Gallinas en el mercado

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Este problema es realmente difícil para primaria, ya que no suelen ser capaces de usar el álgebra ni razonamientos complicados, sino tanteo y ensayo y error.

De la conversación, se debe deducir que la cantidad de gallinas son, respectivamente, divisores de 100 y de 36. También, que la ganancia de ambas vendedoras, al ser la misma, es intermedia.

Además, la primera trajo más gallinas que la segunda.

El tanteo debe iniciarse con un ejemplo, del tipo: si la vendedora primera sólo trajo 2 gallinas, cada una la debe vender a 50 monedas para lograr 100.

Por tanto, la segunda pudo conseguir sólo 50 monedas, con lo que la primera debió venderlas a 25. Pero entonces no puede obtener 36, vendiéndolas al precio de la otra.

Si trajo 4 la primera, la segunda vendió a 25. Por tanto, pudo obtener 25, 50 o 75, y ninguno de esos números es divisible por 4.

Si trajo 5 la primera, la segunda vendió a 20. Por tanto pudo obtener 20, 40, 60 u 80. Eso significa, respectivamente, que la primera tuvo que vender a 4, 8, 12 o 16. Pero sólo a 12 puede obtener la segunda 36 si cambian el valor, de donde tenemos una solución: La primera trajo 5 gallinas y las vendió a 12, y la segunda trajo 3 y las vendió a 20.

Podemos seguir tanteando con los otros divisores, y encontramos que si la primera trajo 10 y por tanto la segunda vendió a 10, también tenemos una solución si la primera vendió a 6 y la segunda tenía 6 gallinas. Sin embargo, esta condición incumple que en total hallan vendido menos de una docena de gallinas, por lo que sólo tenemos una única solución.

Agradezco a los lectores sus soluciones algebraicas, pero me temo que no son adecuadas para este nivel.

El año 2012

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La serie que piden en el primer apartado es 2012, 9, 81, 65, 41, 17, 50, 25, 29, 85, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89,... y así sucesivamente, es decir, que a partir del décimo primer número, el 89, comienza una repetición de 8 números que siempre serán idénticos en su valor y posición.

Evidentemente, la posición 2012 la ocupará el mismo número que la 2004, ya que se repiten de ocho en ocho, así que viendo que podemos restar cualquier múltiplo de 8, podemos llegar a que este número es el mismo que ocupa la posición 404, o que el que ocupa la posición 12, que es el 145. Esto es así porque 12 - 2012 = 2000, que es un múltiplo de 8.

En el segundo apartado, encontramos un problema muy diferente. Hay que contar de forma eficaz grupos de números. Además de hacerlo de la forma tradicional, que nos llevará un buen rato, podemos aplicar un poco de ingenio, tratando de sumar rápidamente. Al fin y al cabo, se trata de sumar 1 + 2 + 3 + 4 + ..., aumentando el resultado hasta llegar cerca del 2012.

Para sumar este tipo de sumas, conviene ordenarlas de 2 en 2, empezando por primero y último, y segundo y penúltimo, y así sucesivamente. De esta forma, nos damos cuenta de que se trata de sumar números iguales. Por ejemplo, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 1 + 6 + 2 + 5 + 3 + 4 = 7 + 7 + 7 = 3*7 = 21.

Este método sólo vale para valores pares, pero nos permitirá llegar a valores muy altos rápidamente. De esta forma, escribir hasta el 8 da 9*4 = 36, hasta el 10, 11*5 = 55 y así sucesivamente. Para llegar a las proximidades de 2000 necesitamos avanzar hasta el 60 (61*30 = 1830), y de ahí, pasamos al 62 (63*31 = 1953). Añadir los 63 números 63 nos llevará hasta la posición 1953 + 63 = 2016, por lo que el que ocupa la posición 2012 será con seguridad un 63.

Áreas y triángulos

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Pablo Sussi nos comenta una solución que es muy fácil de seguir. Se trata de dividir el problema en dos, trazando una recta que introduzca un triángulo intermedio. Como él propone, vamos a dibujar una recta que una un vértice del triángulo grande con uno del pequeño. Bien podría ser la otra posibilidad, y el razonamiento habría sido análogo, pero elegimos la del dibujo de la derecha.

Así, el problema lo razonaremos en dos etapas. Primero, trataremos de calcular el área del triángulo intermedio, cuya base será 5/2 de la base del pequeño, y la altura será la misma, ya que comparte vértice superior. Así, tendremos que el área del triángulo intermedio será de 20 u².

Ahora, para comparar este triángulo intermedio con el grande, giraremos mentalmente el dibujo, hasta lograr que la base sea el lado que antes ocupaba el lugar izquierdo. Ahora, el triángulo intermedio y el mayor tendrán la altura común, y la base del mayor será 3/2 de la de el menor, por lo que su área será 3/2 de 20 = 30 u², como afirma Pablo.

