El juego de los múltiplos

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Uno de los comentarios da una solución muy breve, aunque no se explica el razonamiento que nos puede llevar a ella.

La clave está en entender bien cómo funcionan los números en cuanto a ser o no múltiplos de tres.

Si tenemos un número de tres cifras, y queremos que se trate de un múltiplo de tres, sus cifras deben sumar tres o múltiplo de tres. Ahora, observaremos diferentes opciones:

Si las tres cifras son múltiplo de 3, automáticamente el número es múltiplo de 3.

Es imposible que dos de las cifras sean múltiplo de 3, ya que la otra aportaría un sumando una unidad o dos mayor que un múltiplo de tres.

Si hay una cifra múltiplo de 3, otra de las cifras será una unidad mayor que un múltiplo de tres, y la restante será dos unidades mayor que un múltiplo de 3, ya que en otro caso no pueden sumar entre ambas un múltiplo de 3.

Si no hay ninguna cifra múltiplo de 3, las tres cifras deben ser del mismo tipo, es decir, exceder en uno un múltiplo de tres, o bien exceder en dos, ya que en otro caso podemos comprobar fácilmente que no llegan a sumar un múltiplo de 3.

Clasificando así las cifras, es muy sencillo construir múltiplos de tres, como 147, o 243.

En este problema, sólo disponemos de las cifras del 1 al 6, y no podemos repetir. Eso significa que sólo tenemos dos múltiplos de 3 (3 y 6), dos que exceden en 1 (1 y 4) y dos que exceden en 2 (2 y 5), luego sólo podemos construir números que tengan una cifra de cada tipo.

Ahora, está clara la estrategia que debe seguir Luis, ya que siempre puede ganar. Basta escoger una cifra de uno de los tipos, y si Elena elige otro tipo, dejando un único representante de ese tipo, elegir el que se ha quedado sólo, hasta completar el trío de representantes de cada tipo.

Por ejemplo, Luis elige el 4 y Elena el 5. Como el 2 se ha quedado "huérfano", Luis elige el 2, ahora, si Elena elige el 3, Luis puede seleccionar el 6 y completar el 426, que es múltiplo de 3 (evidentemente, Elena se queda con el 531, que también lo es). Y gana Luis.

Si es Elena la que empieza, Luis sigue teniendo ventaja, ya que puede elegir de nuevo el número que se queda único en su tipo hasta completar los tres tipos.

La última pregunta es bastante más difícil de contestar, ya que hay que contar de alguna forma cuántos números podemos construir, y cuántos de ellos serían múltiplos de 3. Vamos a imaginar que sólo elige uno de los jugadores, y que el otro se conforma con lo que queda, ya que para contar las opciones y saber si sale o no múltiplo de 3 nos da igual lo que haga el otro jugador.

Para elegir la primera cifra tiene 6 opciones, para la segunda, 5, independientemente de la cifra que eligiese en primer lugar, y para la tercera, cuatro opciones. Esto, contando todas las posibles ramificaciones del número, haría un total de 6*5*4 = 120 números posibles.

De todos ellos, vamos a contar los que sean múltiplos de 3. El primer número, hemos visto que puede ser cualquiera (6 opciones), pero el segundo sólo puede ser uno de los cuatro que no son del mismo tipo que el primero, y el tercero únicamente puede ser del tipo restante, formado por sólo dos números, es decir, que tendríamos 6*4*2 = 48 posibilidades.

En definitiva, jugando al azar, Luis tendría una probabilidad de ganar de 48/120, equivalente a 2/5, un 40% en porcentaje.