La diferencia es 2009

Enunciado

Puesto que se trata de pares de enteros, es una ecuación diofántica.

Como todas las ecuaciones de este tipo, lo que hemos de intentar es factorizarla y razonar sobre los diferentes factores que aparecen. En este caso, hay dos potencias restadas, que pueden tratarse como diferencia de cuadrados, así que x² - y⁴ = (x - y²)*(x + y²) = 2009. Puesto que tanto x como y son números enteros, los dos factores polinómicos, (x - y²) y (x + y²) son factores enteros. Basta descomponer 2009 en factores primos para estudiar todos los productos posibles, tanto positivos como negativos, y estudiar los casos para averiguar el valor de x e y.

Antes de pasar a valores concretos, supongamos que x - y² = a y x + y² = b, donde a es menor que b (recuerda que y² siempre es positivo). En ese caso, a + b = 2*x, y b - a = 2*y². De ahí, tendremos que x = (a + b)/2 e y² = (b - a)/2. Es evidente que (b - a)/2 deberá ser un cuadrado perfecto para que podamos calcular con éxito un valor entero para y.

Ahora, factoricemos 2009 = 7*7*41, así que lo podemos expresar sólo de seis formas 2009 = 1*2009 = 7*287 = 41*49 y sus opuestos. Las diferencias de estos números son 2009 - 1 = 2008, cuya mitad, 1004, no es un cuadrado perfecto, 287 - 7 = 280, cuya mitad es 140, que tampoco es un cuadrado perfecto, y 49 - 41 = 8, cuya mitad es 4. Este producto es el único que podemos aprovechar.

De 49*41 obtenemos un valor para x de (49 + 41)/2 = 45, y un valor para y de +2 y -2, y de (-49)*(-45) obtenemos un valor para x de -45, y un valor para y de +2 y -2.

En resumidas cuentas, los únicos pares posibles son (45, 2), (45, -2), (-45, 2) y (-45, -2).

Impuesto en la aduana

Enunciado

Como dice Lluís en los comentarios, hay que suponer que la dependencia del impuesto respecto a la cantidad de barriles es lineal, es decir, que el impuesto es un porcentaje del valor de los barriles. También hay que suponer que los barriles que transportan los comerciantes son idénticos en valor para facilitar el cálculo.

Así, tendríamos que el primero pagó, de 64 barriles, 5 barriles y 40 francos, mientras que el segundo pagó por 20 barriles 2 barriles y le devolvieron 40 francos.

Como no conocemos el valor en francos de cada barril, podemos llamar a esta variable B, y el porcentaje del impuesto por cada barril sería I. Así, 64*I = 5*B + 40 y 20*I = 2*B - 40. No deja de ser un sistema de ecuaciones con dos incógnitas. Si elegimos mi sistema favorito para resolverlas, reducción, multiplicaríamos la primera por 2, obteniendo 128*I = 10*B + 80, mientras que la segunda la multiplicamos por 5, de forma que 100*I = 10*B - 200. Restándolas ordenadamente, obtenemos que 28*I = 280, es decir, que el impuesto por barril es de 10 francos, y poniendo esto en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales, por ejemplo en la segunda, obtenemos que 200 = 2*B - 40, es decir, que 2*B = 240, o lo que es lo mismo, el precio de un barril sería de 120 francos.

Un punto en un triángulo equilátero

Enunciado

En un principio, el problema se debe plantear uniendo ese punto con los tres vértices del triángulo equilátero, que queda así dividido en seis triángulos rectángulos, distintos entre sí probablemente.

Si tratamos de resolverlo con un sistema de ecuaciones, probablemente obtendríamos una solución, aunque de manera lenta y costosa. Puede solucionarse el problema de una forma mucho más eficaz si observamos que su área se puede poner en función del lado de dos formas distintas, y calculamos el lado desde esas expresiones.

