Desigualdad diofántica

Enunciado

En este caso es fundamental el hecho de que todos los números que aparecen son enteros, ya que no se cumple con números reales, por ejemplo.

Tenemos que ab = n² + 1, y a > b. Pongamos un ejemplo, si n = 7, podemos hacer que a = 10 y b = 5, así 10*5 = 7² + 1. Bien, pues en ese caso, a - b = 5, que es igual que √(4*7 - 3) = √25 = 5 en ese caso. Pero a veces, es incluso menor, como por ejemplo, si n = 8, y a y b pueden ser 13 y 5. En ese caso, a - b vale 8, mientras que √(4n - 3) vale √29, y este número es claramente inferior.

Puede parecer un resultado intrascendente, pero es una característica muy interesante de los números de la forma n² + 1, entre los que se sospecha que existen numerosos números primos, pero no se sabe con certeza (cuarto problema de Landau). Además, lo que probamos es que si existe una factorización en dos factores, la diferencia entre el mayor y el segundo es mayor que un cierto valor que depende de n y que, por lo tanto, va creciendo.

En este problema se trata de jugar con las expresiones a - b y √(4n - 3), para tratar de compararlas. Puesto que ambas son expresiones positivas, podemos elevarlas al cuadrado y mantendrán sus tamaños relativos, quedando a² + b² - 2ab y 4n - 3 respectivamente.

Usando ahora que ab es igual a n² + 1, podemos sumar a ambas expresiones esta igualdad dos veces y tenemos las dos expresiones transformadas en a² + b² y 2n² + 4n - 1. Tal y como quedan no sirven para nada, pero si repetimos el proceso, obtenemos que las expresiones se transforman en a² + b² + 2ab y 4n² + 4n - n, que son ambos cuadrados perfectos, es decir, (a + b)² y (2n + 1)².

Bastaría entonces si pudiésemos comparar a + b a 2n + 1 y resultase ser mayor.

De la desigualdad entre las medias aritméticas y geométricas, sabemos que (a + b)/2 ≥ √(ab), por lo que a + b será mayor o igual que 2√(n^2 + 1), y, puesto que el segundo número es algo mayor que 2n, la desigualdad es estricta. De esta forma, sabemos que a + b es mayor que 2n, y, puesto que entre los enteros hay al menos una unidad, sabemos que a + b ≥ 2n + 1.

Para llegar de nuevo a la desigualdad inicial, basta seguir el proceso al revés. Como a + b ≥ 2n + 1, y ambos son positivos, elevando al cuadrado, tenemos que (a + b)² ≥ (2n + 1)², y desarrollando, eso indica que a² + b² + 2ab ≥ 4n² + 4n - n. Restando a ambas expresiones, respectivamente, la igualdad ab = n² + 1 cuatro veces, tenemos que a² + b² - 2ab ≥ 4n - 3, que es equivalente a (a - b)² ≥ 4n - 3. Tomando de ambas expresiones su raíz cuadrada positiva, tenemos la desigualdad que pretendemos probar, que a - b ≥ √(4n - 3).

¿cuándo se da la igualdad? Es necesario que 4n - 3 sea un cuadrado perfecto, es decir, que 4n = u² + 3 (observa que basta que u sea impar para que se pueda conseguir un n válido), y además, ab = n² + 1 y a + b = 2n + 1. Tratando estas tres igualdades como un sistema de ecuaciones en las que u juega el papel de parámetro, tenemos que (con un poco más de trabajo, claro) que a = (u² + 2u + 5)/4 y que b = (u² - 2u + 5)/4. Por ejemplo, si tomamos u = 5, n = 7, a = 10, b = 5, que es el caso que ya conocíamos, y si u = 7, n = 13, a = 17, b = 10.

Segmentos sin cortar

Enunciado

Este problema es muy interesante.

Usa de forma bastante repetitiva una fórmula que nos dice cuántos segmentos se pueden trazar entre N puntos. Son, exactamente N*(N-1)/2, ya que cada uno de ellos lo podemos unir con todos los restantes, y así contaremos cada segmento dos veces, ya que tiene dos extremos cada segmento.

En realidad, si corta segmentos de los que se forman entre todos los puntos que hemos seleccionado, eso significa que esos 60 segmentos tienen un extremo a cada lado de la recta, y es suficiente decidir cuántos puntos hay en cada uno de los dos lados para contar cuántos segmentos no son cortados por la recta.