Otra manera de razonarlo, más algebraica, sin hacer ningún trazo, es observar que el área del triángulo se calcula multiplicando la base por la altura, y debido a lo que nos dice el problema, la base del triángulo mayor es 5/2 de la del pequeño y su altura, que aumenta proporcionalmente al tamaño de su lado izquierdo, es 3/2 de la del pequeño. Por eso su área será a_g = (b_g*h_g)/2 = ((5/2)*b_p*(3/2)*h_p)/2 = (5/2)*(3/2)*(b_p*h_p)/2 = (15/4)*a_p = (15/4)*8 = 30 u², donde b, h y a representan la base, la altura y el área, respectivamente, y la g y la p representan el triángulo pequeño y el grande.

Criterio de divisibilidad

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La clave en este problema se puede obtener si estudiamos los restos de la división entre 7 de algunos de estos números.

Así, probando con algunos valores concretos, tenemos que el resto de dividir 1432 entre 7 es 4, mientras que si realizamos la operación indicada, tenemos 432 - 1 = 431, y el resto al dividir 431 entre 7 es también 4. De la misma forma, si dividimos 1432 entre 11, el resto es 2, y si dividimos 431 entre 11, también obtenemos un 2 de resto. Podemos comprobar que ocurre lo mismo si probamos con cualquier otro número y cualquiera de los tres factores a estudiar, 7, 11 o 13.

Si el resto es el mismo, sólo puede ocurrir que la diferencia entre ambos números es un múltiplo de los factores entre los que dividimos, así que debemos buscar una forma algebraica de representar esta diferencia, y comprobar nuestra hipótesis.

Distinguir las últimas tres cifras del número y las primeras en notación decimal podríamos representarlo algebraicamente como que n es de la forma 1000a + b, donde b son las últimas tres cifras y a las demás cifras (por ejemplo, 1432 = 1000*1 + 432). En ese caso, k sería de la forma b - a. Evidentemente, n - k sería 1000a + b - (b - a) = 1001a, y 1001 es un número que es igual a 7*11*13, con lo que es claramente múltiplo de los tres.

Puesto que la diferencia es un múltiplo de los tres primos, n es divisible entre cualquiera de ellos si y sólo si k lo es, como queríamos demostrar. Una versión muy similar a esta demostración aparece en los comentarios el enunciado.

Número de tres cifras

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La clave es escribir cuántos productos tienen sólo una cifra, mirando, por ejemplo, la tabla de multiplicar.

Encontramos 1x1 = 1, 1x2 = 2, 1x3 = 3, 1x4 = 4, 1x5 = 5, 1x6 = 6, 1x7 = 7, 1x8 = 8 y 1x9 = 9, 2x1 = 2, 2x2 = 4, 2x3 = 6, 2x4 = 8, 3x1 = 3, 3x2 = 6, 3x3 = 9, 4x1 = 4, 4x2 = 8, 5x1 = 5, 6x1 = 6, 7x1 = 7, 8x1 = 8 y 9x1 = 9.

Siguiendo estos productos, encontramos los números que buscamos, 111, 221, 331, 441, 551, 661, 771, 881, 991, 212, 422, 632, 842, 313, 623, 933, 414, 824, 515, 616, 717, 818 y 919. En total, 23 números diferentes, como dice nuestro seguidor Pablo Sussi.

Repartiendo la tarta

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Este es un problema en el que debemos hacer cierta investigación previa. Si hacemos cortes desde el centro, todas las figuras las podemos dividir en triángulos que tienen un vértice en el centro (puede que sean cuadriláteros, o incluso pentágonos, si abarcan dos o tres bordes, pero se pueden dividir en triángulos). Como la cantidad de tarta que tiene cada trozo depende del área de la tarta, podemos estudiar de qué depende el área de cada uno de esos triángulos.

Conociendo la forma básica y su área, que es la mitad de la base por la altura, vemos que si usamos como base del triángulo el borde, todos los triángulos tendrán la misma altura, ya que el centro del cuadrado siempre está a 15 centímetros del borde. Es decir, que el área de un triángulo central que tenga 10 centímetros de borde, tendrá de área 10*15/2 = 10*7,5, el área de un triángulo cuyo borde mida 30 centímetros será 30*15/2 = 30*7,5, el de uno que tenga 5 centímetros será 5*7,5 y así sucesivamente.

Para repartir el área de toda la tarta entre 5 comensales, como mide 900 centímetros cuadrados, cada uno deberá tomar triángulos cuya área sume 180 centímetros cuadrados, por lo que su borde debe medir 180/7,5 = 24 centímetros. Es decir, que partimos triángulos centrales con un borde total de 24 centímetros. Observa que eso equivale a repartir en realidad los 120 centímetros de borde de la tarta entre los cinco invitados. Partiendo del corte que teníamos al principio, mediremos 14 centímetros en el siguiente lado, luego uniremos los 16 restantes con 8 del último lado, luego podremos tomar todo el lado restante y dos centímetros del siguiente, y una pieza triangular que tendrá un borde de 24 centímetros del mismo lado. La pieza restante, de nuevo un cuadrilátero, tendrá 4 centímetros de este lado y 20 del mismo lado que el primero.

He puesto dos dibujos en esta solución, uno indicando varios triángulos centrales en la tarta, y otro con la división en cinco partes del mismo tamaño.