Por un lado, un triángulo equilátero de lado 1 se puede dividir en dos triángulos rectángulos, cuya hipotenusa mide el doble que uno de los catetos. Es evidente, por Pitágoras, que el otro cateto, que es la altura del triángulo equilátero, medirá √(1-1/4) = √3/2. Eso quiere decir que el área del triángulo equilátero de lado 1 es √3/4. Si el lado mide otra cantidad, x, el triángulo mantendrá una proporción de escala x, y su área mantendrá una escala de factor el cuadrado de x. Por tanto, se podrá calcular multiplicando el lado al cuadrado por √3/4.

En el caso en particular que nos ocupa, podemos unir los triángulos rectángulos que tienen un cateto común, formando tres triángulos cuyas bases son los lados del triángulo equilátero, sus alturas son 1, 2 y 3, y cubren todo el triángulo equilátero, es decir, que el área total se puede calcular sumando x*1/2 + x*2/2 + x*3/2 = x*6/2 = x*3.

Si esos dos valores producen el mismo resultado, es porque x*√3/4 vale lo mismo que 3, es decir, que x es 3 dividido entre √3/4. Puedes calcularlo de forma aproximada, o de forma exacta, y obtendrás que x vale 4√3, aproximadamente 6,9282.

Si lo intentas hacer con ecuaciones, es posible que te veas ante un sistema de 10 ecuaciones con 10 incógnitas, y varias de ellas de segundo grado. No parece una buena alternativa.

Sin embargo, entre los comentarios del enunciado, aparece una solución muy interesante que usa trigonometría, aunque los estudiantes de este nivel aún no la suelen dominar.

Tres números primos

Enunciado

De nuevo se trata de un problema en el que debemos seguir un tanteo inteligente para que no lleve demasiado tiempo.

En los comentarios podemos observar el método que propone Alex, que es bastante corto. Yo voy a proponer otro, pero no es mejor que el de Alex.

En primer lugar, observamos que son tres números que suman un número par, es decir que uno de ellos es par (o son los tres), pero eso quiere decir que uno de ellos es 2, que es el único primo que es par.

Si 2 es p, entonces q² + r³ = 198. Como r debe ser 3 o 5 (7³ = 343 es demasiado grande), probemos si hay algún q válido. Descubrimos que q² = 171 y eso es imposible, pues no es un cuadrado perfecto, o bien q² = 73, que tampoco es posible.

Si 2 es q, entonces, p + r³ = 196, y de nuevo r puede ser 3, pero en ese caso p = 169, y ese número no es primo (169 = 13*13), o r puede ser 5, en cuyo caso tenemos el primer resultado, 71 + 2² + 5³ = 200.

Si 2 es r, entonces tendremos que p + q² = 192. Aquí probaremos diferentes valores para q, lo que nos llevará algún tiempo.

Si q es 3, p vale 189 = 3*63, no es primo.

Si q es 5, obtenemos otro resultado, 167 + 5² + 2³ = 200.

Si q es 7, p vale 143 = 11*13, no es primo.

Si q es 11, obtenemos el resultado 71 + 11² + 2³ = 200.

si q es 13, obtenemos el resultado 23 + 13² + 2³ = 200.

Y q no puede ser 17 o mayor, puesto que 17² = 289 ya es mayor que el número que buscamos.

Así, tenemos estos cuatro posibles valores.

Sumando 2009

Enunciado

Varios de los lectores que han puesto comentarios se han dado cuenta de que se puede aplicar la fórmula de la suma de una progresión aritmética y resolver el problema de una manera muy sencilla mediante ecuaciones diofánticas. No es la única técnica que se puede aplicar, pero es la más directa.

La fórmula dice que si a₁, a₂, ... , a_n es una progresión geométrica, la suma a₁ + a₂ + ... + a_n = (n*(a₁ + a_n))/2.

En este caso, la suma de n números consecutivos que empiezan en a y acaban en a + n - 1, será (n*(a + a + n - 1))/2 = (n*(2a + n - 1))/2. Este valor debería coincidir con 2009.

