miércoles, 16 de julio de 2014

Único para cada sucesión positiva creciente

Enunciado

En primer lugar, debemos hacer pruebas hasta comprender bien el enunciado. Supongamos que probamos con la sucesión 1, 2, 3, ... Observamos que a0 vale 1, realmente. Si comprobamos, 2 < (1 + 2)/1 ≤ 3, pero para valores mayores no se cumple, ya que 3 = (1 + 2 + 3)/2 y 4 > (1 + 2 + 3 + 4)/3. Si comprobamos otras sucesiones, es sencillo apreciar una regularidad. Siempre falla la segunda desigualdad para valores pequeños, y la primera para valores grandes, y sólo hay un valor para el que se cumplen los dos.

Veamos un ejemplo. Tomemos una progresión aritmética como 5, 7, 9, 11, ... Para valores pequeños de n, tenemos que (5 + 7)/1 > 9, pero (5 + 7 + 9)/2 ≤ 11, y también 9 < (5 + 7 + 9)/2. A partir de ahí, ya tenemos que 11 > (5 + 7 + 9 + 11)/3 y para valores posteriores también se cumple esa desigualdad, de forma que n = 2 es el único valor para el que se cumple en esta sucesión en concreto.

Para trabajar en general, quitaremos en primer los denominadores, de forma que las expresiones queden n*an < a0 + a1 + ... + an ≤ n*an + 1. En concreto, buscaremos el valor de n centrándonos en la primera desigualdad. Debemos estudiar la diferencia n*an - a0 - a1 - ... -an, y ver si es positiva o negativa.

Está claro que para n = 0 es negativa, ya que es a0 - a0 - a1 = -a1 < 0. Veamos si esta sucesión es creciente.

La diferencia entre un término y el anterior sería (n + 1)*an + 1 - a0 -a1 - ... -an - an + 1 - (n*an - a0 -a1 - ... -an) = n*an + 1 + an + 1 - a0 -a1 - ... -an -an + 1 -n*an + a0 + a1 + ... + an = n*an + 1 -n*an = n*(an + 1 -an), que es mayor que cero debido a que la sucesión original es creciente.

Por tanto tenemos una sucesión de números enteros nueva que es creciente y cuyo primer término es negativo, lo que significa que el valor n cumple la primera desigualdad seguro para el valor n = 1. Puesto que va aumentando, existirá un valor, que llamaremos k para concretar, de forma que el término que corresponde a k es negativo pero a partir del cual los términos de la sucesión sean mayores o iguales que cero, con lo que la desigualdad primera no se cumplirá para valores mayores que k, pero sí para el valor k y los inferiores.

Ahora, trataremos de ver que para ese valor de k se cumple la segunda de las desigualdades originales, y para valores inferiores no, por lo que k es el único valor que cumple las dos desigualdades iniciales y es mayor o igual a 1.

Recapacitemos: k es el único valor en que se cumple que k*ak - a0 - a1 - ... -ak es negativo y (k + 1)*ak - a0 - a1 - ... -ak - ak + 1 es positivo o cero.

Como ya hemos comentado, k*ak - a0 - a1 - ... - ak < 0 implica k*ak < a0 + a1 + ... + ak lo que a su vez nos lleva a que se cumple ak < (a0 + a1 + ... + ak)/k, que es la primera de las desigualdades.

Por otro lado, como (k + 1)*ak + 1 - a0 - a1 - ... - ak - ak + 1 ≥ 0, tenemos que (k + 1)*ak + 1 ≥ a0 + a1 + ... + ak + ak + 1, por lo que k*ak + 1 ≥ a0 + a1 + ... + ak, de donde se deduce que ak + 1 ≥ (a0 + a1 + ... + ak)/k, que equivale a la segunda de las desigualdades.