El caso más sencillo es que sólo haya un punto a un lado de la recta, por lo que habrá 60 exactamente al otro, pues la recta corta exactamente a 60 segmentos. Por lo tanto, no habrá más segmentos en el lado "solitario", pero habrá 60*59/2 = 1770 segmentos en el otro lado, así que habrá estos 1770 segmentos que no cortará la recta.

Otro caso diferente es que haya 2 puntos en el lado menos poblado, y entonces habrá 30 en el otro, evidentemente, ya que son 60 los segmentos que pasan entre ellos por la recta. Eso hará que haya un segmento en el lado de los 2 puntos, y 30*29/2 = 435 en el otro lado. En total, 436 segmentos que no cortan la recta.

En el tercer caso, habrá 3 y 20 puntos, y el número de segmentos que no cortan será 3 + 20*19/2 = 193.

En el cuarto, habrá 4 y 15 puntos, lo que lleva a 4*3/2 + 15*14/2 = 6 + 105 = 111 segmentos.

En el quinto caso, habrá 5 y 12 puntos respectivamente, lo que nos lleva a 5*4/2 + 12*11/2 = 10 + 66 = 76 segmentos que no cortan.

En el sexto caso, habrá 6 y 10 puntos respectivamente, de forma que hay 6*5/2 + 10*9/2 = 15 + 45 = 60 segmentos que no se cortan (casualmente, los mismos que sí que cortan).

Y ya no hay más casos, porque 7, 8 y 9 son números que no dividen a 60, por lo que no puede ser que esté esa cantidad de puntos a un lado, pues no conseguiremos 60 segmentos que pasen sobre la recta.

Por tanto, las respuestas posibles serían, como dice nuestro anónimo visitante, 60, 76, 111, 193, 436 y 1770.

Rellenando el tablero

Enunciado

Si has manipulado algo con figuras redondas, sabrás que la forma más compacta de poner fichas consiste en crear filas de fichas apoyadas cada fila en dos fichas de la fila anterior, de forma que en las filas impares tendremos ocho fichas y en las pares una menos. El objetivo es tratar de poner alguna fila más dentro del tablero.

Si nos fijamos en tres fichas puestas de esta forma, descubrimos que se forma entre sus centros un triángulo equilátero que nos va a ayudar, con ayuda del Teorema de Pitágoras, a descubrir la distancia entre las filas.

En efecto, el triángulo equilátero tiene los lados de 3 centímetros, y si lo dividimos en dos partes iguales, se formará un triángulo rectángulo que tendrá una hipotenusa de 3 y un cateto de 1,5 centímetros. Aplicando Pitágoras, la altura, que es lo que nos interesa, al cuadrado, medirá 9 - 2.25 = 6.75, de forma que (con la calculadora) debe medir aproximadamente 2.598076211.

Así, las dos filas ocuparán un total de 3 + 2.598076211 = 5.598076211 (menos que 6), y dejarán algo de sitio libre en la segunda fila de casillas.

Si probamos ahora a unir más filas, encontramos que, por ejemplo, si ponemos tres filas, la altura máxima que usaremos será la suma de dos radios de las fichas más dos alturas del triángulo calculado previamente (3 + 2.598076211*2 = 8.196152423), dejando algo más de espacio en la tercera fila del tablero.

Sucesivamente, la cuarta fila añadirá otra altura del triángulo, midiendo 10.794228634. ¿cuántas filas caben en nuestro tablero? Pues bastará restar a sus 24 centímetros 3 y dividir el resultado entre las alturas de cada fila, 2.598076211. Eso hace un total de 8.082903769, es decir, que podemos poner en realidad 9 filas (y apenas sobrará sitio), es decir, que podemos poner 5 filas de 8 fichas y 4 de 7, lo que hace un total de 68 fichas.

Observa que hemos puesto 4 fichas más que si hubiésemos optado por poner una en cada casilla. Sin embargo, el espacio sobrante, si se pudiese aprovechar mediante un cuidadoso troceo de las fichas daría para poner 81 fichas y casi media, ya que si dividimos el área del tablero por las de las fichas obtenemos esta cantidad. Más de 13 fichas más. Pero no hay ninguna distribución que nos permita colocarlas sin romperlas.

La ropa

Enunciado

Este problema es sencillo si ya has trabajado con álgebra, pero no lo es tanto si deben inventarse ellos la solución.

Hay dos enfoques. Si vamos añadiendo productos, podemos acumular varias veces lo que tenemos y tratar de pagar con las condiciones que nos ponen. Como queremos pagar un pantalón, un suéter y un abrigo, podemos pagar el suéter y el abrigo, 91€, y para pagar el abrigo, añadir otro conjunto igual, un pantalón, un suéter y un abrigo, de forma que nos queda por pagar dos pantalones, un suéter y un abrigo. Ahora, lo agrupamos como un pantalón más un abrigo y un suéter más otro pantalón. En total, costaría 91€ + 112€ + 55€ = 258€. Como hemos acumulado el doble de lo que queríamos, tenemos que las tres cosas cuestan la mitad de 158, es decir, 129€.

