El área de una cruz

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Una de las cosas más sencillas que se pueden hacer es construir una figura a escala. Si calculamos el área total y la longitud del segmento que es proporcional al que tenemos, podemos calcular después el factor de escala, es decir, a qué escala estamos trabajando, y también el área de la figura que queremos calcular.

Evidentemente, por comodidad, en nuestro dibujo a escala, la longitud de cada cuadrado será de un centímetro. En ese caso, el área de cada cuadrado será de un centímetro cuadrado, y el área total será de 5 centímetros cuadrados. La longitud del segmento del que tenemos datos se puede calcular mediante el Teorema de Pitágoras, ya que sería la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos de 2 y 1 centímetros. Su longitud, al cuadrado, sería igual a la suma de 4 y 1, es decir, sería igual a 5. Por tanto su medida en centímetros (en nuestra representación a escala) sería de √5.

Como en el dibujo que hemos de calcular tiene una longitud de 5, el factor de escala será 5/√5. Ahora, para calcular el área en el objetivo, puesto que es un área, debemos multiplicar la del dibujo a escala dos veces por el factor de escala, por lo que valdrá 5*(5/√5)*(5/√5) = (5*5*5)/(√5*√5) = (5*5*5)/5 = 25 centímetros cuadrados.

En este tipo de problemas conviene recordar que la escala sólo se aplica a elementos lineales. Las áreas se multiplican dos veces por el factor escala, y los volúmenes, tres.

Actualización: Uno de los visitantes anónimos nos ha dado una solución muy bonita, geométrica, que explica en los comentarios. La imagen puede verse en http://img684.imageshack.us/img684/6691/otrasolucion.jpg. Merece la pena pegarle un vistazo.