Partículas en colisión

Enunciado

Ya había visto un problema similar a este, con camaleones que cambian de color al encontrarse.

Lo primero que hay que observar es que las diferencias entre las cantidades que hay de cada par de partículas varía exclusivamente de 3 en 3. Es decir, si tenemos cantidades a, b y c de cada tipo de partículas, después de una colisión de las primeras con las segundas (y primeras y segundas pueden ser cualquiera), habrá a - 1, b - 1 y c + 2, con lo cual las diferencias entre primeras y segundas será igual, entre primeras y terceras habrá aumentado en tres (c + 2 - (a - 1) = c - a + 3). Lo mismo sucederá con las diferencias entre segundas y terceras.

En el estado inicial, las diferencias entre dos tipos de partículas son 20 = 30 - 10, 13 = 30 - 17 y 7 = 17 - 10. Ninguno de ellos es múltiplo de 3, por lo que nunca podrá llegar a ser cero, y en consecuencia no podrá haber un único grupo de partículas, ya que los otros dos no podrían nunca ser iguales.

Curiosamente, este método da una idea de cómo lograr que haya un grupo de partículas casi único, salvo una, quiero decir. Por ejemplo, podemos conseguir que todas menos una sean positivas, es suficiente hacer chocar dos veces positiva y neutra, hasta obtener 28 positivas, 14 negativas y 15 neutras. A partir de ahí, colisionamos 14 negativas y 14 neutras, logrando 56 positivas y una única neutra. De forma similar podríamos lograr todas menos una negativas (con una positiva) y todas menos una neutras (con una negativa, también).