La última nota

Enunciado

La idea para resolver este problema es, como dice el comentario primero del enunciado, probar criterios de divisibilidad para los números. Ya sabemos que al final obtiene una media que es un número entero, (71 + 76 + 80 + 82 + 91)/5, es decir, 80. Sin embargo, antes de añadir la última nota, la suma de las cuatro que había era divisible entre 4, pues la media daba entera también. Como la suma total es 400, si le quitamos la última nota y da un número divisible entre 4 es porque esa última nota es divisible entre 4, luego sólo puede tratarse de 76 o de 80. ¿Cuál de los dos será?

Supongamos que se trata de 76. Las cuatro primeras notas sumarán un total de 324, que es divisible entre 4 (da 81). Sin embargo, antes de incorporar la cuarta nota debe haber sido divisible entre 3. Este número es divisible entre 3, por lo que de nuevo necesitamos que la cuarta nota haya sido una divisible entre 3, pero ninguna de ellas lo es (ni 71, ni 80, ni 82, ni 91). Por lo que sabemos, es imposible que 76 haya sido la cuarta nota.

¿Podría haber sido 80 la cuarta nota? En ese caso, la suma de las cuatro sería 320, y podemos ver que al restarle 71 se obtiene el 249, que es múltiplo de 3. Es fácil ver que al restarle el 91 da un múltiplo de 2, y la primera y la segunda notas podrían haber sido cualquiera de las dos restantes.

El caso es que la última nota en introducirse fue el 80.