo mismo y será un múltiplo de 9, en definitiva, 381654729.

Posiblemente nos habríamos ahorrado mucho trabajo si hubiésemos notado que el 2 y el 6 deben estar en las posiciones 4 y 8.

Números Elegantes

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La clave es encontrar una primera pareja de números elegantes consecutivos, como por ejemplo 31 y 32, ya que 31 nos lleva a 9 + 1 = 10, y 10 nos lleva a 1 + 0 = 1, que es nuestro objetivo, mientras que 32 nos lleva a 9 + 4 = 13, 13 nos lleva a 1 + 9 = 10 y 10 de nuevo nos lleva a 1.

Una vez obtenida esta pareja, como la solución pide que encontremos infinitas y sólo depende de la suma de los cuadrados de sus cifras, bastará rellenar con ceros para encontrar una infinidad: 301 y 302, 3001 y 3002, etcétera. En general, 3*10ⁿ + 1 y 3*10ⁿ + 2.

Por supuesto, no es el único método, ya que con cualquier pareja consecutiva que encontremos podemos crear una familia de este tipo.

Escalera de cubos

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Como mínimo, para hacer este tipo de problema hay que tener una pequeña idea de las fórmulas de progresiones aritméticas, o bien algo de intuición para manejar bien la situación.

Empezaremos a contar los pisos desde el superior, así, cada piso que añadimos en realidad sólo añade los cubos de "abajo".

Si contamos las caras que miran "hacia arriba", vemos que cada piso hay dos más que en el anterior, excepto en el primero, que hay sólo una. con 4 pisos hay 7, con 10 habrá 19 (2*10 - 1).

Ahora, contemos las que miran hacia la derecha. Por la simetría del dibujo, vemos que son las mismas que las que miran hacia la izquierda, por lo que si contamos una contamos la otra. En realidad, vamos sumando 1 + 2 + 3 + 4 en el caso de los 4 pisos, lo que hace un total de 10 (por eso hay un total de 10 + 10 + 7 = 27 caras visibles).

Para contar en el caso de los 10 pisos, tenemos que sumar 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10. Esto no es difícil de hacer (55), pero (y aquí es donde podemos usar el conocimiento de progresiones) si hay que sumarlo dos veces, podemos emparejar la suma de forma invertida, es decir, 1 + 10 + 2 + 9 + 3 + 8 + 4 + 7 + 5 + 6 + 6 + 5 + 7 + 4 + 8 + 3 + 9 + 2 + 10 + 1, y obtenemos diez parejas que suman 11, lo que es muy fácil de calcular: 110.

En total, el número de caras visibles será de 129, si no he cometido ningún error.

La fuga

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La idea que comenta Pablo Sussi en los comentarios es muy adecuada. Puesto que las celdas de las esquinas se cuentan dos veces cuando sumas los lados, es sencillo pensar que cambiarse de celda del centro a los lados aumenta la suma, es decir, que si se van 4 presos, podemos hacer que los 28 restantes se distribuyan poniendo sólo 5 en las celdas centrales y 2 en las esquinas, de forma que cada lado sumará 2 + 5 + 2 = 9 y se mantendrá como antes.

Si vuelven a huir otros cuatro prisioneros, el sistema puede volver a funcionar, dejando sólo 3 en las casillas centrales y 4 en las esquinas (3 + 3 + 3 = 9).

Por último, si sólo quedan 20 prisioneros, es fácil pensar, viendo lo anterior, en dejar un único prisionero en la celda central y 4 en cada una de las esquinas. El total de prisioneros es 20 (4*4 + 4*1) y la suma de cada lado sigue siendo 9 (4 + 1 + 4).

Apuesta arriesgada

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En este caso, de nuevo, analizamos las diferentes opciones que tiene nuestro jugador.

Empieza con 1000 euros, y tiene 1/2 de probabilidad de perderlo, y 1/2 de conseguir 2000.

En el caso de que tenga 2000, lo apostará todo, y de nuevo tiene 1/2 de perderlo, y 1/2 de conseguir 4000.

Si tiene 4000, claro, tendrá 1/2 de probabilidad de pasar a tener 3000, y 1/2 de acabar con éxito el juego.

Por último, si juega con 3000, tendrá 1/2 de probabilidad de conseguir ganar, y 1/2 de volver a tener 1000.

Podemos hacer un sistema de ecuaciones con las probabilidades de ganar y perder a partir de cada una de las cantidades, que podemos llamar P1 a la probabilidad de ganar si tienes 1000, P2 a la probabilidad de ganar si tienes 2000, P3 a la que tienes de ganar si tienes 3000, y P4 si tienes 4000. Puesto que todas estas situaciones son inestables, excepto perderlo todo o ganar, sabemos que la probabilidad de ganar y de perder suman uno en cualquier caso.

Si nos imaginamos que repetimos la experiencia muchas veces, es fácil pensar que la mitad de los que empiezan con 1000 euros pierden, mientras que la mitad pasa a tener 2000. Por lo tanto, P1 = P2/2. De los que tienen 2000, pasa otro tanto, por lo que P2 = P4/2. De la misma forma, P4 = 1/2 + P3, y P3 = 1/2 + P1. De esta forma, tenemos un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas. Eliminando primero P4, tenemos que P1 = P2/2, P2 = 1/4 + P3/4 y P3 = 1/2 + P1/2. Eliminando después P3, nos queda que P1 = P2/2 y P2 = 3/8 + P1/8, de donde P1 = 3/16 + P1/16, es decir, que 16P1 = 3 + P1, de donde P1 = 1/5.

Un razonamiento más directo sería basarse en esperanzas. Si ponemos a jugar a mucha gente en las mismas condiciones (todos con 1000€ iniciales, lo que sucede al final es que uno de cada 5 consigue el dinero y otros cuatro lo han perdido (ya que la cantidad total de dinero es la misma siempre), por lo que está claro que la probabilidad de ganar es 1/5.

Polinomio de grado 2010

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Si agrupamos el polinomio por pares de términos, empezando por el primero, lo convertiremos en una serie de sumas de la forma (2010n - 2009)n²⁰⁰⁹ + ... + (4n - 3)n³ + (2n - 1)n. Cada sumando es positivo para cada uno de los números indicados, por lo que la suma es positiva.

Para calcular la cifra de las unidades, nos fijaremos sólo en la última cifra, lo que equivaldría a operar sólo con números entre el 0 y el 9. En lugar de calcular el valor de cada polinomio (aunque el de 1 es sencillo de obtener), podemos sumar por cada lado las potencias, ya que es fácil observar que hay una gran periodicidad en la última cifra de las potencias. Es decir, primero calculamos la última cifra de 2010*(1²⁰¹⁰ + 2²⁰¹⁰ + 3²⁰¹⁰ + ... + 9²⁰¹⁰), después la del siguiente término y así sucesivamente.

Evidentemente, operando sólo con la última cifra, ya que podemos hacer fácilmente una tabla con las últimas cifras de las potencias de todos los números con relativa facilidad (por ejemplo, 2² es 4, 2³ es 8, 2⁴ acaba en 6 y 2⁵ acaba en 2, a partir de ahí vuelve a repetirse.

Después de mucho cálculo superfluo, acaba siendo la última cifra de esa suma igual a 1.

En un país imaginario

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Si sabemos que su cara visible es blanca, eso significa que no es una de las 14 fichas que tienen ambas caras negras, de forma que la probabilidad sólo debe calcularse sobre las restantes. Es decir, que se trata de una de las 41 restantes, y de ellas 25 tienen la otra cara negra. Por lo tanto, la probabilidad de salvarse es de 16/41, es decir, poco más del 39%.