Polinomio de grado 2010

Enunciado

Si agrupamos el polinomio por pares de términos, empezando por el primero, lo convertiremos en una serie de sumas de la forma (2010n - 2009)n²⁰⁰⁹ + ... + (4n - 3)n³ + (2n - 1)n. Cada sumando es positivo para cada uno de los números indicados, por lo que la suma es positiva.

Para calcular la cifra de las unidades, nos fijaremos sólo en la última cifra, lo que equivaldría a operar sólo con números entre el 0 y el 9. En lugar de calcular el valor de cada polinomio (aunque el de 1 es sencillo de obtener), podemos sumar por cada lado las potencias, ya que es fácil observar que hay una gran periodicidad en la última cifra de las potencias. Es decir, primero calculamos la última cifra de 2010*(1²⁰¹⁰ + 2²⁰¹⁰ + 3²⁰¹⁰ + ... + 9²⁰¹⁰), después la del siguiente término y así sucesivamente.

Evidentemente, operando sólo con la última cifra, ya que podemos hacer fácilmente una tabla con las últimas cifras de las potencias de todos los números con relativa facilidad (por ejemplo, 2² es 4, 2³ es 8, 2⁴ acaba en 6 y 2⁵ acaba en 2, a partir de ahí vuelve a repetirse.

Después de mucho cálculo superfluo, acaba siendo la última cifra de esa suma igual a 1.