sábado, 21 de febrero de 2015

Un sistema circular con tres variables

Enunciado

Este tipo de sistemas están formados por ecuaciones en varias variables, que tienen una característica muy especial: en realidad se trata de una única ecuación, en la que el papel de las variable se intercambia de alguna forma.

Las soluciones, en el caso en que las incógnitas sean números reales, deben valer lo mismo y la demostración de que así es suele hacerse siempre de forma muy similar.

Supongamos que tenemos una solución en la que los valores x, y, z no son iguales los tres. En ese caso, vamos a trabajar suponiendo que x ≤ y ≤ z, con alguna de las desigualdades estricta, o bien y ≤ x ≤ z. Cualquier otro orden sería equivalente, cambiando los nombres de las variables y el orden de las ecuaciones.

En el primer caso, veamos que se llega a una contradicción. Puesto que las variables son positivas, y se da que x ≤ y ≤ z, entonces x + 1 ≤ y + 1 ≤ z + 1, por lo que √(x + 1) ≤ √(y + 1) ≤ √(z + 1) y también 2x√(x + 1) ≤ 2y√(y + 1) ≤ 2z√(z + 1). Sin embargo, debido a las ecuaciones, eso significa que 1 + y(y + 1) ≤ 1 + z(z + 1) ≤ 1 + x(x + 1), por lo que y(y + 1) ≤ z(z + 1) ≤ x(x + 1). Sin embargo, de las desigualdades anteriores, se deduce que x(x + 1) ≤ y(y + 1) ≤ z(z + 1) ≤ x(x + 1), pero eso es imposible, puesto que alguna de las desigualdades es estricta.

En el segundo caso, se deduce una contradicción similar, empleando el mismo sistema.

Ahora que sabemos que las tres variables son iguales, el sistema se reduce a una igualdad de la forma 2x√(x + 1) = 1 + x(x + 1). Para resolver esta ecuación, no hay un método sencillo, pero hay dos aproximaciones interesantes.

La primera de ellas, hace uso de los métodos de eliminación de raíces que se estudian en educación secundaria. Elevando ambos extremos al cuadrado, tenemos que 4x2(x + 1) = (1 + x(x + 1))2. Es decir, 4x2(x + 1) = 1 + 2x(x + 1) +x2*(x + 1)2, y quitando paréntesis, 4x3 + 4x2 = 1 + 2x2 + 2x +x2*(x2 + 2x + 1) = 1 + 2x2 + 2x + x4 + 2x3 + x2. Pasando todos los términos al mismo lado , tenemos que 0 = - 4x3 - 4x2 + 1 + 2x2 + 2x + x4 + 2x3 + x2, por lo que 0 = x4 - 2x3 - x2 + 2x + 1.

Esta ecuación de cuarto grado resiste todos los intentos de factorización por el método de Ruffini, por lo que no parece que sea abordable por los métodos convencionales, y tampoco es bicuadrada. Sin embargo es (casi) simétrica, y eso ayuda a hacer un cambio de variable muy original. En efecto, puesto que x no es cero, podemos dividir por x al cuadrado, y es equivalente a 0 = x2 - 2x - 1 + 2/x + 1/x2, que se reagrupa en 0 = x2 + 1/x2 - 2(x - 1/x) - 1.

Ahora, haciendo t = x - 1/x, tenemos que t2 = x2 - 2 + 1/x2, por lo que t2 + 2 = x2 + 1/x2. La igualdad queda ahora como 0 = t2 + 2 - 2t - 1, por o que se convierte en una ecuación de segundo grado, es decir, 0 = t2 - 2t + 1, y se tiene que t = 1 es la única solución. Así que 1 = x - 1/x, de donde x = x2 - 1 y por tanto 0 = x2 - x - 1, lo que nos da una única solución positiva (recuerda que la x debe serlo) x = (1 + √5)/2, que es el número áureo. Así, la única solución es la tripleta (x, y, z) = ((1 + √5)/2, (1 + √5)/2, (1 + √5)/2).

La otra aproximación es considerar la igualdad 2x√(x + 1) = 1 + x(x + 1) como una igualdad en la que aparezca la media geométrica y la aritmética. Transformando esta expresión en 2√(x2(x + 1)) = 1 + x2 + x, y después en √(x2(x + 1)) = (x2 + x + 1)/2, se ve claramente que en un lado de la igualdad tenemos la media geométrica de x2 y x + 1, y en el otro la media aritmética de los mismos números.

