Tarjetas en pilas

Enunciado

Este problema, de apariencia sencilla y que no esconde conceptos complicados, es uno de los más difíciles de este nivel que he encontrado últimamente.

Podemos experimentar mentalmente lo que dice el enunciado, probando al principio con pocas tarjetas, para conseguir objetivos parciales, hasta dar con la solución al problema completo.

Es evidente que no se pueden poner todas las cartas en un mismo montón, porque se incumple rápidamente la segunda regla, ya que 2 es suma de las dos cartas de valor 1.

Es fácil también concluir que no bastan dos pilas de tarjetas, aunque el razonamiento empieza a complicarse. En uno de los montones estará el 1, y por la primera regla, deberá estar la otra tarjeta que tiene un 1. En ese montón no estarán las tarjetas que tienen un 2, que estarán en el otro. Si sólo hay dos montones, las que tienen 4 deben estar en el montón del 1, porque 2 + 2 = 4, y por eso en ese montón no puede haber una tarjeta con el 3, porque 1 + 3 = 4. Luego las tarjetas del 3 están en el montón del 2. Pues bien, es imposible ahora colocar las tarjetas del 5, ya que en uno de los montones 1 + 4 = 5 y en el otro 2 + 3 = 5.

Podemos experimentar ahora la forma de situarlas en 4 montones, ya que situarlas en 3 parece ser complicado y tal vez sea imposible. Esta tarea es sencilla y hay muchas formas de hacerlo. Una de ellas podría ser situar en uno de los montones 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, en otro 2, 6, 10, en otro 4, 12 y en el último el 8. Está claro que es posible. Además, practicando llegamos a habituarnos a la dinámica de clasificar las tarjetas, y nos preparamos para la última parte: ¿encontraremos una manera de distribuirlas en tres pilas, o será imposible?

Vamos a ser sistemáticos. Anota todos los números en un papel, rodéalos con un círculo cuando estén situados, y marca de alguna forma (con un puntito encima, por ejemplo) cuando se les impida estar en un montón.

Empezamos por las primeras tarjetas, estarán en un montón que para nosotros será el primero. Esto evita que en el mismo montón estén las tarjetas 2.

El montón en el que estén las tarjetas 2 le llamaremos segundo montón, y en él no pueden estar las tarjetas 4.

Estas tarjetas, las 4, puede estar en el primer montón o en el tercero. Podemos empezar suponiendo que están en el primero. Eso evita que podamos poner en él al 3 (4 - 1), al 5 (4 + 1) y al 8 (4 + 4). Si no obtenemos ningún resultado poniéndolas aquí, podemos cambiar más adelante.

Las tarjetas con el 3 podemos ahora ponerlas en el segundo y en el tercer montón. Supongamos que las sitúo en el segundo (también podemos cambiar más adelante, si fuese preciso). Eso hace que sea imposible situar en él al 5 (2 + 3) y al 6 (3 + 3).

Está claro que el 5, en este caso, debe ir en el tercer montón, donde no podemos poner ahora al 10 (5 + 5).

El 6, por su parte, podría ir en el primer o en el tercer montón. Supongamos que la sitúo en el primer montón, impidiendo que pongamos en el primer montón el 7 (6 + 1), el 10 (6 + 4) y el 12 (6 + 6).

El 10 sólo puede ir en el segundo montón, de donde impedimos poner en él el 7 (10 - 3), el 8 (10 - 2), el 12 (10 + 2) y el 13 (10 + 3).

El 7 entonces está obligado al tercer montón, impidiendo situar en él el 12 (5 + 7). Si has marcado de alguna forma los números que tienen prohibido situarse en algún montón, te habrás dado cuenta de que el 12 no puede ahora ponerse en ningún montón. Luego habrá que cambiar alguna de nuestras decisiones anteriores, para ver si existe alguna manera de resolver el problema o descubrimos que es imposible.

Cambiemos la última decisión, situando ahora el 6 en el tercer montón. Te recuerdo lo que teníamos en ese momento. En el primer montón, estaba el 1 y el 4, y no podíamos situar el 8. En el segundo montón, teníamos el 2 y el 3. En el tercer montón, en este caso, tenemos el 5 y el 6, pero no podemos situar el 10, el 11 o el 12.

Ahora seguiremos situando el 10, del que sabemos que no puede ir al tercer montón. Lo situamos en el primero, pudiendo también cambiarlo más adelante. Esto impide situar en el primero al 9 (10 - 1), y al 11 (10 + 1).

El 11, por lo tanto, se puede colocar sólo en el segundo montón, cerrando el paso al 8 (11 - 3), al 9 (11 - 2) y al 13 (11 + 2).

De nuevo nos obliga a situar al 9 en el tercer montón, lo que no añade más situaciones imposibles, afortunadamente.

También está obligado el 8 a ir al tercer montón, impidiendo situar en él al 13 (8 + 5).

Entonces el 13 está obligado a ir al primer montón, causando que el 12 no pueda situarse en él.

Y de esta forma, el 12 debe ir al segundo montón. Sólo nos queda un par de tarjetas, con el 7, y pueden ir en cualquiera de los tres montones.

Tenemos entonces esta distribución en tres montones: 1, 4, 10, 13 el primero, 2, 3, 11, 12 y 7 el segundo y 5, 6, 9 y 8 en el tercero. Por lo tanto tres es el menor número de montones necesario para distribuir los 13 pares de tarjetas.

No sé si estas tres formas de distribuir las tarjetas serán las únicas ¿alguien se atreve a buscar otra distinta?