Como toda la deducción es perfectamente reversible, la segunda desigualdad implica que el término siguiente de la nueva sucesión es positivo, y la primera, que el término correspondiente es negativo, por lo que sólo hay un valor posible que cumpla ambas, y es el que hemos encontrado.

domingo, 27 de abril de 2014

Pesadas

Enunciado

Está claro que para pesar un kilogramo de lentejas, hay que poner un peso de 1 kg en la otra balanza, y que para pesar 2, basta repartir el peso de 3 y de 1, de forma que se resten, es decir, que el saco de lentejas debe acompañar a la pesa de 1 kg y en la otra balanza poner la de 3 kg.

Así, con sumas y restas, usando una única vez a lo sumo cada pesa, se tienen todos los valores que se desean.

En realidad sólo hay una única manera de hacerlo, y es extraño que las pesas elegidas sean las potencias de 3, ya que sólo funciona así con ellas, es decir, que si queremos pesar todas las cantidades hasta 40, añadiríamos al conjunto una pesa de 27 kg, y con una de 81 kg podríamos llegar a las cantidades hasta 121 ¡sin que falte ninguna!

Pero vamos a rellenar nuestra tabla:

Plato A Plato B Kilogramos de lentejas
101
312
303
3 + 104
93 + 15
936
9 + 137
918
909
9 + 1010
9 + 3111
9 + 3012
9 + 3 + 1013

Si te fijas, encontrarás cierta simetría en la forma de disponer las piezas, añadiendo siempre una pesa más para cifras crecientes. La siguiente serie sería similar a la que hay, pero cambiándolas de plato y añadiendo la pesa de 27 en el primero. ¿Serías capaz de seguir?

domingo, 6 de abril de 2014

Desigualdad con dos variables

Enunciado

En este tipo de problemas, la idea es tratar la expresión comparada con 0, para tratar de delimitar si hay o no algún cambio de signo.

La idea más acertada sería transformarla en la expresión 0 ≤ -x3 - xy2 - 2xy + 2x2y + x2 + x + y y a partir de aquí, factorizar la expresión para transformarla en alguna expresión claramente mayor que 0.

Para probar diferentes ideas, podemos tratar de sustituir una de las dos variables (la x o la y) por números válidos (por ejemplo, por 0, 1, 0.5, 0.2), para ver la expresión del polinomio que se presenta, de forma que tratemos de ver un resultado común, o al menos una idea general.

En este caso, parece que eso no nos da una idea que nos permita abordar el caso general.

Otra iniciativa que traté de hacer, de forma infructuosa, fue substituir las variables por t = 1 - x, que es positiva, o por s = 1 - y, que también lo es, y que estarían situadas exactamente en el mismo intervalo. Sin embargo, las expresiones que obtuve no me ofrecieron una idea, ni un factor común.

Una tercera vía fue intentar manipular los términos que tenían un coeficiente 2 para tratar de convertirlos en parte del cuadrado de una suma. Este trabajo sí que condujo a resultados claros. Por ejemplo, viendo que aparece 2x2y, traté de juntarlo con - x3 y con -xy2, de forma que sacando factor común - x, obtuviese el cuadrado de una suma. En efecto, -x3 - xy2 - 2xy + 2x2y + x2 + x + y = -x(x2 - 2xy + y2) + x2 - 2xy + x + y = -x(x - y)2 + x2 - 2xy + x + y.

Ahora, aparecen también en la expresión dos de los términos de (x - y)2, sólo falta el tercero, que podemos añadirlo por el sencillo método de sumar y restarlo, sin que varíe la expresión total, así, -x(x - y)2 + x2 - 2xy + x + y = -x(x - y)2 + x2 - 2xy + y2 - y2 + x + y = -x(x - y)2 + (x - y)2 - y2 + x + y.

Como aparece dos veces la misma expresión, podemos extraerla factor común, quedando -x(x - y)2 + (x - y)2 - y2 + x + y = (-x + 1)(x - y)2 - y2 + x + y.

Por último, reordenando algunos términos, dejamos (-x + 1)(x - y)2 - y2 + x + y = (1 - x)(x - y)2 + x + y(1 - y).