Como nos piden el precio por separado, basta restar los pares que sabemos lo que valen, es decir, el abrigo vale 129€ - 55€ = 74€, el pantalón vale 129€ - 91€ = 38€, y el suéter vale 129€ - 112€ = 17€.

El enfoque que hemos visto es similar a tratar de resolver un sistema por reducción.

El otro enfoque que se me ocurre, es tratar por tanteo el problema, es decir, comprobar que si suponemos que el pantalón vale un euro, por ejemplo, el suéter cuesta 54 (para que sumen 55) y el abrigo 111 (para que sumen 112), por lo que entre ambos deberían valer 165, no 91. Sin embargo, si subimos el precio del pantalón a 2 euros, entonces el suéter costaría 53 y el abrigo 110, en total 163. Estamos más cerca de 91, por lo que hay que subir el precio del pantalón mucho más, hasta que cuando vale 38€, obtenemos que el suéter vale 17€, y el abrigo 74€, como hemos visto en el método anterior.

Este enfoque sería similar al método de sustitución en los sistemas, y sería más sencillo de entender para la mayoría de alumnos.

Multiplicación grande, resultado pequeño

Enunciado

Este es un problema bastante complicado, porque implica cálculos con polinomios bastante grandes, y no he encontrado una manera de resolverlo que no implique "probar" funciones sencillas. Este método, que yo sepa, no se puede generalizar, aunque a mí me ha servido al menos en dos problemas muy diferentes.

Es difícil encontrar una pauta en el crecimiento de esta multiplicación conforme le vamos añadiendo términos. Veamos los ejemplos que podemos calcular sin mucha dificultad.

El primer elemento que encontramos es 2 (1 + 1/1), evidentemente menor que 3.

El segundo factor es 1 + 1/8 = 9/8, que es poco mayor que 1, así que el producto da 9/4, también menor que 12/4 = 3.

El tercer factor es 1 + 1/27 = 28/27, que nos proporciona 7/3, claramente menor que 9/3.

Hasta aquí, tenemos cierta esperanza de que los términos se simplifiquen hasta dar un patrón claro, pero el cuarto factor, 65/64, nos da un total de 455/192, que, aunque es menor que 576/192 = 3, no es una fracción precisamente sencilla.

No parece mejorar con el siguiente factor, 126/125 que nos da un total de 1911/800. No parece que sugiera un patrón claro.

Una alternativa para estos casos consiste en acotar la sucesión de productos, es decir, probar con una sucesión sencilla (casi tanteando), que sea algo mayor que todos los términos y nos permita generalizar. Así, probaremos que, aunque tomemos tantos términos como queramos, siempre estaremos por debajo del valor que se pide, 3, en particular, si tomamos 2013 términos como pide el enunciado.

No nos vale con una cota constante, ya que cada vez habrá que multiplicarla por un número algo mayor que 1, y crecerá, lógicamente. Necesitamos algo que se acerque a 3 lentamente, para comprobar que el nuevo resultado de añadir un factor nuevo al producto es algo menor que el elemento correspondiente, aunque sea algo mayor que el anterior.

Una sucesión que hace algo similar sería la sucesión 3 - 1/n, y podemos comprobar que sirve a nuestro propósito. Tal vez no sea la única que sirva pero sí es muy sencilla y no es excesivamente difícil operar con ella.

Nuestro objetivo, ahora, es comprobar que desde el primer término, todos los productos de m términos de esa sucesión son más pequeños que 3 - 1/m, y así cualquier producto de cualquier cantidad de términos estará por debajo de 3.

Para hacerlo, comprobaremos que los primeros términos cumplen esa propiedad. De esta forma, 2 no sobrepasa a (es menor o igual que) 3 - 1/1 = 2.

También podemos ver que 2*(9/8) = 9/4 es menor que 3 - 1/3 = 8/3, como puedes comprobar (en realidad, bastaría con que a partir de cierto término sea menor o igual).

El caso es que ahora veamos que, si para cierta cantidad m es cierto que el producto de los m primeros elementos es menor que 3 - 1/m, entonces podemos comprobar que al añadir un factor más, aún estamos por debajo de 3 - 1/(m + 1). Si conseguimos comprobar esta propiedad, todos los productos estarán acotados, y el enunciado estará probado.

