Un sistema de ecuaciones

Enunciado

Este tipo de problemas con un sistema tan simétrico suele tener siempre una solución similar. Empecemos por suponer que los cuadrados de los tres números x, y, z, son iguales. En ese caso, las tres ecuaciones se resumirían en una única ecuación, x² + √(x² + 12)=√(x² + 60).

Evidentemente, para resolverla debemos elevar al cuadrado, obteniendo que x⁴ + x² + 12 + 2x²√(x²+12)=x² + 60.

Simplificando, podemos asegurar que 2x²√(x²+12)= 48 - x⁴. Y de nuevo elevamos al cuadrado, de forma que 4x⁴(x²+12)= 2304 - 96x⁴ + x⁸, es decir, 4x⁶ + 48x⁴ = 2304 - 96x⁴ + x⁸.

Si pasamos todos los términos al mismo extremo de la igualdad, obtenemos que 0 = x⁸ - 4x⁶ - 144x⁴ + 2304. Evidentemente, trataremos de reducir el grado de este polinomio cambiando x² por t, logrando el polinomio de grado cuatro 0 = t⁴ - 4t³ - 144t² + 2304. Tratando de factorizar por el método de Rufini este polinomio sólo obtendríamos la raíz positiva 4 (aunque también existe otra en las proximidades de 13,646). Aquí, he de reconocer que no sé como obtener esta solución o una expresión de ella sin calculadora.

Ahora bien, esa solución da lugar a una falsa solución de la ecuación inicial, ya que como veremos más adelante sólo es válida una solución positiva, y t = 4, o x = 2 lo es. Evidentemente, valdrá cualquier signo para la x, la y o la z, con lo cual eso da lugar a 8 soluciones (2,2,2), (2,2,-2), (2,-2,2), ... , (-2,-2,-2).

¿Porqué no son válidas soluciones con x, y, z de cuadrados distintos. Bien, supongamos que existen tres soluciones con x² < y² < z² (podemos situarnos en el caso en que sólo una de las desigualdades es estricta). En ese caso, está claro que x² = √(y² + 60) - √(x² + 12) = 48/(√(y² + 60) + √(y² + 12)) > 48/(√(z² + 60) + √(z² + 12)) = y². De la misma forma, encontraríamos contradicciones en cualquier otra situación de desigualdad. Es más, si no se nos ocurre esta forma de trabajar con las fracciones, siempre podríamos razonar sobre propiedades de la función raíz.

Sobre el motivo por el que no hay otra raíz válida, podemos volver a una igualdad parecida con la ecuación inicial, que t = 48/(√(t + 60) + √(t + 12)), y razonando sobre intervalos de crecimiento de ambas expresiones para la rama positiva de las t (recuerda que t = x²).

Suprimiendo sumas

Enunciado

En este tipo de problemas no conviene empezar haciendo números a lo loco, salvo que tengamos mucho tiempo.

Matemáticamente, ¿qué significa suprimir una suma?

En realidad, restamos del sumando total el número de delante del signo que quitamos, y luego lo añadimos como si fuese centena, decena, o algo similar.

Si sumamos todos los números que tenemos, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 13*(1 + 13)/2, ya que podemos emparejarlos de dos en dos y sumarán lo mismo, y esto da 13*7 = 91.

Así, si suprimimos el signo que va delante del 1, obtendremos 91 - 1 + 10 = 100, y ese será el primer múltiplo de 100 que obtenemos. En efecto, 12 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 100.

Si probamos un poco, nos daremos cuenta que cada vez que suprimimos un signo +, lo que sumamos en realidad es un múltiplo de 9 a la suma anterior. ¿Por qué sucede esto? Pues porque si suprimimos el signo + de delante de un número a, en realidad conseguimos restar a la suma anterior a y sumar a*10ⁿ, donde n depende de las cifras que tenga el número siguiente. Está claro que a*10ⁿ - a = a*(10ⁿ - 1), que es un múltiplo de 9 (el último antes de a*10ⁿ).

Así que no podemos obtener números cuya diferencia con 91 no sea múltiplo de 9. El siguiente múltiplo de 100 que cumple esta propiedad es 100 + 900 = 1000, ya que 1000 - 91 = 909, que es múltiplo de 9.

Ahora bien, ¿cómo conseguir 909 mediante el método visto antes? Una idea muy sencilla es probar a quitar el signo de detrás del 9, y conseguiremos añadir 9*99 = 891. Como sólo falta 18, que es 2*9, quitamos también el de detrás del 2. En efecto, 1 + 23 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 910 + 11 + 12 + 13 = 1000.

El siguiente que podemos tratar de conseguir es el 1900 = 91 + 1809. Si dividimos 1809 entre 99, obtenemos 18. El mayor número que podemos utilizar es 12, de forma que podemos conseguir 12*99 = 1188, y sólo nos queda lograr 621. Tanteando un poco, nos daremos cuenta que si quitamos el signo de detrás de 6 sumamos 6*9, pero si además quitamos el de delante, sumaremos 5*99, con lo que conseguimos 5*99 + 6*9 = 549. Con esta operación, sólo nos queda lograr 72 más, que podemos lograr quitando el signo de la derecha de 8 (ya que 8*9 = 72). Es fácil comprobar que 1 + 2 + 3 + 4 + 567 + 89 + 10 + 11 + 1213 = 1900.

