Usando la regla y el trisector

Enunciado

La primera tentación que uno tiene al intentar este problema es triscar el segmento dado, y volver a trisecar alguno de los intervalos, esperando que alguno de los puntos así obtenidos sea el central. Al menos a mí me pasó. Tras unas pruebas, razoné que cada uno de los segmentos obtenidos tendría una longitud que sería una fracción del primero con un denominador potencia de tres, y ninguna suma de fracciones con esos denominadores pueden ser la fracción 1/2, así que parecía que estaba perdiendo el tiempo.

Mi siguiente idea fue fijarme en el material puesto a nuestra disposición: una regla y un trisector. ¿Para qué puedes usar una regla sin marcas? Pues para hacer rectas, claro. Necesito un segmento dividido por la mitad, y trazar rectas para llevar esas proporciones al segmento dado.

Sin embargo, es necesario que ese segmento dividido por la mitad esté en una paralela al segmento dado, ya que si no lo está, el trazar esas rectas no garantiza que el resultado esté exactamente en la mitad.

Eso llevó a otro problema ¿cómo trazar una paralela con el material que tenemos?

Se me ocurrió levantar un triángulo sobre el segmento dado, eligiendo como vértice un punto cualquiera que no estuviese alineado con el segmento, y dividir los otros dos lados (no el segmento) con el trisector. Uniendo ordenadamente esos puntos con segmentos trazados con la recta, consigues segmentos paralelos al de abajo (puedes razonar el paralelismo por semejanza).

Como sólo necesitamos un segmento paralelo, usamos el mayor de los dos. Ahora le volvemos a aplicar el trisector. Evidentemente, queda dividido en tres, no en dos, pero usamos tres puntos consecutivos de los cuatro puntos del segmento como si fuese un segmento divido en dos partes iguales, y con la recta trazamos las líneas necesarias para llevar esa división al segmento inicial.

Es mucho más fácil hacerlo que explicarlo, trataré de que lo veáis en un dibujo.

Ahora, vayamos con la demostración formal. En primer lugar, hemos de probar que, independientemente de la elección de C, el segmento KH es paralelo a AB. Para ello, usamos que los triángulos ABC y AKH son semejantes, por tener un ángulo igual y los dos segmentos que lo forman proporcionales. Después, obtenemos el punto R a partir de B y de Q (ver en el dibujo), y con ayuda de R y de P, obtenemos S. Está claro que P es el centro del segmento HQ, y por semejanza, RPQ es semejante a RSB, igual que RHP es semejante a RAS. Ahora, por la proporcionalidad, PQ es proporcional a SB en la misma proporción que HP a AS, y puesto que PQ y HP son iguales, también lo serán AS y SB, con lo que S es efectivamente el punto medio.