domingo, 28 de junio de 2009

Dos circunferencias en un paralelogramo

Enunciado

Paralelogramo con dos circunferencias

Paralelogramo con dos circunferencias

Lo primero que debemos aprender es a dibujar correctamente el problema. En este caso, en principio es muy difícil dibujar la situación descrita partiendo del paralelogramo (aunque al final, basado en el enunciado del problema, daré un método). Sin embargo es muy sencillo hacerlo exactamente al contrario, es decir, dibujando las dos circunferencias tangentes, y trazando después los lados del paralelogramo.

Debemos añadir al dibujo unas cuantas líneas muy comunes que nos serán útiles. En este caso, los radios a los puntos de tangencia, y las líneas que unen los vértices del paralelogramo con el punto de tangencia entre circunferencias.

Muy pronto me di cuenta de que los triángulos que aparecían entre los vértices del paralelogramo, los centros y el punto de tangencia eran semejantes. Demostrar este hecho no es trivial, pero tampoco es muy complicado.

Como en el dibujo, vamos a llamar A y B a los centros de la circunferencia, C al punto de tangencia, y K y M serán los vértices del paralelogramo donde se cruzan los dos lados tangentes a cada circunferencia.

Los segmentos AC y BC son radios, respectivamente, de sus circunferencias, pero por ser estas tangentes están sobre la misma recta, es decir, forman el mismo ángulo sobre lados paralelos. Los segmentos KA y MB, por ser las circunferencias tangentes a esos dos lados, están en la bisectriz del ángulo, de forma que de nuevo forman el mismo ángulo respecto a los lados.

Usando estos lados (en particular los puntos de tangencia con los lados G e I, podemos ver que los triángulos KAG y MBI son semejantes (con razón de semejanza el cociente entre radios), como lo son también AGC y BIC, por ser también los lados semejantes y el ángulo entre radios igual, por lo que los cuadriláteros KACG y MBCI también son semejantes.

De esta forma, las diagonales KC y MC forman el mismo ángulo con los lados, es decir, están sobre la misma recta. Como KM es la diagonal, se demuestra el enunciado.

Para terminar, doy el método de construcción al que hacía referencia. Supongamos que tenemos el paralelogramo. Trazamos la diagonal y las dos bisectrices en los extremos (si coinciden, cualquier par de circunferencias con centro en este segmento y tangentes entre sí nos sirven). En cualquier punto sobre la bisectriz trazamos una circunferencia tangente a ambos lados. En el punto de corte con la diagonal, trazamos un radio de la circunferencia y lo prolongamos hasta cortar la bisectriz contraria. En el punto de intersección, la circunferencia tangente a la primera, también será tangente a los dos lados opuestos del paralelogramo original, ya que si existe tal circunferencia el punto de tangencia estará en la diagonal.

jueves, 25 de junio de 2009

Pintando mapas

Enunciado

Aunque el problema está perfectamente resuelto por Eynar en los comentarios del enunciado, quisiera añadir algo del método para trabajar estos problemas, de combinatoria, en la solución.

La idea para contar de cuántas formas se puede hacer algo, es fijar el principio y comprobar la cantidad de opciones que nos quedan.

Un ejemplo sencillo. Si en un mapa como el indicado hemos rellenado tres de las zonas con tres colores diferentes, la cuarta zona podemos llenarla de 3 formas distintas, ya que podemos usar el color en diagonal y los dos no utilizados. Esto sucederá para cualquier relleno en el que se usen tres colores diferentes, por lo que cuando tengamos el número de rellenos de esas tres zonas usando tres colores distintos, bastará multiplicarlo por 3 y tendremos de cuántas formas podremos completar el relleno.

Una vez dicho esto, procedo a copiar la solución de Eynar, que es tremendamente completa. Hay cinco formas de colorear el país de arriba a la izquierda (por ejemplo). Quedan cuatro maneras de colorear el país de arriba a la derecha (para los dos, 5*4 = 20 formas). El país de abajo a la derecha se puede colorear de cuatro formas distintas: tres de ellas son con colores que aún no se han usado, y una de ellas es empleando el mismo color que se usó para el país de arriba a la izquierda (que no está en contacto con el de abajo a la derecha), es decir, 5*4*4 = 80 formas, en 20 de las cuales se usan sólo 2 colores distintos, y en 60 se usan 3. Esto nos deja dos opciones: o bien tengo tres colores para el país restante (si los países de arriba a la izquierda y de abajo a la derecha tienen colores distintos), o bien tengo cuatro colores para dicho país restante (si los países de arriba a la izquierda y de abajo a la derecha tienen igual color). Resumiendo: existen 5*4*3*3 + 5*4*1*4 = 260 formas de colorear los cuatro países.