Ahora, esta expresión, que es equivalente a la primera, es claramente positiva, pues es suma de tres números que son positivos, por ser estos números productos de números positivos, ya que x e y tienen un valor entre 0 y 1, por lo que x, y, 1 - y y 1 - x son valores positivos, y el factor (x - y) está elevado al cuadrado, con lo que también es positivo. Eso significa que la suma de esos tres términos es un número positivo, y por lo tanto la desigualdad inicial es cierta, siguiendo la transformación a la inversa.

miércoles, 19 de marzo de 2014

Agrupando tarjetas

Enunciado

El máximo teórico de puntos que tenemos repartidos en todas las tarjetas es 5*200 + 2*200 + 1*200 = 8*200 = 1600. Si pudiéramos separar los puntos de las tarjetas, podríamos hacer 1600/9 = 177, y sobrarían 7 puntos. Pero como no podemos separarlos, vamos a tratar de agruparlas de varias formas hasta dar con el máximo.

Hay varias formas de razonarlo.

Por ejemplo, si apartamos las tarjetas de 5, disponemos de tarjetas pequeñas que seguro podemos agrupar al máximo, y después ir añadiendo una a una tarjetas de 5 para tratar de dejar el mínimo de puntos fuera.

También podemos intentarlo al revés, de forma que agrupemos todas las tarjetas de 5 que podamos y después ver cuántas sobran.

Tomemos la primera de las ideas: Si agrupamos todas las de 1 y 2, el total de puntos es 600, que en teoría da para 600/9 = 66 y sobran 6. Podemos formar grupos de 9 con cuatro tarjetas de 2 y una de 1, hasta que nos quedemos sin tarjetas de 2 (200/4 = 50), eso hará 50 grupos, y aún quedarán 150 tarjetas de 1, que se repartirán en (150/9 = 16) 16 grupos de 9 tarjetas de 1, donde sobrarán sólo 6 tarjetas de 1 punto. Efectivamente, alcanzamos el máximo teórico.

Ahora, si introducimos tarjetas de 5 (en un grupo de 9 puntos, las tarjetas de 5 deben ir de una en una, no pueden unirse dos), necesitamos romper un grupo que tenga tarjetas 2 y reagrupar dos de ellas con cada 5, y unir las tarjetas de 1 entre sí para agrupar 9 cuando tengamos suficientes (la alternativa también es posible, romper los grupos de 1, pero podemos dejar esto para el final, ya que las tarjetas de 1 son más fáciles de reagrupar). Es decir, si incorporamos 36 tarjetas de 5, por ejemplo, tendríamos que romper 18 grupos de 2 + 2 + 2 + 2 + 1, originando 36 grupos de 5 + 2 + 2, y 4 nuevos grupos de 9*1, dejando siempre de exceso los 6 unos del principio. Este proceso sólo lo podemos hacer mientras queden grupos de 4*2 + 1, es decir, sólo 100 tarjetas 5 podrán ser incorporadas con éxito de esa forma. Pasamos ahora a una situación en la que tenemos 100 grupos 5 + 2*2, y las tarjetas 1 se situarán formando grupos de 9, 22 grupos de 9, sobrando 2 de ellas.

Ahora, las tarjetas 5 que añadamos (recuerda que tenemos 100 todavía), no pueden conseguir más 2, pero aún pueden romper un grupo de 9 unos para formar 5 + 4*1, y si añadimos dos 5 sólo quedará una tarjeta de 1 sobrante (que se podrá unir a los demás 1, quedando un resto si suman menos que 9). Así podremos añadir (200 / 4 = 50) 50 tarjetas de 5, hasta tener 50 grupos más con 5 + 4*1, y en ese caso no sobrará ningún 1.

