Potencia de 37
Para resolver la primera parte, la última cifra de 32008, mira la solución al problema de primer ciclo. ¿Ya la has visto? Pues sigamos con la de segundo ciclo.
La potencia con la que hemos de trabajar es 372008. Evidentemente, empezaremos por potencias menores, y fijándonos exclusivamente en la última cifra. Ya sabemos que esa última cifra procede exclusivamente del producto de las últimas cifras, así que no nos molestaremos en calcular nada más.
La última cifra de 372 es 9, procedente de 7*7 = 49.
La de 373 es 3, de multiplicar 9 (la de 372) por 7, que da 63.
La última de 374 es 1, procedente de 3*7 = 21.
La de 37 5 es 7, pues eso da 1*7.
Evidentemente, después de eso, volvemos a empezar, de forma que tenemos un ciclo de cuatro cifras que siempre se repiten en el mismo orden: 7, 9, 3, 1. Casualmente las mismas cifras que aparecen en las potencias de 3, aunque en orden inverso.
Y, de nuevo, 372008 tiene la misma última cifra que 374, por ser 2008 múltiplo de 4, y esta cifra es 1. Exactamente igual que 32008.
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