Lotería primitiva

Enunciado

Supuestamente, cada extracción de bolas es totalmente equiprobable con respecto a otra, como dice Lluís, de forma que lo único que podemos hacer para calcular la probabilidad de un suceso es calcular de cuántas formas podemos extraer una combinación premiada.

El premio gordo, es decir, que los seis números coincidan, basta ver cuántas extracciones diferentes hay. Podemos escoger la primera bola de 49 formas, la segunda de 48, la tercera de 47, y así sucesivamente, de forma que podríamos tener 49*48*47*46*45*44 extracciones diferentes. Una vez extraidas, las 6 bolas distintas, las ordenaríamos, para compararlas con otra extracción, y, puesto que pueden haber salido en cualquier orden, la primera puede acabar en cualquiera de las 6 posiciones, la segunda en 5, y así sucesivamente, es decir, pueden ordenarse de 6*5*4*3*2*1 formas diferentes. En definitiva, hay 49*48*47*46*45*44/6*5*4*3*2*1 = 13983816 extracciones diferentes. Eso quiere decir que la probabilidad de acertar la combinación es de 1/13983816.

Si buscamos que nuestra combinación coincida con cinco números y el otro no, hay 6 formas en las que podemos coincidir cinco de nuestros números con los de la combinación ganadora, y el otro no debe coincidir, por lo que debe ser uno de los 43 restantes. Eso quiere decir que la probabilidad será de 6*(6*5*4*3*2*43/(49*48*47*46*45*44)) = 43/2330636.

Si además queremos acertar el complementario, nuestro número no acertado debe coincidir con el que se extrae de los 43 que no han sido escogidos, por lo que la probabilidad será la anterior dividida por 43, es decir, 1/2330636.

Para calcular la probabilidad de acertar 4 (y fallar dos), la cosa se complica, puesto que debemos escoger los 4 que acertamos entre 6, o, lo que es lo mismo qué dos no acertamos de los 6, lo que podemos hacer de 6*5/2 = 15 formas diferentes. Eso quiere decir que la probabilidad será 15*(6*5*4*3*43*42)/(49*48*47*46*45*44) = 645/665896 = 0.00096862.

El último cálculo difícil se hace para la probabilidad de acertar 3 (y fallar otros 3). Es necesario calcular cuántos tríos podemos elegir entre las 6 bolas seleccionadas para acertarlos, y siguiendo la mecánica anterior, serán 6*5*4/(3*2) = 20 formas diferentes, lo que da lugar a una probabilidad de 20*(6*5*4*43*42*41)/(49*48*47*46*45*44) = 8815/499422 = 0.01765.