Lamentablemente, aún nos quedarán 50 tarjetas 5 por agrupar, y no podremos incorporarlas sin romper un grupo y dejar, a su vez, una tarjeta 5 sin agrupar. Por tanto, nuestro procedimiento nos proporciona 150 grupos de tarjetas (100 de 5 + 2*2 y 50 de 5 + 4*1) y un excedente de 50 tarjetas 5, que sumarán 150*9 + 50*5 = 1350 + 250 = 1600 puntos en total.

Pero ¿es esa la cantidad máxima que podemos lograr? ¿habrá un reparto en el que haya más grupos?

Para estar seguros de que no, ahora que tenemos la respuesta que creemos correcta, lo plantearemos por reducción al absurdo.

Supongamos que hemos conseguido un reparto con más de 150 grupos. Para fijar ideas, pensemos que logramos 151 grupos y ponemos en otro montón las tarjetas restantes. Si sumamos los puntos, en el montón sobrante habrá menos de 250 puntos, es decir, que fuera de los grupos hay menos de 50 tarjetas de 5, pero eso quiere decir que en los repartos hemos usado más de 150 tarjetas con 5, y como sólo puede haber una de 5 en cada grupo, significa que habrá exactamente 1 en cada grupo.

Por tanto, en cada grupo de los 151 hay 4 puntos en tarjetas de 2 y de 1, es decir 151*4 = 604 puntos al menos, cuando sabemos que a lo sumo hay 600 puntos entre todas las tarjetas de esos tipos.

Esto es imposible.

Por tanto, en efecto el máximo posible de grupos es 150, y anteriormente se ha descrito uno de los repartos posibles.

domingo, 23 de febrero de 2014

En la peluquería

Enunciado

Supongo que todo el que haya leído este enunciado y haya cursado un nivel algo más alto, reconocerá el típico problema "de mezclas" que se resuelve usando álgebra.

Si queremos plantearlo de una manera creativa sin hacer uso del álgebra, podemos utilizar un recurso muy sencillo. Por ejemplo, probar a usar una cantidad conocida del primer producto, en el que podemos calcular mediante proporciones cuánto principio activo hay, y reemplazar una unidad por el segundo producto, para ver cuánto principio activo queda (dejando sin cambios la cantidad total). Si repetimos el procedimiento un cierto número de veces, obtendremos el resultado buscado.

Veamoslo más detalladamente. Si partimos, por ejemplo, de 100 litros del primer producto, contendrá 30 litros de principio activo. Ahora, si eliminamos un litro, quedan 99 litros (con 29,7 litros de principio activo), y si añadimos 1 litro del otro producto, estamos incorporando sólo 0,03 litros de principio activo, es decir, tendremos ahora 100 litros, pero tan sólo 29,73 litros de principio activo, es decir, habremos perdido 0,27 litros de principio activo por cada litro que cambiemos. Puedes confirmarlo cambiando una cantidad cualquiera (por ejemplo, si cambias 5 de los 100 litros, quedarán 95 litros de producto concentrado y 5 del otro, lo que supone 95*0,3 + 5*0,03 = 28,5 + 0,15 = 28,65, que es lo mismo que 30 - 5*0,27 = 30 - 1,35 = 28,65). Ahora, para conseguir que sólo quede 12 litros de principio activo, debemos quitar de los 30 litros nada menos que 18. Si intentamos quitarlos en grupos de 0,27, deberemos dividir, y no sale exacto, es decir, sale que hemos de cambiar 66,67 litros aproximadamente, y por tanto esa debería ser la proporción, 33,33 litros de cada 100 del producto más puro y 66,67 del más diluido para la mezcla buscada.

Claro, que al fin y al cabo, si buscamos números más exactos, debemos fijarnos en que hemos dividido 18 entre 0,27, es decir, 1800 entre 27. Y no es exacto porque 27 tiene un factor 3 de más, es decir, que si tuviésemos una cantidad de litros múltiplo de 3, nos habría dado exacto. Podemos repetir el razonamiento con una cantidad múltiplo de 3 para conseguirlo.