Los demás múltiplos de 100 intermedios no se pueden conseguir.

Pensando con lógica

Enunciado

De lo que se trata en este caso, como han afirmado muchos de los comentarios, es de ir poniendo juntas las frases de los enunciados, hasta descubrir alguna relación.

Evidentemente, las frases que empiezan por "si... " no se pueden utilizar solas. Sabemos que es blanco o amarillo, y que es cuadrado o redondo.

Como sabemos que si es cuadrado, es rojo, y no puede ser rojo, debe ser redondo.

Si es amarillo, es cuadrado, por lo que no puede ser amarillo, porque sabemos que es redondo. Por lo tanto, debe ser blanco.

En resumen, que es blanco y redondo, de lo que tampoco podemos deducir nada más.

Pintemos triángulos

Enunciado

Nombrando las zonas

El problema es más complicado de lo que parece. Para que se entienda mejor, voy a distinguir tres zonas, y voy a marcar cada triángulo con una letra, para ir estudiando por separado varias cosas.

La primera zona la voy a construir con las piezas que en el dibujo llevan las letras A, B y C, y entre los tres forman un cuadrado. Si os dais cuenta, cada uno toca a los otros dos, por lo que tienen que tener colores distintos. Hay seis formas distintas de pintarlos, ya que si empiezas eligiendo el color para C, por ejemplo, tienes tres posibles elecciones, pero entonces A sólo lo puedes pintar de dos formas, porque no puede ser del mismo que C, y B está obligado a tener el color sobrante. Por eso tienes 6 diferentes posibilidades para decorarlo.

La segunda zona está formada por D, E y F. Si suponemos que están pintadas ya las celdas del primer bloque, tenemos un color prohibido para D y otro para E, pero no es el mismo. Así, tenemos las siguientes posibilidades: si D es del mismo color que C, E puede ser del color de B o del color de A, pero seguro que será distinto, por lo que F tendrá que ser del color que A o del de B, es decir, estará obligado y sólo tenemos dos posibilidades. Si D es del color de A, y E también, F puede ser del color de B o de C, así que tenemos otras dos posibilidades, y si D es del color de A y E es del color de B, F tiene que ser del color de C, lo que hace un última posibilidad. De esta forma, tenemos 5 posibilidades de decorar la pieza central, para cada decoración de la otra pieza, lo que hace, de momento, un total de 30 decoraciones distintas.

La última parte es la más sencilla, ya que las piezas G y H son independientes entre sí, y sólo tenemos dos colores para cada una, pues no pueden coincidir con F, así que hay 4 formas diferentes de pintarlas.

En resumen, que tenemos 6·5·4 = 120 posibles decoraciones diferentes de este dibujo con sólo tres colores.

Un triángulo dentro de un cuadrado

Enunciado

Este problema es bastante original y hay varios métodos para abordarlo.

Podríamos razonar sobre áreas mínimas, y razonando que si un triángulo tiene los tres lados más grandes que el cuadrado en que está contenido, contiene el centro.

Otro razonamiento, que puede servir en muchas ocasiones es distribuir los puntos en zonas, de forma que dos acaben en la misma zona, y que las zonas tengan longitud máxima conocida.

Triángulo dentro de un cuadrado

En este caso, sólo disponemos de tres puntos, pero puesto que no contiene el centro, podemos dividir el cuadrado en dos, por una línea que atraviese el centro y que sea paralela al lado más próximo a este (no es necesario que sea paralela, basta con que no corte a ese lado, realmente). Ahora, tenemos tres puntos en medio cuadrado.

Supongamos que trazamos ahora otra línea desde el centro, perpendicular a la primera. El medio cuadrado queda dividido en dos fragmentos iguales, y dos de los vértices del cuadrado quedan dentro de uno de los dos lados.

Basta demostrar que las longitudes máximas dentro de esas zonas, dos cuadriláteros, es decir, sus diagonales, son menores que el lado del cuadrado.

Una de las diagonales es media diagonal del cuadrado, que es igual a √2/2 por el lado, que es claramente menor que el lado. La otra diagonal es la diagonal de un triángulo rectángulo. En ese triángulo, si un cateto mide d, el otro mide l - d, donde l es el lado (usando triángulos semejantes). Por lo tanto, la suma de los cuadrados de d y (l - d) será d² + d² - 2ld +l² = l² + 2dl(d - l), pero d - l es negativo, por lo que este valor es menor que l², por lo que esa diagonal es, necesariamente, menor que l.

Observa que podría darse el caso en que d sea l, por lo que debemos elegir la línea inicial de corte de forma que no se trate de la diagonal, ya que no es imprescindible que sea paralela al lado, sino que hay un margen para el ángulo con el que trazamos el primer segmento.