Puesto que ambos son números positivos, la desigualdad entre medias nos impone que sólo se puede alcanzar esta equivalencia si ambos números son iguales, de donde x2 = x + 1, lo que hace una ecuación de segundo grado de donde se obtiene la misma solución que en la otra aproximación.

martes, 17 de febrero de 2015

Cuatro puntos alineados

Enunciado

Como el objetivo es demostrar que un ángulo es doble que otro, lo primero que viene a la cabeza es pensar que debo trazar un ángulo central y un arco capaz, de forma que automáticamente el ángulo central quede el que debe ser doble y el que está sobre el arco, su mitad.

Hay otros métodos, por ejemplo, razonar con coordenadas, tratando de calcular alguna razón trigonométrica, por ejemplo, mediante el producto escalar, que nos permite calcular el coseno, y tratar de establecer alguna relación entre ángulos, y en las soluciones oficiales veréis otras variantes, pero lo que voy a desarrollar aquí será el método del arco capaz.

Cuando hacemos el dibujo correspondiente al enunciado, observamos que los dos ángulos que tratamos de comparar se apoyan en el mismo punto, en E, de forma que mi primera idea fue separarlos. ¿qué mejor que buscar otro punto F, que ocupase la misma posición respecto a A y B que E respecto a C y D?

Es decir, trasladamos el punto E mediante un vector paralelo a la recta en la que están los puntos A, B, C y D, y que mida exactamente la distancia entre C y A. En ese punto F se forma exactamente el mismo ángulo AFB que el ángulo BEC que se forma en E. Pero ahora, comparte extremos con el segmento AB, igual que el otro ángulo AEB.

Trazamos entonces un arco que se centre en F y que tenga de extremos el segmento AB, así el ángulo AFB es un ángulo central de ese arco.

Vamos ahora a tratar de demostrar el enunciado.

Supongamos que AC = EC. En ese caso, EC = ED = FA = FB = radio del arco, y como la distancia FE es la misma que AC, tenemos que FE = radio del arco, por lo que en ese caso E está sobre el arco, de donde el ángulo AEB es la mitad que el ángulo central, como queríamos demostrar.

Supongamos ahora que el ángulo AFB es doble que AEB, entonces eso significa que E está sobre el arco que hemos trazado, luego EF = radio del arco. Pero EF recordemos que, por construcción, vale lo mismo que AC, y EC vale lo mismo que FA, que también es un radio del arco, de forma que AC = EC, como queríamos demostrar.

De forma que tenemos, como queríamos, que AC = EC si y sólo si el ángulo AFB es doble que AEB.

domingo, 15 de febrero de 2015

Un producto de números enteros

Enunciado

Como se trata de números enteros, trataremos de fijarnos en una propiedad que despeje uno en función de otro y a partir de ahí aplicamos propiedades de divisibilidad, por ejemplo.

Ya que tenemos despejada la primera ecuación, sabemos que z = x + 2y, así que vamos a sustituir en la segunda, teniendo que x2 - 4y2 + (x + 2y)2 = 310.

Eliminando paréntesis, esto significa que x2 - 4y2 + x2 + 4xy + 4y2 = 310.

Agrupando términos, esto significa que 2x2 + 4xy = 310.

Para simplificar, dividimos por 2, dejando la expresión x2 + 2xy = 155.

A partir de este punto, hay varios razonamientos posibles. El más directo es convertir en un producto esta expresión, x(x + 2y) = 155 (observa que esta igualdad es equivalente a la que proponen en el comentario dejado en el enunciado, si cambiamos x + 2y por z, el razonamiento se simplifica algo).

Ahora, puesto que 155 = 5*31, x sólo puede valer 1, 5, 31 ó 155, pero hay que observar que tanto x como y deben ser positivos, así que x + 2y debe ser mayor que x, por lo que en realidad sólo son válidas las posibilidades x = 1 y x = 5.

En el primer caso, x = 1 y por tanto x + 2y = 155, de donde 2y = 154, por lo que y = 77. La última variable, z = x + 2y = 155, por lo que xyz = 11935.

En el segundo, x = 5, por lo que x + 2y = 31, y por tanto 2y = 26, y así y = 13. Como z = x + 2y = 31, xyz = 2015.

El problema habría tenido algo más de dificultad si hubiesen permitido valores negativos, ya que el número de soluciones habría sido algo mayor.