Así pues, supongamos que el producto de los m primeros factores es menor que 3 - 1/m.

Añadir un factor nuevo significa multiplicar todo lo anterior por el elemento (1 + 1/(m + 1)³), y como todo lo anterior es menor que 3 - 1/m, el producto ese será seguro menor que (3 - 1/m)*(1 + 1/(m + 1)³).

Ahora, debemos comprobar si el resultado es menor o no que 3 - 1/(m + 1), y, si es así, el razonamiento estará acabado.

Vamos a intentar expresar el producto (3 - 1/m)*(1 + 1/(m + 1)³) de una forma más sencilla. Pasamos por la expresión (3m + 1)*((m + 1)³+ 1)/(m*(m + 1)³) Reduciendo a un polinomio el numerador, pero no el denominador, obtenemos una expresión bastante larga, pero que es la que necesitamos: (3m⁴ + 8m³ + 6m² + 3m - 2)/(m*(m + 1)³). Observa que necesitamos mucha precisión para hacer estos cálculos, y necesitamos que el denominador siga factorizado para compararlo con 3 - 1/(m + 1), porque tendremos que restarlo.

Como suponemos que será inferior a esta cantidad, restaremos a 3 - 1/(m + 1) la fracción obtenida. Para eso, le ponemos el mismo denominador, transformándolo en (3*m*(m + 1)³ - m*(m + 1)²)/(m*(m + 1)³) y después en (3m⁴ + 8m³ + 7m² + 2m)/(m*(m + 1)³).

La diferencia entre estas dos cantidades es (m² - m + 2)(m*(m + 1)³). Sólo nos queda darnos cuenta de que es positiva para cualquier valor de m, o al menos a partir de cierto valor de m (en ese caso, los valores inferiores a esa cantidad habría que comprobarlos uno a uno).

Sin embargo, tenemos suerte, porque m² - m + 2 = m² - 2*m*(1/2) + 2 = m² - 2*m*(1/2) + 1/4 + 7/4 = (m - 1/2)² + 7/4, que es claramente positivo. Y el denominador también lo es para todo m positivo, por lo que tenemos finalizada la demostración (una alternativa sería ver que es una ecuación de segundo grado sin soluciones o que su solución es un número bajo que podemos comprobar a mano).

Usando la regla y el trisector

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La primera tentación que uno tiene al intentar este problema es triscar el segmento dado, y volver a trisecar alguno de los intervalos, esperando que alguno de los puntos así obtenidos sea el central. Al menos a mí me pasó. Tras unas pruebas, razoné que cada uno de los segmentos obtenidos tendría una longitud que sería una fracción del primero con un denominador potencia de tres, y ninguna suma de fracciones con esos denominadores pueden ser la fracción 1/2, así que parecía que estaba perdiendo el tiempo.

Mi siguiente idea fue fijarme en el material puesto a nuestra disposición: una regla y un trisector. ¿Para qué puedes usar una regla sin marcas? Pues para hacer rectas, claro. Necesito un segmento dividido por la mitad, y trazar rectas para llevar esas proporciones al segmento dado.

Sin embargo, es necesario que ese segmento dividido por la mitad esté en una paralela al segmento dado, ya que si no lo está, el trazar esas rectas no garantiza que el resultado esté exactamente en la mitad.

Eso llevó a otro problema ¿cómo trazar una paralela con el material que tenemos?

Se me ocurrió levantar un triángulo sobre el segmento dado, eligiendo como vértice un punto cualquiera que no estuviese alineado con el segmento, y dividir los otros dos lados (no el segmento) con el trisector. Uniendo ordenadamente esos puntos con segmentos trazados con la recta, consigues segmentos paralelos al de abajo (puedes razonar el paralelismo por semejanza).

Como sólo necesitamos un segmento paralelo, usamos el mayor de los dos. Ahora le volvemos a aplicar el trisector. Evidentemente, queda dividido en tres, no en dos, pero usamos tres puntos consecutivos de los cuatro puntos del segmento como si fuese un segmento divido en dos partes iguales, y con la recta trazamos las líneas necesarias para llevar esa división al segmento inicial.

Es mucho más fácil hacerlo que explicarlo, trataré de que lo veáis en un dibujo.

