Rellenando el tablero

Enunciado

Si has manipulado algo con figuras redondas, sabrás que la forma más compacta de poner fichas consiste en crear filas de fichas apoyadas cada fila en dos fichas de la fila anterior, de forma que en las filas impares tendremos ocho fichas y en las pares una menos. El objetivo es tratar de poner alguna fila más dentro del tablero.

Si nos fijamos en tres fichas puestas de esta forma, descubrimos que se forma entre sus centros un triángulo equilátero que nos va a ayudar, con ayuda del Teorema de Pitágoras, a descubrir la distancia entre las filas.

En efecto, el triángulo equilátero tiene los lados de 3 centímetros, y si lo dividimos en dos partes iguales, se formará un triángulo rectángulo que tendrá una hipotenusa de 3 y un cateto de 1,5 centímetros. Aplicando Pitágoras, la altura, que es lo que nos interesa, al cuadrado, medirá 9 - 2.25 = 6.75, de forma que (con la calculadora) debe medir aproximadamente 2.598076211.

Así, las dos filas ocuparán un total de 3 + 2.598076211 = 5.598076211 (menos que 6), y dejarán algo de sitio libre en la segunda fila de casillas.

Si probamos ahora a unir más filas, encontramos que, por ejemplo, si ponemos tres filas, la altura máxima que usaremos será la suma de dos radios de las fichas más dos alturas del triángulo calculado previamente (3 + 2.598076211*2 = 8.196152423), dejando algo más de espacio en la tercera fila del tablero.

Sucesivamente, la cuarta fila añadirá otra altura del triángulo, midiendo 10.794228634. ¿cuántas filas caben en nuestro tablero? Pues bastará restar a sus 24 centímetros 3 y dividir el resultado entre las alturas de cada fila, 2.598076211. Eso hace un total de 8.082903769, es decir, que podemos poner en realidad 9 filas (y apenas sobrará sitio), es decir, que podemos poner 5 filas de 8 fichas y 4 de 7, lo que hace un total de 68 fichas.

Observa que hemos puesto 4 fichas más que si hubiésemos optado por poner una en cada casilla. Sin embargo, el espacio sobrante, si se pudiese aprovechar mediante un cuidadoso troceo de las fichas daría para poner 81 fichas y casi media, ya que si dividimos el área del tablero por las de las fichas obtenemos esta cantidad. Más de 13 fichas más. Pero no hay ninguna distribución que nos permita colocarlas sin romperlas.