Supongamos que tenemos 3 litros del producto concentrado. Tendremos entonces 0,90 litros de principio activo. Si cambiamos un litro por el producto segundo, tendremos 2*0,30 + 1*0,03 = 0,60 + 0,03 = 0,63, es decir, habremos perdido 0,27 litros de principio activo. Como queremos alcanzar 3*0,12 = 0,36 litros, debemos perder 0,90 - 0,36 = 0,54, es decir, el doble de 0,27, es decir, que basta cambiar 2 litros del producto más concentrado por el otro.

Así que una proporción precisa sería mezclar un litro del primer producto con dos del segundo.

domingo, 16 de febrero de 2014

Salto generacional

Enunciado

En definitiva, hemos de buscar lo que sucede si sumamos cuatro números consecutivos, y debe dar un número múltiplo de 11, que además sea mayor que 50.

Una primera sugerencia es sumar números bajos. Si el menor es 1, nos da 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Si aumentamos el menor de los números, también aumentaremos todos los demás, obteniendo 2 + 3 + 4 + 5 = 14. Está claro que cada unidad que aumentemos la edad del menor, añadimos 4 unidades a la suma.

Dicho de otra forma, las posibles edades del abuelo aumentan de 4 en 4, siempre entre números pares pero que no son múltiplos de 4 (10, 14, 18, 22, ....). Como vemos, el primer múltiplo de 11 es el 22, que no es válido por no ser mayor que 50. Como vamos de 4 en 4, y también de 11 en 11 para obtener múltiplos de 11, debemos añadir de 44 en 44, es decir, que la siguiente posible edad será 22 + 44 = 66. Y la siguiente 110. Está claro que la siguiente, 154, es algo excesiva hasta para un abuelo de un problema de matemáticas.

En el caso de la edad de 66, habremos sumado 56 a 10, lo que hace un total de 56/4 = 14 años a cada uno de los nietos, es decir, que tendrán 15, 16, 17 y 18.

Si el abuelo tiene 110, entonces habremos sumado 100 a 10, 25 a cada nieto, lo que da 26, 27, 28 y 29.

Otra idea que podemos seguir, es que si sumamos cuatro números consecutivos, el primero y el último suman lo mismo que los dos centrales, y debe ser un número impar, así que la edad del abuelo debe ser par, y no puede ser múltiplo de 4. Como además ha de ser múltiplo de 11, llegamos a 66 y a 110 de la misma forma. Ahora, para las edades de los nietos, en el primer caso, deben sumar 33 los dos centrales, lo que obliga a que sean 16 y 17 (observa que 16 = (33 - 1)/2). Luego son 15, 16, 17 y 18. En el segundo caso, los dos centrales sumarán 55, por lo que deben ser 27 y 28, así que los cuatro serán 26, 27, 28 y 29.

domingo, 9 de febrero de 2014

Desigualdad con raíces

Enunciado

Este tipo de enunciados es muy frecuente en la fase local, debemos disponer de estrategias que nos permitan afrontarlos con cierta tranquilidad, porque no son especialmente difíciles, pero si no dominamos las estrategias adecuadas, pueden convertirse en una cuestión imposible.

Una de las herramientas básicas consiste en conocer las desigualdades de las medias, para las cuales aconsejo leer dos pequeños artículos (en pdf) de korovkin: las desigualdades aritmético geométricas y las potenciales.

En este caso, nos interesa aplicar una desigualdad que afirma que la media aritmética de números positivos es siempre menor que la cuadrática. ¿Por qué la media cuadrática? Porque, al elevar al cuadrado, nos permite eliminar las molestas raíces que aparecen en nuestro enunciado.

