Otra potencia de 3

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Ya he expuesto anteriormente en el blog, en las categorías de primer ciclo y segundo ciclo, cómo calcular cuál es la última cifra de 3²⁰⁰⁸ y la de 37²⁰⁰⁸. Es mejor que leas detenidamente cómo se realiza ese cálculo, porque te puede dar ideas muy convenientes para trabajar en el próximo.

Bueno, ahora se trata de averiguar si 3²⁰⁰⁸ - 1 es un número divisible entre 8 o no. Probablemente, lo primero que se te ocurra sea calcular las últimas cifras (concretamente, las últimas 3) del número 3²⁰⁰⁸, para aplicar el criterio de divisibilidad del 8 (si las últimas cifras son divisibles entre 8, seguro que el número lo es). Sí, es posible. Seguro que hay un patrón en las últimas tres cifras de las potencias de tres, pero es posible que sea largo, muy largo. Tal vez tenga más de treinta potencias de longitud, y eso significa hacer muchas cuentas. No, hay otro sistema.

Veamos. El número 3² - 1 = 8 es un número divisible entre 8. Sin embargo, 3³ - 1 = 26, pese a ser par, no es divisible ni siquiera entre 4. De nuevo, 3⁴ - 1 = 80 vuelve a ser divisible entre 8. Y el número 3⁵ - 1 = 242 no es tampoco divisible entre 8. ¿ves el patrón? Vamos a ver si lo formalizamos, es decir, si podemos seguir tranquilamente la cadena hasta 2008, sin calcular todas las potencias.

Supongamos que tenemos un n parecido a 2 o a 4, es decir, de los que 3ⁿ - 1 es divisible entre 8. ¿Qué pasará con el siguiente? En ese caso, 3ⁿ es una unidad más grande que un múltiplo de 8, es decir, es de la forma k*8 + 1. Si lo multiplicamos por 3, obtenemos 3^{n + 1}, es decir, la potencia siguiente. Esa potencia, será de la forma 3*k*8 + 3, es decir, será 3 unidades más grande que un múltiplo de 8 (observa los casos de 27 y de 243), por lo que al restarle 1 no es divisible entre 8, aunque sí lo es al restarle 3.

Ahora bien, ¿y si tenemos un valor n parecido a 3, o a 5, es decir, de los que habría que restarle 3 para que fuese divisible entre 8? Entonces, 3ⁿ = k*8 + 3 para algún valor de k, y la siguiente potencia, 3^{n + 1}, que se obtiene al multiplicar la anterior por 3, sería de la forma 3*k*8 + 3*3 = 3*k*8 + 8 + 1 = (3*k + 1)*8 + 1, es decir, sería una unidad más grande que un múltiplo de 8.

Con este par de comprobaciones, tenemos confirmado el patrón: ciertas potencias de 3 (las pares), son una unidad más grande que un múltiplo de 8, y las otras (las impares) son tres unidades mayores que un múltiplo de 8. La que nos interesa, 3²⁰⁰⁸ es par, por lo que al restarle uno sí que es un múltiplo de 8.