Desigualdad diofántica

Enunciado

En este caso es fundamental el hecho de que todos los números que aparecen son enteros, ya que no se cumple con números reales, por ejemplo.

Tenemos que ab = n² + 1, y a > b. Pongamos un ejemplo, si n = 7, podemos hacer que a = 10 y b = 5, así 10*5 = 7² + 1. Bien, pues en ese caso, a - b = 5, que es igual que √(4*7 - 3) = √25 = 5 en ese caso. Pero a veces, es incluso menor, como por ejemplo, si n = 8, y a y b pueden ser 13 y 5. En ese caso, a - b vale 8, mientras que √(4n - 3) vale √29, y este número es claramente inferior.

Puede parecer un resultado intrascendente, pero es una característica muy interesante de los números de la forma n² + 1, entre los que se sospecha que existen numerosos números primos, pero no se sabe con certeza (cuarto problema de Landau). Además, lo que probamos es que si existe una factorización en dos factores, la diferencia entre el mayor y el segundo es mayor que un cierto valor que depende de n y que, por lo tanto, va creciendo.

En este problema se trata de jugar con las expresiones a - b y √(4n - 3), para tratar de compararlas. Puesto que ambas son expresiones positivas, podemos elevarlas al cuadrado y mantendrán sus tamaños relativos, quedando a² + b² - 2ab y 4n - 3 respectivamente.

Usando ahora que ab es igual a n² + 1, podemos sumar a ambas expresiones esta igualdad dos veces y tenemos las dos expresiones transformadas en a² + b² y 2n² + 4n - 1. Tal y como quedan no sirven para nada, pero si repetimos el proceso, obtenemos que las expresiones se transforman en a² + b² + 2ab y 4n² + 4n - n, que son ambos cuadrados perfectos, es decir, (a + b)² y (2n + 1)².

Bastaría entonces si pudiésemos comparar a + b a 2n + 1 y resultase ser mayor.

De la desigualdad entre las medias aritméticas y geométricas, sabemos que (a + b)/2 ≥ √(ab), por lo que a + b será mayor o igual que 2√(n^2 + 1), y, puesto que el segundo número es algo mayor que 2n, la desigualdad es estricta. De esta forma, sabemos que a + b es mayor que 2n, y, puesto que entre los enteros hay al menos una unidad, sabemos que a + b ≥ 2n + 1.

Para llegar de nuevo a la desigualdad inicial, basta seguir el proceso al revés. Como a + b ≥ 2n + 1, y ambos son positivos, elevando al cuadrado, tenemos que (a + b)² ≥ (2n + 1)², y desarrollando, eso indica que a² + b² + 2ab ≥ 4n² + 4n - n. Restando a ambas expresiones, respectivamente, la igualdad ab = n² + 1 cuatro veces, tenemos que a² + b² - 2ab ≥ 4n - 3, que es equivalente a (a - b)² ≥ 4n - 3. Tomando de ambas expresiones su raíz cuadrada positiva, tenemos la desigualdad que pretendemos probar, que a - b ≥ √(4n - 3).

¿cuándo se da la igualdad? Es necesario que 4n - 3 sea un cuadrado perfecto, es decir, que 4n = u² + 3 (observa que basta que u sea impar para que se pueda conseguir un n válido), y además, ab = n² + 1 y a + b = 2n + 1. Tratando estas tres igualdades como un sistema de ecuaciones en las que u juega el papel de parámetro, tenemos que (con un poco más de trabajo, claro) que a = (u² + 2u + 5)/4 y que b = (u² - 2u + 5)/4. Por ejemplo, si tomamos u = 5, n = 7, a = 10, b = 5, que es el caso que ya conocíamos, y si u = 7, n = 13, a = 17, b = 10.