domingo, 28 de marzo de 2010

La plaza del Número Pi

Enunciado

Este problema era realmente sencillo, con el objetivo de que mucha gente se apuntase al concurso (me temo que no tuvo éxito).

La idea es que, si cada número tiene con respecto a sus vecinos, o bien 3 o bien 14 de diferencia, cada portal sólo puede tener cuatro vecinos a lo sumo, pero como son sólo 17 (14 + 3), no puede tener a los dos lados diferencias de 3 y de 14 a la vez (es decir, no puede haber, por ejemplo, uno 3 unidades menor y otro 14 mayor, porque entre uno y otro habría 17, y la máxima diferencia posible es 16).

Precisamente por eso, se da la circunstancia de que todos pueden tener exactamente dos vecinos, de forma que sólo hay dos formas de situar los portales, según empecemos a ponerlos de una u otra forma.

O sea, que si empezamos por el 1, puede que el 4 esté a la derecha o a la izquierda, pero según esté a uno u otro lado, detrás estará el 7, el 10, el 13, el 16, el 2, el 5, el 8, el 11, el 14, el 17, el 3, el 6, el 9, el 12, el 15 y luego nuevamente el 1, pues habremos recorrido los 17 números de la plaza.

jueves, 25 de marzo de 2010

Jardinero

Enunciado

Hay una forma muy sencilla de abordar el problema, que no requiere ecuaciones ni nada parecido.

Imagina que sabes cuántas plantas plantó el lunes. Si hubiese plantado el doble de las que plantó, también habría plantado el doble el martes, y los demás días de las que plantó, con lo que al final hubiese plantado el doble ¿no? Eso quiere decir que la cantidad de plantitas que plantó el lunes y la cantidad de plantitas que planta durante toda la semana son proporcionales.

Sabiendo esto, ¿qué hubiese pasado si hubiese plantado un única plantita el lunes? Que el martes hubiese plantado dos, el miércoles cuatro, el jueves ocho, y el viernes dieciséis. En total, 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31.

Es decir, por cada planta que plantase el lunes, en toda la semana habría plantado 31. Como al final plantó 372, haciendo grupos de 31, obtenemos 372/31 = 12, es decir, plantó 12 plantas el lunes, 24 el martes, 48 el miércoles, 96 el jueves y nada menos que 192 el viernes, teniendo al final un total de 192 + 96 + 48 + 24 + 12 = 372, como nos pide el problema.

domingo, 21 de marzo de 2010

Un Sangaku

Enunciado

Circunferencia grande

Circunferencia grande

Vamos a dividir el rombo en cuatro triángulos rectángulos iguales, y considerar sólo la circunferencia grande. Si trazamos el radio al punto de tangencia, observaremos que es perpendicular a la hipotenusa del triángulo, y que por lo tanto lo divide en dos triángulos rectángulos que, por tener un ángulo en común cada uno de ellos con el primero, son semejantes a él y entre sí.

De esta manera, si la hipotenusa mide 42 centímetros, el cateto menor mide 21 (por simetría, es la mitad del lado), y el cateto mayor mide (por Pitágoras) 21√3. Y utilizando cualquiera de los dos triángulos menores, sabemos que mide 21*21√(3)/42 = 21√(3)/2, y esa medida es la medida del radio (aproximadamente 18,1865).

Circunferencia mediana

Circunferencia mediana

Para hallar la medida de la circunferencia mediana, debemos tener en cuenta que el radio de la circunferencia grande divide en dos al cateto grande, de forma que si trazamos la tangente común a las dos circunferencias, nos queda un triángulo cuyas medidas son exactamente la mitad que el del original, y en el que la circunferencia que nos importa es tangente a la hipotenusa y su centro está sobre el cateto grande.

Este triángulo tiene dividido su cateto más largo, que según sabemos mide 21√(3)/2, en tres partes. Dos de ellas son iguales por ser radios de una circunferencia, y la otra sabemos que, por semejanza a la figura anterior, también es igual a uno de los radios. Por tanto, el radio de la circunferencia es 21√(3)/6, aproximadamente 6,0622.

Circunferencia pequeña

Circunferencia pequeña

La tercera circunferencia es algo más complicada. De nuevo trazamos una línea tangente a la circunferencia mayor que nos deja un triángulo semejante, pero esta vez el cateto corto mide 21 - 21√(3)/2 = 21*(2 - √(3))/2. Por abreviar, llamemos a esta cantidad C.

La circunferencia de nuevo divide a este lado en tres partes, que ahora claramente no son iguales. Dos de ellas son los radios, pero la otra forma parte de un triángulo rectángulo semejante al mayor. Si llamamos R a ese radio, las medidas de ese triángulo, por semejanza, son dos catetos que miden R y R*√(3)/3 y una hipotenusa que mide 2*R*√(3)/3. Esta hipotenusa, junto con el radio original, forman el cateto de longitud C, es decir, R + 2*R*√(3)/3 = C, luego R*(1 + 2*√(3)/3) = C, de ahí que R = C/(1 + 2*√(3)/3), y racionalizando queda R = C*(2*√(3)-3)/3 = (7*√(3) - 12)/6, si no me equivocado. Aproximadamente vale 0,0207.

jueves, 11 de marzo de 2010

Sumando 2010

Enunciado

Ya sé que este ejercicio es muy similar al de "Sumando 2009", pero era un ejercicio que me pareció muy bonito y que, aunque estaba planteado para bachillerato, se podía extender para el segundo ciclo de secundaria con una introducción adecuada.