Otro enfoque sería despejar y en la fórmula, y = (155 - x2)/x. Puesto que tanto x como y han de ser positivos, 155 debe ser mayor que x2, por lo que basta tantear entre el 0 y el 12 para encontrar las dos soluciones válidas, aunque no pensemos en divisibilidad.

jueves, 12 de febrero de 2015

Torneo de baloncesto

Enunciado

Lo primero que hay que determinar es la cantidad de equipos que se enfrentan en esta liga.

Pensemos que son n equipos. Si tenemos en cuenta que cada uno de ellos se enfrenta con cada uno de los demás, cada equipo juega 2n - 2 partidos. Como tienen que jugar todos, el número total de partidos sería n*(2n - 2)/2 = n*(n - 1). Observa que dividimos por 2 porque cada partido lo juegan 2, es decir, si multiplicamos sólo, contamos cada partido 2 veces.

Ahora, según el enunciado, en cada partido se reparten 3 puntos (1 para el perdedor y 2 para el ganador). Por lo tanto, El total de puntos sería 3*n*(n - 1) y el máximo de puntos que puede lograr un equipo, ganando todos los partidos, sería 4n - 4.

Con ese conocimiento, hay que ver qué valor de n ocasiona que el total de puntos sea superior a 2015, pero no demasiado superior.

El método más rápido sería un tanteo. Si n = 26, 3n*(n - 1) = 1950, por lo que debe ser superior a 26, pero n = 28 ocasiona 2268, que deja un total de puntos para el primer clasificado de 2268 - 2015 = 253, que es muy superior al total de puntos que puede sacar un equipo en una liga de 28, que es 108. Luego el total de equipos de la liga es exactamente 27.

Ahora, eso significa que el total de puntos es 2106, lo que hace que el total de puntos del primero sea 2106 - 2015 = 91.

Sabiendo que tiene 91 puntos, podemos restar la cantidad de partidos jugados, 91 - 52 = 39, es decir, debe haber ganado exactamente 39 partidos. Restamos porque si observas, en cada partido el equipo gana un punto seguro, y sólo obtiene otro si gana. Por tanto, restando el número de partidos se obtiene el número de victorias. También se puede hacer con un sistema, pero la solución me pareció menos interesante.

miércoles, 11 de febrero de 2015

Circunferencia entre dos rectas

Enunciado

De este problema hay numerosas soluciones. Incluyo aquí una que me ha enviado Ricard Peiró, traduciéndola del original en valenciano, ya que este blog lo consulta mucha gente castellanoparlante.

Según vemos en el dibujo, se traza la recta perpendicular a r que pasa por A, y que corta a las rectas paralelas r y s en los puntos N y M, respectivamente.

Los segmentos AN y AM son de la misma longitud, llamémosla k. Veamos que, por construcción, la distancia AP también vale k, por lo que es independiente de la elección de B, y por tanto P está sobre una circunferencia de radio k centrada en A, que es tangente a las rectas r y s.

Aplicando el teorema de la altura al triángulo ABC, que es rectángulo y está dividido por una altura, tenemos que AP2 = CP*BP.

Aplicando el teorema del cateto a cada uno de los dos catetos del triángulo ABC, AB2 = CB*BP y AC2 = CB*CP.

Dado que el ángulo CAB es recto, los ángulos NAC y MAB suman también 90 grados, por lo que los triángulos ANC y BMA son semejantes.

Aplicando proporcionalidad, tenemos que k/AC = MB/AB = √(AB2 - k2)/AB.

Por tanto, elevando al cuadrado, tenemos que k2/AC2 = (AB2 - k2)/AB2 y, puesto que ambas fracciones son iguales, también son ambas iguales a la fracción formada sumando ambos numeradores y ambos denominadores, AB2/(AB2 + AC2) = AB2/BC2.

Por tanto, k2/AC2 = AB2/BC2.

Eso significa que k2= AC2*AB2/BC2.

Según hemos visto antes, tenemos que k2 = CB*CP*CB*BP/BC2 = CP*BP = AP2, por lo que se tiene que k = AP, como queríamos demostrar.

Hay muchas otras demostraciones muy interesantes. En las soluciones oficiales podemos encontrar varias construcciones diferentes.

domingo, 1 de febrero de 2015

Desigualdad entre cuadrados

Enunciado

Efectivamente, según publican algunos seguidores, es una aplicación trivial de una famosa desigualdad, pero esta desigualdad es poco conocida para los alumnos a los que va dirigida esta prueba, y es relativamente sencillo manejar esta desigualdad con herramientas directas.

