La diferencia es 2009
Puesto que se trata de pares de enteros, es una ecuación diofántica.
Como todas las ecuaciones de este tipo, lo que hemos de intentar es factorizarla y razonar sobre los diferentes factores que aparecen. En este caso, hay dos potencias restadas, que pueden tratarse como diferencia de cuadrados, así que x2 - y4 = (x - y2)*(x + y2) = 2009. Puesto que tanto x como y son números enteros, los dos factores polinómicos, (x - y2) y (x + y2) son factores enteros. Basta descomponer 2009 en factores primos para estudiar todos los productos posibles, tanto positivos como negativos, y estudiar los casos para averiguar el valor de x e y.
Antes de pasar a valores concretos, supongamos que x - y2 = a y x + y2 = b, donde a es menor que b (recuerda que y2 siempre es positivo). En ese caso, a + b = 2*x, y b - a = 2*y2. De ahí, tendremos que x = (a + b)/2 e y2 = (b - a)/2. Es evidente que (b - a)/2 deberá ser un cuadrado perfecto para que podamos calcular con éxito un valor entero para y.
Ahora, factoricemos 2009 = 7*7*41, así que lo podemos expresar sólo de seis formas 2009 = 1*2009 = 7*287 = 41*49 y sus opuestos. Las diferencias de estos números son 2009 - 1 = 2008, cuya mitad, 1004, no es un cuadrado perfecto, 287 - 7 = 280, cuya mitad es 140, que tampoco es un cuadrado perfecto, y 49 - 41 = 8, cuya mitad es 4. Este producto es el único que podemos aprovechar.
De 49*41 obtenemos un valor para x de (49 + 41)/2 = 45, y un valor para y de +2 y -2, y de (-49)*(-45) obtenemos un valor para x de -45, y un valor para y de +2 y -2.
En resumidas cuentas, los únicos pares posibles son (45, 2), (45, -2), (-45, 2) y (-45, -2).
1 comentario:
es muy sencillo y mas pratico 45 al cuadrado nos da como resultado2025 y dandole a y elevada a la cuarta un valor de 2 nos da como resultado 16 por consecuente restamos 2025-16 igual a 2009 un humilde comentario de edgar omar cota lopez los mochis sinaloa mexico
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