Si no la conoces es fácil deducirla, al menos en este caso, ya que la suma de el primer y el último número coinciden con la del segundo y el penúltimo, y así sucesivamente.

El caso es que (n*(2a + n - 1))/2 = 2009. Si llamamos r a 2a + n -1, tenemos que n*r = 4018. Tanto n como r son números enteros, r es mayor que n, y, como podemos comprobar rápidamente, tienen distinta paridad, es decir, si uno es impar, el otro es par y viceversa.

Descomponiendo en factores 4018 obtenemos 4018 = 2*7*7*49, por lo que las posibles descomposiciones en dos productos serían: 1*4018, 2*2009, 7*574, 14*287, 41*98 y 49*82. En todos los casos hemos puesto el menor número delante.

En los casos primero y segundo, n valdría 1 o 2, que es menor que 3.

En el caso tercero n = 7 y r vale 574, por lo que 2a = 568, y a = 284. Por eso la suma es 284 + 285 + ... + 290 = 2009.

En el cuarto caso, n = 14, y r vale 287, por lo que 2a = 274, y a = 137. Por eso la suma es 137 + 138 + ... + 150 = 2009.

En el quinto caso, n = 41, y r vale 98, por lo que 2a = 58, y a = 29. Por eso la suma es 29 + 30 + ... + 69 = 2009.

En el sexto y último caso, n = 49 y r vale 82, por lo que 2a = 34, y a = 17. Por eso la suma es 17 + 18 + ... + 65 = 2009.

Estas cuatro soluciones son, por tanto, las únicas válidas.

Duplicar moviendo cifras

Enunciado

Este problema se puede plantear tanteando sobre la última cifra, o bien utilizando ecuaciones, y conociendo cómo escribimos los números en el sistema decimal y las implicaciones que tiene. Voy a optar por este último método por ser más interesante y cubrir todos los casos.

En primer lugar, un alumno escribe un número de 18 cifras, y después el profesor borra la última cifra y la sitúa en primer lugar, con lo que el número se duplica.

Si nos fijamos bien, las primeras 17 cifras permanecen juntas en ambos números, pero al quitar la última cifra, su valor queda dividido entre 10, es decir, que en el primer número su valor es 10*x, y en el segundo es x. De x conocemos que es un número de 17 cifras.

Por otra parte, la última cifra, al situarla en la posición 18, es como si multiplicáramos su valor por 10 un total de 17 veces, es decir, como si lo multiplicáramos por 10¹⁷ o 100000000000000000.

En resumidas cuentas, que el primer número puede expresarse como 10*x + y, y el segundo número se puede expresar como x + 10¹⁷*y.

El enunciado del problema nos dice que el segundo es doble que el primero, es decir, que 2*(10*x + y) = x + 10¹⁷*y.

Quitando paréntesis y agrupando términos que tienen la misma incógnita, queda 19*x = 99999999999999998*y (hay 16 "nueves" en este coeficiente).

Esta ecuación tendría infinidad de soluciones fraccionarias, ya que sobra una incógnita, pero x e y deben cumplir otras restricciones, sabemos que y es un número natural de una única cifra, y que x es un número natural de exactamente 17 cifras.

Como 19 es un número primo, o bien divide a y (cosa que obligaría a que y valiese cero, y x también, pero no parece lógico que el alumno haya escrito 18 ceros), o bien 19 divide a 99999999999999998. Probando esta última posibilidad, tenemos que así es, y por tanto queda x = 5263157894736842*y.

Ahora bien, podemos elegir entre diferentes opciones para el valor de y, con la condición de que x tenga 17 cifras, que puede ir desde y = 2 a y = 9. En todos los casos, obtenemos un número que cumple la condición pedida.

Las soluciones serían, por tanto, 105263157894736842*2 = 210526315789473684, o bien 157894736842105263*2 = 315789473684210526, o 210526315789473684*2 = 421052631578947368, o 263157894736842105*2 = 526315789473684210, o 315789473684210526*2 = 631578947368421052, o 368421052631578947*2 = 736842105263157894, o 421052631578947368*2 = 842105263157894736, o 473684210526315789*2 = 947368421052631578.