La parte más difícil es entender qué hacer con tantas variables. Una de las cosas más útiles es reducirlas. En este caso, usando que x no vale cero (el caso particular lo dejamos para el final), la desigualdad (ax + by)2 ≤ ax2 + by2 es equivalente a ((ax + by)/x)2 ≤ ax2/x2 + by2/x2, que si se simplifica queda (a + by/x)2 ≤ a + b(y/x)2. como se puede ver, todo depende de z=y/x, es decir, nos quedamos con la desigualdad equivalente que nos indica que (a + bz)2 ≤ a + bz2. Esto no es estrictamente necesario, pero nos dará una visión más clara.

Ahora, como a + b = 1, despejamos b = 1 - a y sustituimos en la igualdad, es decir, que nuestra desigualdad anterior es equivalente a (a + (1 - a)z)2 ≤ a + (1 - a)z2. Para poder probarlo, quitamos los paréntesis y restamos ordenadamente para comprobar si realmente la diferencia es positiva. Si es así, el extremo de la derecha será mayor que el de la izquierda.

Por un lado, (a + (1 - a)z)2 = a2 + 2a(1 - a)z + (1 - a)2z2 = a2 + 2az -2a2z + (1 - 2a + a2)z2 = a2 + 2az - 2a2z + z2 - 2az2 + a2z2.

Por otro lado, a + (1 - a)z2 = a + z2 - az2.

Si restamos la expresión de la derecha menos la izquierda, tendremos a + z2 - az2 - (a2 + 2az - 2a2z + z2 - 2az2 + a2z2) = a - a2 - 2az + 2a2z + az2 - a2z2). Esta expresión, si sacamos factores comunes las diferentes potencias de z, obtenemos que es equivalente a a(1 - a) - 2a(1 - a)z + a(1 - a)z2 = a(1 - a)(1 - 2z + z2) = a(1 - a)(1 - z)2, que es claramente positivo, ya que es un producto de un cuadrado por dos valores positivos, ya que a y b = 1 - a son números positivos. Por lo tanto está demostrada la desigualdad.

Además, la igualdad se da cuando la expresión anterior vale cero, que es en el caso en que a o b valen cero, en el que es trivialmente cierta la igualdad, o bien cuando z = 1, lo que equivale a que x sea igual a y.

Queda por tratar el caso x = 0, en el que no podríamos dividir por x para iniciar la transformación. En este caso, la desigualdad queda (by)2 ≤ by2. Esta desigualdad es claramente cierta, ya que by2 - b2y2 = b(1 - b)y2 = bay2, que es un número positivo y sólo se anula cuando uno de los dos es cero. También es igualdad cuando y = 0, que en este caso también es igual a x.

Por tanto es un caso más de los que se ha hablado anteriormente.

La representación geométrica de todo esto nos daría otra visión para lograrlo, ax + by es un valor entre x e y, y con cuadrados sería un valor entre x al cuadrado e y al cuadrado, es decir, que sería un valor intermedio entre dos puntos de la parábola, comparado con el valor promedio de la parábola entre ambos, que es claramente inferior debido a la concavidad de la parábola.

miércoles, 16 de julio de 2014

Único para cada sucesión positiva creciente

Enunciado

En primer lugar, debemos hacer pruebas hasta comprender bien el enunciado. Supongamos que probamos con la sucesión 1, 2, 3, ... Observamos que a0 vale 1, realmente. Si comprobamos, 2 < (1 + 2)/1 ≤ 3, pero para valores mayores no se cumple, ya que 3 = (1 + 2 + 3)/2 y 4 > (1 + 2 + 3 + 4)/3. Si comprobamos otras sucesiones, es sencillo apreciar una regularidad. Siempre falla la segunda desigualdad para valores pequeños, y la primera para valores grandes, y sólo hay un valor para el que se cumplen los dos.

Veamos un ejemplo. Tomemos una progresión aritmética como 5, 7, 9, 11, ... Para valores pequeños de n, tenemos que (5 + 7)/1 > 9, pero (5 + 7 + 9)/2 ≤ 11, y también 9 < (5 + 7 + 9)/2. A partir de ahí, ya tenemos que 11 > (5 + 7 + 9 + 11)/3 y para valores posteriores también se cumple esa desigualdad, de forma que n = 2 es el único valor para el que se cumple en esta sucesión en concreto.

