domingo, 20 de abril de 2008

Potencia de 3

Enunciado

Evidentemente, no podemos calcular a mano 32008. Si no vamos a hacer trampas (hay calculadoras en Internet que pueden calcularlo), debemos empezar por calcular las primeras potencias, poniendo especial cuidado en la última cifra. La primera potencia interesante es 32 = 3*3 = 9. Después, 33 = 9*3 = 27. Observamos que la última cifra es un 7. La siguiente potencia, 34 = 27*3 = 81, acaba en 1, y ese 1 lo obtenemos de multiplicar 7*3, que da 21.

Supongo que te habrás dado cuenta que para obtener la última cifra, no necesitamos calcular las demás, es decir, que sólo necesitamos saber la última cifra de la potencia anterior. Así, para sacar la última cifra de 35, basta multiplicar 1 por 3, y sabemos que es 3. La última cifra de 36 será, entonces, 9, y la de 37, 7. Así que para 38 volveremos a tener 1 en la última cifra.

En resumidas cuentas, se produce un ciclo que se repite potencia tras potencia. Del 3 al 9, de éste al 7 y de 7 a 1, y vuelta a empezar. Cada cuatro potencias, volvemos a tener un ciclo. La potencia que nos interesa, 2008, es múltiplo de 4 (es año bisiesto, ya sabes). Y, como el ciclo es de 4 números, todas las potencias múltiplos de 4 acaban en lo mismo. Como 34, todas acaban en 1. También 32008 acaba en 1.

6 comentarios:

Anónimo dijo...

que interesante!!! me encanta esto xD

Anónimo dijo...

También se puede hallar cada cuantos módulos se repite la potencia, en el caso de 3 la potencia se repite "x mod 4", y donde está la x poner el número y hacer x mod 4, el resultado en x sera una potencia de una cifra que aplicada a 3 dará la ultima cifra.

¿Y para calcular las 2 últimas?

Proble Mático dijo...

¿Y para calcular las 2 últimas?

La idea sería ir multiplicando por 3 hasta que las últimas dos cifras se repitiesen (se crease un ciclo de números en las terminaciones). Como sólo te interesan las dos últimas cifras, podrías olvidarte de las cifras anteriores (que pueden ser sólo 1 o 2).

Así partiríamos de 1 -> 3 -> 9 -> 27 -> 81 -> 43 -> 29 -> 87 -> 61 -> 83 -> 49 -> 47 -> 41 -> 23 -> 69 -> 7 -> 21 -> 63 -> 89 -> 67 -> 1

Llega un momento (3 elevado a 20) en que se repite (vuelve a dar 1). A partir de ahí podrías averiguar la terminación de cualquier potencia, estudiando su resto al dividir entre 20.

Proble Mático dijo...

Estaba pensando que tal vez o fuese necesario hacer todos esos productos. Ya sabemos que la última cifra se repite cada 4 ¿no?

Pues como 3 elevado a 4 es 81, sabemos que tarde o temprano, la cifra de las decenas volverá a ser la misma, pero para que coincidan las dos, es necesario que se trate de un múltiplo de 4.

Elevar 3 a 8 es como multiplicar 81 por 81 (ojo, que sólo queremos las últimas dos cifras), por lo que 80*1 + 1*1 + 1*80 = 161, es decir, las últimas dos cifras son 61. De la misma forma, 3 elevado a 12 acaba en 41, a 16 en 21 y, por fin, a 20, en 01.

Siguiendo una lógica similar, podemos estudiar la antepenúltima cifra, fijándonos en las tres últimas cifras de 3 elevado a 20 (podemos avanzar de 4 en 4 a partir de 81), y dando saltos de 20 en 20, puesto que las 2 últimas serán iguales.

Daniel Cantera dijo...

Y para averiguar las 4 ultimas?

Proble Mático dijo...

El estudio se haría más largo, buscando cada 20 cómo se repiten y qué número tienen delante.