Cubo inscrito en esfera inscrita en cubo

Enunciado

Como dice Lluís en los comentarios, este problema tiene una solución bastante sencilla, la única dificultad es imaginar los puntos de contacto entre la esfera y los dos cubos.

Sección de esfera inscrita

Puesto que la información que nos dan es el área total del cubo externo, a partir de ese dato debemos obtener el lado, que es el dato más importante en un cubo. Puesto que el área total es de 24 metros cuadrados, y un cubo tiene 6 caras, cada cara tiene 4 metros cuadrados, es decir, el lado mide dos metros.

Ahora bien, la esfera está inscrita dentro del cubo, es decir, es tangente en el centro de las caras. Su diámetro medirá la distancia entre dos de esos puntos tangentes, es decir, un lado del cubo. Es decir, que su diámetro mide 2 metros también.

Por último, el cubo inscrito dentro de la esfera toca a la esfera en puntos opuestos con los ocho vértices. lo que podemos medir es una diagonal del cubo, que medirá en total lo que el diámetro de la esfera, es decir, dos metros.

Esta diagonal se puede introducir en un triángulo rectángulo que forma la diagonal externa de una cara del cubo y uno de los lados, y la diagonal externa se puede introducir en un triángulo rectángulo que forman dos lados del cubo.

Calculando, el cuadrado de la diagonal externa es igual a la suma de dos cuadrados de los lados, es decir, r² + r² = 2*r². Y el cuadrado de la diagonal interna, es la suma de este cuadrado y el cuadrado de otro lado, es decir, 2*r² + r² = 3*r². Es decir, que la diagonal al cuadrado, que vale 4, es igual a 3*r², por lo que r vale la raíz cuadrada de 4/3.

Ahora, como lo que buscamos es el área de todo el cubo inscrito, el área de una cara valdrá 4/3 de metro cuadrado, y multiplicando por 6, tendremos el área total, 8 metros cuadrados. Según vemos, el área se divide sólo entre tres durante este proceso.

Asignando un dígito

Enunciado

Como dice Lluís en los comentarios, lo que hay que hacer es entender bien el problema y ser ordenado.

Como lo que queremos tener al final es un 8, partiendo de dos cifras, lo primero es saber qué números pueden dar 8 como producto. Puede ser 1*8 o bien 2*4, no hay más opciones. De esta forma, el 18, 81, 24 y 42 son números a los que se les asigna 8.

A continuación, tendríamos aquellos números que al multiplicar sus cifras pasan por uno de los cuatro que ya tenemos, es decir, al 63 se le asigna el 6*3 = 18, y a éste el 8, por lo que al 63 también le asignamos el 8. Para encontrarlos, hay que pensar de cuántas formas se puede obtener cada uno de ellos.

El 18 puede se 2*9 o 3*6, por lo que apuntamos 29, 92, 36 y 63. El 81 sólo lo podemos lograr con 9*9 (recuerda que tiene que ser multiplicando dos cifras, así que no vale 27*3, por ejemplo), así que tenemos el 99. El 24 puede ser 3*8 y 4*6 (38, 83, 46 y 64) y el 42 puedes ser 6*7 (67 y 76).

De estos números aún puede salir algún resultado más, ya que 36 puede ser 4*9 o 6*6 (49, 94 y 66), 63 puede ser 7*9 (79 y 97), y 64 puede ser 8*8 (88).

Por último, del 49 podemos lograr el 77 nada más, y es el único número que puede aportar algo nuevo. Observa que sería la cadena más larga 77 -> 49 -> 36 -> 18 -> 8.

En definitiva, los números serían 18, 81, 24, 42, 29, 92, 36, 63, 99, 38, 83, 46, 64, 67, 76, 49, 94, 66, 79, 97, 88 y 77. En total, 22 números. Si no me he equivocado, claro.