Para trabajar en general, quitaremos en primer los denominadores, de forma que las expresiones queden n*an < a0 + a1 + ... + an ≤ n*an + 1. En concreto, buscaremos el valor de n centrándonos en la primera desigualdad. Debemos estudiar la diferencia n*an - a0 - a1 - ... -an, y ver si es positiva o negativa.

Está claro que para n = 0 es negativa, ya que es a0 - a0 - a1 = -a1 < 0. Veamos si esta sucesión es creciente.

La diferencia entre un término y el anterior sería (n + 1)*an + 1 - a0 -a1 - ... -an - an + 1 - (n*an - a0 -a1 - ... -an) = n*an + 1 + an + 1 - a0 -a1 - ... -an -an + 1 -n*an + a0 + a1 + ... + an = n*an + 1 -n*an = n*(an + 1 -an), que es mayor que cero debido a que la sucesión original es creciente.

Por tanto tenemos una sucesión de números enteros nueva que es creciente y cuyo primer término es negativo, lo que significa que el valor n cumple la primera desigualdad seguro para el valor n = 1. Puesto que va aumentando, existirá un valor, que llamaremos k para concretar, de forma que el término que corresponde a k es negativo pero a partir del cual los términos de la sucesión sean mayores o iguales que cero, con lo que la desigualdad primera no se cumplirá para valores mayores que k, pero sí para el valor k y los inferiores.

Ahora, trataremos de ver que para ese valor de k se cumple la segunda de las desigualdades originales, y para valores inferiores no, por lo que k es el único valor que cumple las dos desigualdades iniciales y es mayor o igual a 1.

Recapacitemos: k es el único valor en que se cumple que k*ak - a0 - a1 - ... -ak es negativo y (k + 1)*ak - a0 - a1 - ... -ak - ak + 1 es positivo o cero.

Como ya hemos comentado, k*ak - a0 - a1 - ... - ak < 0 implica k*ak < a0 + a1 + ... + ak lo que a su vez nos lleva a que se cumple ak < (a0 + a1 + ... + ak)/k, que es la primera de las desigualdades.

Por otro lado, como (k + 1)*ak + 1 - a0 - a1 - ... - ak - ak + 1 ≥ 0, tenemos que (k + 1)*ak + 1 ≥ a0 + a1 + ... + ak + ak + 1, por lo que k*ak + 1 ≥ a0 + a1 + ... + ak, de donde se deduce que ak + 1 ≥ (a0 + a1 + ... + ak)/k, que equivale a la segunda de las desigualdades.

Como toda la deducción es perfectamente reversible, la segunda desigualdad implica que el término siguiente de la nueva sucesión es positivo, y la primera, que el término correspondiente es negativo, por lo que sólo hay un valor posible que cumpla ambas, y es el que hemos encontrado.

domingo, 27 de abril de 2014

Pesadas

Enunciado

Está claro que para pesar un kilogramo de lentejas, hay que poner un peso de 1 kg en la otra balanza, y que para pesar 2, basta repartir el peso de 3 y de 1, de forma que se resten, es decir, que el saco de lentejas debe acompañar a la pesa de 1 kg y en la otra balanza poner la de 3 kg.

Así, con sumas y restas, usando una única vez a lo sumo cada pesa, se tienen todos los valores que se desean.

En realidad sólo hay una única manera de hacerlo, y es extraño que las pesas elegidas sean las potencias de 3, ya que sólo funciona así con ellas, es decir, que si queremos pesar todas las cantidades hasta 40, añadiríamos al conjunto una pesa de 27 kg, y con una de 81 kg podríamos llegar a las cantidades hasta 121 ¡sin que falte ninguna!

Pero vamos a rellenar nuestra tabla:

Plato A Plato B Kilogramos de lentejas
101
312
303
3 + 104
93 + 15
936
9 + 137
918
909
9 + 1010
9 + 3111
9 + 3012
9 + 3 + 1013

Si te fijas, encontrarás cierta simetría en la forma de disponer las piezas, añadiendo siempre una pesa más para cifras crecientes. La siguiente serie sería similar a la que hay, pero cambiándolas de plato y añadiendo la pesa de 27 en el primero. ¿Serías capaz de seguir?