¡Menudo numerito!

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En primer lugar, hemos de comprobar qué dos números pueden ser tales que sus cuadrados sumen 53. Como la mitad de 53 es 26, el más grande debe ser mayor que 5. Debe ser 6 ó 7, pero no puede ser 8 o mayor, pues su cuadrado (64) es mayor que 53. Como 53 - 36 = 17, que no es cuadrado, no puede ser 6, y además 53 - 49 = 4, que es el cuadrado de 2. Así que la segunda y la última cifra deben ser 7 y 2.

De forma similar, llegamos a la conclusión de que 45 sólo puede ser suma de 9 y 36, por lo que los otros dos números son 6 y 3.

Así pues, tenemos cuatro posibilidades, 3267, 3762, 6237 y 6732. Para saber si hay uno o más de uno que cumple la última condición, habrá que comprobar si el número calculado a partir de restarle al número otro formado reordenando sus cifras es múltiplo de 99 y está entre 1000 y 2000. Aprovecho para dar un método sencillo para esto, ya que 99 = 9*11, ambos primos entre sí, de forma que podemos saber si un número es múltiplo de 99 mediante el criterio del 9 y del 11, es decir, sumando sus cifras para ver si es múltiplo de 9, y sumando cifras pares e impares por separado, y restando, para ver si lo es de 11.

En realidad, restar a un número otro obtenido por ordenación de cifras siempre da un múltiplo de 9 (¿podrías descubrir por qué?), de forma que el criterio clave será el del 11.

El primero, 3267, origina el -4356, que no está entre 1000 y 2000. De la misma forma, 6237 también es negativo, -1089. El número 3762 da 1089, que cumple las dos condiciones, ya que 1 + 0 + 8 + 9 = 18, y 1 + 8 = 9, y por otra parte, 1 + 8 - (0 + 9) = 0, que es múltiplo de 11. Sin embargo, 6732 origina el 4356, que tampoco está entre 1000 y 2000.

Por tanto el número buscado es, como han descubierto varios visitantes, el 3762.