Ahora, vayamos con la demostración formal. En primer lugar, hemos de probar que, independientemente de la elección de C, el segmento KH es paralelo a AB. Para ello, usamos que los triángulos ABC y AKH son semejantes, por tener un ángulo igual y los dos segmentos que lo forman proporcionales. Después, obtenemos el punto R a partir de B y de Q (ver en el dibujo), y con ayuda de R y de P, obtenemos S. Está claro que P es el centro del segmento HQ, y por semejanza, RPQ es semejante a RSB, igual que RHP es semejante a RAS. Ahora, por la proporcionalidad, PQ es proporcional a SB en la misma proporción que HP a AS, y puesto que PQ y HP son iguales, también lo serán AS y SB, con lo que S es efectivamente el punto medio.

El juego de los múltiplos

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Uno de los comentarios da una solución muy breve, aunque no se explica el razonamiento que nos puede llevar a ella.

La clave está en entender bien cómo funcionan los números en cuanto a ser o no múltiplos de tres.

Si tenemos un número de tres cifras, y queremos que se trate de un múltiplo de tres, sus cifras deben sumar tres o múltiplo de tres. Ahora, observaremos diferentes opciones:

Si las tres cifras son múltiplo de 3, automáticamente el número es múltiplo de 3.

Es imposible que dos de las cifras sean múltiplo de 3, ya que la otra aportaría un sumando una unidad o dos mayor que un múltiplo de tres.

Si hay una cifra múltiplo de 3, otra de las cifras será una unidad mayor que un múltiplo de tres, y la restante será dos unidades mayor que un múltiplo de 3, ya que en otro caso no pueden sumar entre ambas un múltiplo de 3.

Si no hay ninguna cifra múltiplo de 3, las tres cifras deben ser del mismo tipo, es decir, exceder en uno un múltiplo de tres, o bien exceder en dos, ya que en otro caso podemos comprobar fácilmente que no llegan a sumar un múltiplo de 3.

Clasificando así las cifras, es muy sencillo construir múltiplos de tres, como 147, o 243.

En este problema, sólo disponemos de las cifras del 1 al 6, y no podemos repetir. Eso significa que sólo tenemos dos múltiplos de 3 (3 y 6), dos que exceden en 1 (1 y 4) y dos que exceden en 2 (2 y 5), luego sólo podemos construir números que tengan una cifra de cada tipo.

Ahora, está clara la estrategia que debe seguir Luis, ya que siempre puede ganar. Basta escoger una cifra de uno de los tipos, y si Elena elige otro tipo, dejando un único representante de ese tipo, elegir el que se ha quedado sólo, hasta completar el trío de representantes de cada tipo.

Por ejemplo, Luis elige el 4 y Elena el 5. Como el 2 se ha quedado "huérfano", Luis elige el 2, ahora, si Elena elige el 3, Luis puede seleccionar el 6 y completar el 426, que es múltiplo de 3 (evidentemente, Elena se queda con el 531, que también lo es). Y gana Luis.

Si es Elena la que empieza, Luis sigue teniendo ventaja, ya que puede elegir de nuevo el número que se queda único en su tipo hasta completar los tres tipos.

La última pregunta es bastante más difícil de contestar, ya que hay que contar de alguna forma cuántos números podemos construir, y cuántos de ellos serían múltiplos de 3. Vamos a imaginar que sólo elige uno de los jugadores, y que el otro se conforma con lo que queda, ya que para contar las opciones y saber si sale o no múltiplo de 3 nos da igual lo que haga el otro jugador.

Para elegir la primera cifra tiene 6 opciones, para la segunda, 5, independientemente de la cifra que eligiese en primer lugar, y para la tercera, cuatro opciones. Esto, contando todas las posibles ramificaciones del número, haría un total de 6*5*4 = 120 números posibles.

De todos ellos, vamos a contar los que sean múltiplos de 3. El primer número, hemos visto que puede ser cualquiera (6 opciones), pero el segundo sólo puede ser uno de los cuatro que no son del mismo tipo que el primero, y el tercero únicamente puede ser del tipo restante, formado por sólo dos números, es decir, que tendríamos 6*4*2 = 48 posibilidades.

En definitiva, jugando al azar, Luis tendría una probabilidad de ganar de 48/120, equivalente a 2/5, un 40% en porcentaje.

Los triángulos

Enunciado

Al añadir una paralela al segmento AB, corta a las tres líneas que pasan por C, así que provoca tres nuevos triángulos, cada uno de ellos con dos de los nuevos puntos.

Debes observar que los tres triángulos tienen un vértice común, C, ya que esos puntos sólo se pueden unir entre ellos a través de la paralela que acabas de trazar. En la imagen animada puedes ver cómo son tres de esos triángulos que se producen.

Al final, como dice Pablo Sussi en su comentario, las 100 paralelas producirán 300 triángulos, que añadidos a los 3 iniciales, harán un total de 303 triángulos.