miércoles, 20 de febrero de 2013

Criterio de divisibilidad

Enunciado

La clave en este problema se puede obtener si estudiamos los restos de la división entre 7 de algunos de estos números.

Así, probando con algunos valores concretos, tenemos que el resto de dividir 1432 entre 7 es 4, mientras que si realizamos la operación indicada, tenemos 432 - 1 = 431, y el resto al dividir 431 entre 7 es también 4. De la misma forma, si dividimos 1432 entre 11, el resto es 2, y si dividimos 431 entre 11, también obtenemos un 2 de resto. Podemos comprobar que ocurre lo mismo si probamos con cualquier otro número y cualquiera de los tres factores a estudiar, 7, 11 o 13.

Si el resto es el mismo, sólo puede ocurrir que la diferencia entre ambos números es un múltiplo de los factores entre los que dividimos, así que debemos buscar una forma algebraica de representar esta diferencia, y comprobar nuestra hipótesis.

Distinguir las últimas tres cifras del número y las primeras en notación decimal podríamos representarlo algebraicamente como que n es de la forma 1000a + b, donde b son las últimas tres cifras y a las demás cifras (por ejemplo, 1432 = 1000*1 + 432). En ese caso, k sería de la forma b - a. Evidentemente, n - k sería 1000a + b - (b - a) = 1001a, y 1001 es un número que es igual a 7*11*13, con lo que es claramente múltiplo de los tres.

Puesto que la diferencia es un múltiplo de los tres primos, n es divisible entre cualquiera de ellos si y sólo si k lo es, como queríamos demostrar. Una versión muy similar a esta demostración aparece en los comentarios el enunciado.

lunes, 18 de febrero de 2013

Número de tres cifras

Enunciado

La clave es escribir cuántos productos tienen sólo una cifra, mirando, por ejemplo, la tabla de multiplicar.

Encontramos 1x1 = 1, 1x2 = 2, 1x3 = 3, 1x4 = 4, 1x5 = 5, 1x6 = 6, 1x7 = 7, 1x8 = 8 y 1x9 = 9, 2x1 = 2, 2x2 = 4, 2x3 = 6, 2x4 = 8, 3x1 = 3, 3x2 = 6, 3x3 = 9, 4x1 = 4, 4x2 = 8, 5x1 = 5, 6x1 = 6, 7x1 = 7, 8x1 = 8 y 9x1 = 9.

Siguiendo estos productos, encontramos los números que buscamos, 111, 221, 331, 441, 551, 661, 771, 881, 991, 212, 422, 632, 842, 313, 623, 933, 414, 824, 515, 616, 717, 818 y 919. En total, 23 números diferentes, como dice nuestro seguidor Pablo Sussi.

jueves, 7 de febrero de 2013

Repartiendo la tarta

Enunciado

Este es un problema en el que debemos hacer cierta investigación previa. Si hacemos cortes desde el centro, todas las figuras las podemos dividir en triángulos que tienen un vértice en el centro (puede que sean cuadriláteros, o incluso pentágonos, si abarcan dos o tres bordes, pero se pueden dividir en triángulos). Como la cantidad de tarta que tiene cada trozo depende del área de la tarta, podemos estudiar de qué depende el área de cada uno de esos triángulos.

Conociendo la forma básica y su área, que es la mitad de la base por la altura, vemos que si usamos como base del triángulo el borde, todos los triángulos tendrán la misma altura, ya que el centro del cuadrado siempre está a 15 centímetros del borde. Es decir, que el área de un triángulo central que tenga 10 centímetros de borde, tendrá de área 10*15/2 = 10*7,5, el área de un triángulo cuyo borde mida 30 centímetros será 30*15/2 = 30*7,5, el de uno que tenga 5 centímetros será 5*7,5 y así sucesivamente.

Para repartir el área de toda la tarta entre 5 comensales, como mide 900 centímetros cuadrados, cada uno deberá tomar triángulos cuya área sume 180 centímetros cuadrados, por lo que su borde debe medir 180/7,5 = 24 centímetros. Es decir, que partimos triángulos centrales con un borde total de 24 centímetros. Observa que eso equivale a repartir en realidad los 120 centímetros de borde de la tarta entre los cinco invitados. Partiendo del corte que teníamos al principio, mediremos 14 centímetros en el siguiente lado, luego uniremos los 16 restantes con 8 del último lado, luego podremos tomar todo el lado restante y dos centímetros del siguiente, y una pieza triangular que tendrá un borde de 24 centímetros del mismo lado. La pieza restante, de nuevo un cuadrilátero, tendrá 4 centímetros de este lado y 20 del mismo lado que el primero.

He puesto dos dibujos en esta solución, uno indicando varios triángulos centrales en la tarta, y otro con la división en cinco partes del mismo tamaño.

Como hemos visto, repartir la tarta en trozos del mismo tamaño (que no iguales) es equivalente a repartir el borde. Como este borde mide 120, repartirlo en partes enteras se puede hacer entre cualquier divisor de 120. El mayor, evidentemente, es el propio 120, pero en ese caso saldrían trozos con un ridículo borde de 1 centímetro.




viernes, 1 de febrero de 2013

Cuadrados con condiciones

Enunciado

La idea más eficaz consiste en tomar la ecuación n/(20 - n) = a2 y despejar n en función de a, lo que es más sencillo comprobar si es o no entero.

En efecto, podemos quitar denominadores de la ecuación n = 20a2 - a2n, situar la n en el mismo lado de la igualdad con n + a2n = 20a2 y sacar esta incógnita factor común con n(1 + a2) = 20a2, de donde la despejamos de forma que n = 20a2/(1 + a2).

Ahora, podemos tratar de dar valores a la variable a, teniendo en cuenta que, para que sea n un número entero, 1 + a2 debe ser un divisor de 20, ya que no puede dividir nunca a a2, que es una unidad inferior.

Otra forma de ver esa necesidad, alternativamente, es mediante una pequeña transformación, escribir la igualdad anterior como n = (20 + 20a2 - 20)/(1 + a2) = (20(1 + a2) - 20)/(1 + a2) = 20(1 + a2)/(1 + a2) - 20/(1 + a2) = 20 - 20/(1 + a2), donde aún se ve mejor que (1 + a2) debe ser un divisor de 20.

Puesto que todos los divisores de 20 son menores que 20, sólo hay que probar los valores de a 0, 1, 2, 3 y 4, resultando que son todos válidos excepto a = 4, es decir, que los valores válidos de n son 0, 10, 16 y 18.

Evidentemente, si probamos todos los valores de n entre 0 y 20, y comprobamos si es o no entero, también tendríamos este resultado.