Es decir, que como se da que √((s2 + t2)/2) ≥ (s + t)/2, aplicándolo a la expresión más complicada que tenemos, √(ab) + √((a2 + b2)/2) = 2*(√(ab) + √((a2 + b2)/2))/2 ≤ 2*√((√(ab)2 + √((a2 + b2)/2)2)/2), donde la hemos aplicado a esas dos expresiones, que quedan elevadas al cuadrado. Esta expresión se transforma ahora en 2*√((√(ab)2 + √((a2 + b2)/2)2)/2) = 2*√(ab + (a2 + b2)/2)/2) = 2*√((2ab + a2 + b2)/4) = 2*√((a + b)2/4) = 2*(a + b)/2 = a + b, con lo que queda demostrada la afirmación.

Otro enfoque, bastante diferente, consiste en dividir esta desigualdad entre una de las variables, pongamos por a, de forma que √(ab) + √((a2 + b2)/2) ≥ a + b es equivalente a √(b/a) + √((1 + (b/a)2)/2) ≥ 1 + b/a, de forma que todo queda dependiendo de una única variable b/a, es decir, que basta demostrar que √x + √((1 + x2)/2) ≥ 1 + x, de forma que se trata de una desigualdad en una única variable, algo mucho más fácil de manejar, por ejemplo, resolviendo la igualdad √x + √((1 + x2)/2) = 1 + x y descubriendo dónde se cortan las dos funciones y dónde es mayor una que otra realmente.

domingo, 2 de febrero de 2014

Una lista de 100 números muy peculiar

Enunciado

Si tratamos de conseguirlo, enseguida surgirán problemas, pero es difícil concretar porqué, y cuál es la cantidad de números a partir de la cual empiezan las dificultades.

La idea es encontrar una propiedad de los cuadrados que impida acumular muchos números con esas condiciones, pero es difícil dar con una propiedad sencilla. En este tipo de situaciones, debemos suponer que tenemos una lista de ese tipo, y demostrar que hay una propiedad imposible de cumplir, por lo que sabremos que no existe esa lista. Este método se denomina reducción al absurdo.

La primera observación útil es que si se obtienen cuadrados sumando cinco y nueve números impares, ha de tratarse de cuadrados impares. Esto está claro. ¿Hay alguna propiedad de los cuadrados impares que nos pueda dar una pista?

Claro, que si pensamos en 5*9 = 45 números de esa lista, nos fijamos en que los mismos números deben sumar cinco cuadrados y también nueve cuadrados, es decir, que cinco cuadrados deben sumar lo mismo que nueve cuadrados, y ahí podemos encontrar dificultades. Vamos a tratar de centrarnos en esa posibilidad, y ver qué sucede con los cuadrados impares, al estudiar diferentes posibilidades.

Si nos fijamos sólo en su paridad, no avanzamos mucho, ya que es muy sencillo sumar cinco impares y que tenga la misma paridad que sumar nueve. No es ese el factor que nos lleva a una situación imposible.

Sin embargo, atendiendo a los números en su relación con 4, por ejemplo, observaremos que pueden ser de la forma 4k + 1 y 4k + 3 según su resto al dividir entre 4. Sin embargo, al elevar al cuadrado alguno de estos dos números, tenemos (4k + 1)2 = 16k2 + 8k + 1 = 8*(2k2 + k) + 1 y (4k + 3)2 = 16k2 + 24k + 9 = 8*(2k2 + 3k + 1) + 1, de forma que en ambos casos, sus cuadrados sólo pueden ser de la forma 8s + 1 para algún s, es decir, al dividirlos entre 8 siempre tienen resto 1.

Aquí se ve cuál debe ser el problema, ya que si tenemos cinco números que al dividirlos entre 8 dan 1 de resto, su suma dará 5 de resto al dividirlos entre 8, y si tenemos nueve números así, entonces al dividirlos entre ocho debería dar resto 1 (ya que los nueve unos se unirían en un ocho y un uno). Por lo tanto es imposible que los dos números sean iguales, así que ni siquiera podremos llegar a 45 números con esta propiedad, por mucho que busquemos. Y mucho menos a 100.

Es posible que haya otras condiciones que impidan escribir listas incluso más cortas, pero probablemente sean más complicadas ¿alguien puede encontrar alguna?