La introducción que cuenta la anécdota que protagoniza un joven Gauss tiene como objetivo que se den cuenta de que el resultado no es necesario sumarlo, si no que es el resultado de multiplicar dos números y dividirlos entre dos. En la solución del otro problema que hemos dicho antes hay una explicación más detallada, aunque pensada para bachillerato.

Una vez llegados a este punto, basta multiplicar por 2 el objetivo (2010*2 = 4020) y factorizarlo, buscando todos los posibles productos de dos factores que den ese resultado. Si ambos son pares, no sirven, pues no pueden ser a la vez pares la cantidad de sumandos y la suma de primero y último. Por eso todos los factores 2 están sólo en uno de los dos factores.

Nos quedan por tanto los productos 1*4020 (que no vale, por ser un único sumando), 3*1340, 4*1005, 5*804, 12*335, 15*268, 20*201 y 60*67.

Por lo tanto, las posibles sumas que dan 2010 son: los tres términos alrededor del 670 (669 + 670 + 671), los 4 alrededor del 502 y 503, los cinco alrededor del 402, los 12 alrededor del 167 y 168, los 15 alrededor del 134, los 20 que quedan alrededor del 100 y el 101 y los 60 números que se pueden poner alrededor del 33 y el 34.

En total, 6 resultados distintos.

domingo, 7 de marzo de 2010

Triangulos en una trama

Enunciado

Para no confundirnos en este ejercicio, debemos fijar un par de puntos e ir combinándolos con otro, cuidando que no repitamos dibujos, intentando situar el dibujo sobre uno de los anteriores.

Enseguida observaremos que hay cuatro triángulos distintos que utilizan el segmento que forman los dos primeros puntos de arriba, otros tres que usan el segmento más largo entre dos puntos de un lado del cuadrado, y sólo un triángulo que no usa ninguno de esos dos segmentos.

Triángulos en la trama

Triángulos en la trama

He dibujado los ocho triángulos en la imagen que acompaña este texto, ahora vamos a ponerles nombres y calcular sus áreas.

Al primero le podemos llamar escuadra pequeña, su área está clara, aplicando la fórmula tradicional, 0.5 unidades cuadradas.

Al segundo le podemos llamar obtusángulo pequeño. Su área, si consideramos que su base es el segmento corto, coincide con la anterior, pues su altura también es 1, así que tiene 0,5 unidades cuadradas.

El tercero es un triángulo rectángulo. Su área será 1 unidad cuadrada.

El cuarto es un obtusángulo grande. De nuevo podemos calcular su área sobre la base pequeña, coincidiendo con el anterior, 1 unidad cuadrada.

El quinto le podemos llamar escuadra mediana, midiendo su área como suma de dos escuadras pequeñas, es de 1 unidad cuadrada.

El sexto sería la escuadra grande, y en este caso su área se puede hacer por semejanza con la escuadra pequeña, por descomposición en cuatro triángulos, o con la base y la altura, 2 unidades cuadradas.

El séptimo es un isósceles acutángulo grande, y de nuevo es fácil calcular el área como base por altura, obteniendo 2 unidades cuadradas.

El octavo y último es el único que no tiene una base cómoda de situar, es un isósceles agudo pequeño, y su área se puede tratar de calcular restando al cuadrado completo dos triángulos rectángulos y una escuadra pequeña, es decir, 4 - 2 - 0.5 = 1.5 unidades cuadradas.

jueves, 4 de marzo de 2010

Comprando caramelos

Enunciado

Las soluciones a este problema son muchas, de lo que se trata es de trabajar con un orden. Como hemos de gastar 30€, y hemos de comprar al menos uno de las tres clases, empecemos por comprar uno de cada y ver cuánto nos queda. 2 + 3 + 4 = 9, de forma que si compramos uno de cada clase, tenemos aún 30 - 9 = 21€ que gastar. Aprovechando que 21 es múltiplo de 3, que es el precio del precio de los de miel, las posibilidades las voy a clasificar según los que nos compremos de este tipo.

Si compramos 7 más de miel, agotamos el dinero. Serían entonces uno de fruta, otro de chocolate y ocho de miel.

No podemos comprar una cantidad par más de miel, porque nos quedaría una cantidad impar de euros y los demás valen todos cantidades pares.

Si compramos 5 más de miel, nos quedan seis euros, de forma tenemos dos opciones: uno de chocolate y uno más de fruta, o tres más de fruta. Resumiendo, Dos de fruta, dos de chocolate y seis de miel, o cuatro de fruta, uno de chocolate y seis de miel.

Si compramos 3 más de miel, nos quedan doce euros, de forma tenemos cuatro opciones: tres más de chocolate, o dos más de chocolate y dos más de fruta, o uno de chocolate y cuatro más de fruta, o seis más de fruta. Resumiendo, Siete de fruta, uno de chocolate y cuatro de miel, o cinco de fruta, dos de chocolate y cuatro de miel, o tres de fruta, tres de chocolate y cuatro de miel, o uno de fruta, cuatro de chocolate y cuatro de miel.

Si compramos 1 más de miel, nos quedan dieciocho euros, de forma tenemos cinco opciones: cuatro más de chocolate y uno más de fruta, o tres más de chocolate y tres más de fruta, o dos más de chocolate y cinco más de fruta, o uno más de chocolate y siete más de fruta, o nueve más de fruta. Resumiendo, Dos de fruta, cinco de chocolate y dos de miel, o cuatro de fruta, cuatro de chocolate y dos de miel, o seis de fruta, tres de chocolate y dos de miel, o ocho de fruta, dos de chocolate y dos de miel, o diez de fruta, uno de chocolate y dos de miel.

En total son doce opciones.