Un punto en un triángulo equilátero
En un principio, el problema se debe plantear uniendo ese punto con los tres vértices del triángulo equilátero, que queda así dividido en seis triángulos rectángulos, distintos entre sí probablemente.
Si tratamos de resolverlo con un sistema de ecuaciones, probablemente obtendríamos una solución, aunque de manera lenta y costosa. Puede solucionarse el problema de una forma mucho más eficaz si observamos que su área se puede poner en función del lado de dos formas distintas, y calculamos el lado desde esas expresiones.
Por un lado, un triángulo equilátero de lado 1 se puede dividir en dos triángulos rectángulos, cuya hipotenusa mide el doble que uno de los catetos. Es evidente, por Pitágoras, que el otro cateto, que es la altura del triángulo equilátero, medirá √(1-1/4) = √3/2. Eso quiere decir que el área del triángulo equilátero de lado 1 es √3/4. Si el lado mide otra cantidad, x, el triángulo mantendrá una proporción de escala x, y su área mantendrá una escala de factor el cuadrado de x. Por tanto, se podrá calcular multiplicando el lado al cuadrado por √3/4.
En el caso en particular que nos ocupa, podemos unir los triángulos rectángulos que tienen un cateto común, formando tres triángulos cuyas bases son los lados del triángulo equilátero, sus alturas son 1, 2 y 3, y cubren todo el triángulo equilátero, es decir, que el área total se puede calcular sumando x*1/2 + x*2/2 + x*3/2 = x*6/2 = x*3.
Si esos dos valores producen el mismo resultado, es porque x*√3/4 vale lo mismo que 3, es decir, que x es 3 dividido entre √3/4. Puedes calcularlo de forma aproximada, o de forma exacta, y obtendrás que x vale 4√3, aproximadamente 6,9282.
Si lo intentas hacer con ecuaciones, es posible que te veas ante un sistema de 10 ecuaciones con 10 incógnitas, y varias de ellas de segundo grado. No parece una buena alternativa.
Sin embargo, entre los comentarios del enunciado, aparece una solución muy interesante que usa trigonometría, aunque los estudiantes de este nivel aún no la suelen dominar.
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