Como hemos visto, repartir la tarta en trozos del mismo tamaño (que no iguales) es equivalente a repartir el borde. Como este borde mide 120, repartirlo en partes enteras se puede hacer entre cualquier divisor de 120. El mayor, evidentemente, es el propio 120, pero en ese caso saldrían trozos con un ridículo borde de 1 centímetro.

Cuadrados con condiciones

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La idea más eficaz consiste en tomar la ecuación n/(20 - n) = a² y despejar n en función de a, lo que es más sencillo comprobar si es o no entero.

En efecto, podemos quitar denominadores de la ecuación n = 20a² - a²n, situar la n en el mismo lado de la igualdad con n + a²n = 20a² y sacar esta incógnita factor común con n(1 + a²) = 20a², de donde la despejamos de forma que n = 20a²/(1 + a²).

Ahora, podemos tratar de dar valores a la variable a, teniendo en cuenta que, para que sea n un número entero, 1 + a² debe ser un divisor de 20, ya que no puede dividir nunca a a², que es una unidad inferior.

Otra forma de ver esa necesidad, alternativamente, es mediante una pequeña transformación, escribir la igualdad anterior como n = (20 + 20a² - 20)/(1 + a²) = (20(1 + a²) - 20)/(1 + a²) = 20(1 + a²)/(1 + a²) - 20/(1 + a²) = 20 - 20/(1 + a²), donde aún se ve mejor que (1 + a²) debe ser un divisor de 20.

Puesto que todos los divisores de 20 son menores que 20, sólo hay que probar los valores de a 0, 1, 2, 3 y 4, resultando que son todos válidos excepto a = 4, es decir, que los valores válidos de n son 0, 10, 16 y 18.

Evidentemente, si probamos todos los valores de n entre 0 y 20, y comprobamos si es o no entero, también tendríamos este resultado.

Raíces que suman lo mismo

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Partimos de que conoces las relaciones entre los coeficientes de un polinomio y sus raíces, que en el caso de los de tercer grado, supone que si las raíces son s, t y u, y los coeficientes son 1, a, b, y c, sería que -c = stu, b = st + su + tu, y que -a = s + t + u.

Si no conoces estas relaciones, puedes deducirlas de la igualdad x³ + ax² + bx + c = (x - s)*(x - t)*(x - u), desarrollando el producto.

En realidad, gracias a estas relaciones puede que no tengamos que solucionar la ecuación, algunas de cuyas raíces son complejas, para probar esa extraordinaria relación.

En nuestro caso, tenemos que -2 = s + t + u, 3 = st + su + tu y -4 = stu.

La suma de las primeras potencias es, pues, -2.

Probemos a calcular la suma de las segundas potencias, s² + t² + u². Una forma de usar las relaciones anteriores en una igualdad es elevar al cuadrado la expresión s + t + u, que ya sabemos que vale -2. Así, (-2)² = 4 = (s + t + u)², y desarrollando este polinomio, tenemos que 4 = s² + t² + u² + 2st + 2su + 2tu, de donde se deduce que 4 = s² + t² + u² + 2(st + su + tu). Como hemos visto, esta última expresión entre paréntesis es el segundo coeficiente, 3, por lo que 4 = s² + t² + u² + 6, por lo que -2 = s² + t² + u², como queríamos demostrar.

La suma de las terceras potencias es mucho más compleja, podemos utilizar la expresión (s + t + u)³, que tras un duro trabajo conseguimos convertir en s³ + t³ + u³ + 6stu + 3s²t + 3s²u + 3t²s + 3t²u + 3u²s + 3u²t. Si te fijas, la expresión es muy simétrica, pero, excepto el primer grupo de tres sumandos, que son los que nos interesan, los demás no parecen cuadrar con las expresiones que teníamos antes, que son st + su + tu, stu y s + t + u.

En realidad, podemos transformarla un poco, de forma que aparezca un factor común s en tres sumandos, y podamos obtener una expresión st + su + tu, otro factor t con idéntica misión y otro u.

Veamos el procedimiento: s³ + t³ + u³ + 6stu + 3s²t + 3s²u + 3t²s + 3t²u + 3u²s + 3u²t = s³ + t³ + u³ + 3s²t + 3s²u + 3stu + 3t²s + 3t²u + 3stu + 3u²s + 3u²t + 3stu - 3stu = s³ + t³ + u³ + 3s(st + su + tu) + 3t(ts + tu + su) + 3u(us + ut + st) - 3stu = s³ + t³ + u³ + 3(st + su + tu)(s + t + u) - 3stu.

Observa la estrategia de repartir el término 6stu en tres grupos, y restar después 3stu, ya que nos hacen falta en realidad 9. El procedimiento exige extraer factor común dos veces, sólo de los términos que nos interesan.

De esta retorcida manera, tenemos que -8 = -2³ = (s + t + u)³ = s³ + t³ + u³ + 3(st + su + tu)(s + t + u) - 3stu = s³ + t³ + u³ + 3(3)(-2) - 3(-4). De la igualdad -8 = s³ + t³ + u³ -18 + 12 concluimos que -2 = s³ + t³ + u³, que era lo que queríamos demostrar.