Un cuadrado en un triángulo

Enunciado

En los comentarios al enunciado se ha dado una solución basada en geometría analítica, es decir, en coordenadas de rectas.

Triángulo con cuadrado

También podemos solucionarlo mediante triángulos semejantes.

Como podemos comprobar comparando ángulos, dibujar el cuadrado dentro del triángulo deja dos triángulos disjuntos semejantes al original, cuyos lados, originalmente, medían 21, 28 y 35.

Si suponemos que la longitud del lado del cuadrado es x, el cateto menor de uno de los triángulos medirá x, y el mayor del otro también medirá x. De aquí, deducimos que el factor de escala que transforma el triángulo original en el pequeño es x/28, y el que transforma el original en el grande es x/21.

Por lo tanto, las hipotenusas medirán, respectivamente, 35*x/28 = 5*x/4 y 35*x/21 = 5*x/3. Y entre las dos, como se puede apreciar, suman la hipotenusa original, es decir, 5*x/4 + 5*x/3 = 35, de donde (15*x + 20*x)/12 = 35x/12 = 35, por lo que x mide 12.

Por lo tanto, el área del cuadrado mide 144 centímetros cuadrados, mientras que la del triángulo original era de 21*28/2 = 294, que es algo más del doble del cuadrado.

El área de una cruz

Enunciado

Una de las cosas más sencillas que se pueden hacer es construir una figura a escala. Si calculamos el área total y la longitud del segmento que es proporcional al que tenemos, podemos calcular después el factor de escala, es decir, a qué escala estamos trabajando, y también el área de la figura que queremos calcular.

Evidentemente, por comodidad, en nuestro dibujo a escala, la longitud de cada cuadrado será de un centímetro. En ese caso, el área de cada cuadrado será de un centímetro cuadrado, y el área total será de 5 centímetros cuadrados. La longitud del segmento del que tenemos datos se puede calcular mediante el Teorema de Pitágoras, ya que sería la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos de 2 y 1 centímetros. Su longitud, al cuadrado, sería igual a la suma de 4 y 1, es decir, sería igual a 5. Por tanto su medida en centímetros (en nuestra representación a escala) sería de √5.

Como en el dibujo que hemos de calcular tiene una longitud de 5, el factor de escala será 5/√5. Ahora, para calcular el área en el objetivo, puesto que es un área, debemos multiplicar la del dibujo a escala dos veces por el factor de escala, por lo que valdrá 5*(5/√5)*(5/√5) = (5*5*5)/(√5*√5) = (5*5*5)/5 = 25 centímetros cuadrados.

En este tipo de problemas conviene recordar que la escala sólo se aplica a elementos lineales. Las áreas se multiplican dos veces por el factor escala, y los volúmenes, tres.

Actualización: Uno de los visitantes anónimos nos ha dado una solución muy bonita, geométrica, que explica en los comentarios. La imagen puede verse en http://img684.imageshack.us/img684/6691/otrasolucion.jpg. Merece la pena pegarle un vistazo.

Encuentra el número

Enunciado

En los comentarios ya se ha explicado un poco cómo se hace.

Si la suma da un número de tres cifras, no puede ser que la suma de la primera y la última cifra dé un número mayor de 9, por lo que no habrá cifra extra que "llevar". Ni en la primera ni en la última columna, ya que se suman las mismas dos cifras. Eso quiere decir que el resultado de sumar las dos centrales tampoco debe llevar ninguna, y el resultado final será el doble de la cifra que estuviese al principio en medio.

Si la cifra central es un 1, las otras dos deben ser unos para sumar también 2 (esto se considera un caso no válido, por ser iguales las cifras de los extremos): 111.

Si la cifra central es un 2, al final se convertirá en un 4, que puede ser suma de 1 y 3, así que puede ser el 123, el 321 o (no vale) el 222.

Si la cifra central es un 3, al final se convertirá en un 6, que puede ser suma de 1 y 5 o 2 y 4, así que puede ser el 135, el 234, el 432, el 531 o (no vale) el 333.

Si la cifra central es un 4, al final se convertirá en un 8, que puede ser suma de 1 y 7, 2 y 6, o de 3 y 5 así que puede ser el 147, el 246, el 345, el 543, el 642, el 741 o (no vale) el 444. La cifra central no puede ser otra, pues habría "arrastre" al sumar.

En los comentarios Luis Langon sugiere que se pueden dar soluciones con las tres cifras iguales, o con una última cifra igual a cero. Es cierto, aunque se pierde un poco la lógica de la situación, ya que se puede interpretar que "cambiar las cifras" no tiene sentido si son iguales, o que escribir un número de tres cifras con una primera cifra igual a cero es incorrecto. Si admites estas situaciones, lógicamente, el número de soluciones aumenta, y no está mal, sólo quería advertir que hay que matizar si lo admitimos o no. Gracias por comentar.