Los 17 números

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Lo primero que hago en problemas de este tipo es reducir la cantidad de elementos que aparecen en el problema. Pensemos que sólo tenemos un único factor primo. ¿Qué cantidad de números con este único factor primo deberíamos tener para poder garantizar que hay dos cuyo producto es un cuadrado perfecto?

Para empezar, hay que fijarse en cómo podemos saber que un número es un cuadrado perfecto, viendo su descomposición en números primos. Si hablamos de números que sólo tienen un único factor primo, serían de la forma 1, p, p², p³, p⁴... Es fácil ver que la clave para que uno de estos números sea un cuadrado perfecto es que su exponente en p sea par (1, p², p⁴, etc. Como lo que buscamos es que el producto de dos de ellos sea necesariamente un cuadrado perfecto, bastará que dos de ellos tengan la misma paridad en el exponente, es decir, que haya tres. Dos de ellos tendrán la misma paridad, y al multiplicarse obtendremos una potencia de p de orden par, que será un cuadrado perfecto.

¿Podemos hacer algo parecido cuando tenemos dos factores primos? Pongamos que todos los números sólo tienen a 2 y a 3 de factores primos. Un número formado por un producto de potencias de 2 y de 3 será un cuadrado perfecto cuando ambos primos estén elevados a potencia par (por ejemplo, 2⁴3⁶ = (2²3³)²). Si unimos un número suficiente de números de este tipo (5, concretamente), garantizaremos que dos de ellos tengan la misma paridad en ambos exponentes, y al multiplicarlos obtendremos un número con el exponente par en el primo 2 y en el primo 3, que será, según hemos explicado, un cuadrado perfecto.

Vistas estas observaciones, pasemos al problema tal y como se nos plantea. Los 17 números que consideramos no tienen un factor primo mayor que 7, es decir, se pueden descomponer en un producto de potencias de los primos 2, 3, 5 y 7.

Observemos la potencia a la que está elevado en ellos el primo 2. Puesto que son 17, habrá al menos 9 en los que esa potencia será par, o 9 en la que sea impar (por el principio de Dirichlet o del palomar, ya que en caso contrario sólo tendríamos 16 números). Tomemos estos nueve números. El producto de cualquier par de ellos tendrá un exponente par en el primo 2.

Observemos ahora la potencia del primo 3 en estos nueve números. Repitiendo la deducción, habrá al menos 5 que tendrán la misma paridad (par o impar) en la potencia. El producto de cualquier par de estos cinco números tendrá una potencia par en el primo 2 y también en el primo 3.

Si repetimos el proceso para el primo 5, habrá al menos 3 números que tengan la misma paridad en las potencias de 2, 3 y 5. Y, de nuevo, con la paridad en el factor 7, podemos garantizar que dos de estos números tienen la misma paridad en las potencias de sus cuatro factores primos, 2, 3, 5 y 7.

El producto de estos dos números será un cuadrado perfecto, pues tendrá los exponentes de sus cuatro factores primos pares, es decir, será de la forma 2^2a3^2b5^2c7^2d = (2^a3^b5^c7^d)², que evidentemente es un cuadrado perfecto.