Otra manera de hacer el recuento, alternativa a ésta, sería la descrita a continuación. Si uso exactamente 4 de los cinco colores, dispongo de 5 opciones para el país de arriba a la izquierda, 4 para el de arriba a la derecha, 3 para el de abajo a la izquierda y 2 para el de abajo a la derecha. En total, dispongo de 5*4*3*2 = 120 formas. Si uso sólo tres colores, los dos países del mismo color pueden estar en la diagonal de arriba a la derecha, o la de arriba a la izquierda. En cada una de esas opciones tengo 5*4*3, es decir, tengo 2*60 = 120 formas más de pintar el mapa. Por último, si uso tan sólo dos colores, sólo dispongo de 5*4 = 20 formas de pintarlo, ya que los países de abajo están determinados por los de arriba, una vez elegidos los colores. En total, 120 + 120 + 20 = 260.

domingo, 21 de junio de 2009

Padre e hijo

Enunciado

En mi opinión, este debió ser un problema sencillo para los participantes en esta competición.

Como estamos en 2009, dentro de 16 años será el año 2025, que es, en efecto, un cuadrado perfecto, el de 45. Como eso será dentro de 16 años, en la actualidad el padre tiene 29 años.

En cuanto al hijo, si dentro de 16 su edad debe ser un cuadrado perfecto, debe ser mayor que 16 (evidentemente, tiene más de un año en la actualidad, porque recientemente ha sido su cumpleaños).

Cuadrados mayores que 16 puede ser 25, en cuyo caso en la actualidad el hijo tiene 9 años, o números mayores. El primer número por encima de 25 sería 36, lo que implicaría que el hijo tiene 20 años. Esa situación es prácticamente imposible (pues el padre no podría haberlo sido al cumplir los 9), por lo que la única solución útil del problema es, como muchos comentan en el enunciado, que el padre tenga 29 y el hijo 9, ya que en 16 años, en 2025 uno tendrá 16 y el otro 45, cuyo cuadrado coincide. Y la solución es única.

jueves, 18 de junio de 2009

El abuelo

Enunciado

Puesto que se trata de un problema de primaria, debemos resolverlo sin álgebra. Probablemente, un estudiante de esta edad lo plantearía como un estudio sobre los números que podría tener como cantidad de hijos. Realizando una tabla, llegaría a la conclusión correcta y a que es única de manera muy rápida.

Imagina que tiene 5 hijos. Si cada uno tiene tantos hijos como hermanos, tiene 4 hijos, de forma que en total tendrá 5*4 = 20 nietos. La suma de nietos e hijos es 20 + 5 = 25, que está muy lejos de la edad propuesta para el abuelo, pero que nos puede dar una idea.

Si seguimos tanteando, llegamos a que en el caso de que se trate de 7 hijos, obtenemos 7*6 = 42 nietos y 49 como suma combinada. Está claro que 8 hijos proporciona la primera respuesta válida, que es 56 nietos y 64 como edad. Puesto que si seguimos aumentando el número de hijos cada vez aumenta más el número de nietos, y por tanto la suma total, y que con 9 hijos la edad del abuelo sería ya de 81 años, vemos que 8 hijos es la única respuesta posible.

Como comentan los visitantes del enunciado, el resultado es 64 años, 8 hijos y 56 nietos. Cada hijo tiene 7 hermanos y 7 hijos.

Otra forma de ver que la edad del abuelo es un cuadrado perfecto es pensar en hacer una composición fotográfica con las fotos de los hijos y, bajo cada uno de ellos, la de todos los nietos que son hijos de ese hijo en particular. Evidentemente, la figura tendrá forma rectangular, pero si nos fijamos que para cada hijo, tenemos la misma anchura (número de hermanos) que altura (número de hijos), será evidente que la cantidad total será un cuadrado perfecto. Como la edad del abuelo coincide con la cantidad total de fotos, es, necesariamente, un cuadrado perfecto. Y el único cuadrado perfecto entre 50 y 70 es 64 (8 hijos y 56 nietos, siete de cada hijo).

domingo, 14 de junio de 2009

Una diferencia muy divisible

Enunciado

Hay varios sistemas para tratar este tipo de problemas. Tal vez el más directo requiere comprobar que este polinomio que aparece en el enunciado, n19 - n7, es divisible entre 30, es decir, que la diferencia entre las dos potencias es un número al que le podemos aplicar los criterios habituales de divisibilidad de los factores de 30. Como 30 = 2*3*5, se tratará de los criterios de divisibilidad de 2, de 3 y de 5. Tal vez sea un poco pesado, pero se puede lograr con un poco de paciencia. Basta ver, por ejemplo, que para ser divisible entre 2, todas las potencias de un par son pares, y las de un impar son impares, con lo que la diferencia entre dos siempre es un número par. De maneras similares podríamos razonar para los otros números, aumentando la complejidad. Para el factor 5 habría que probar, por este método, las potencias de todos los números de la forma 5k, 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3 y 5k + 4, concretamente con el exponente 7 y 19, y estudiar sus diferencias. Observaríamos que, sorprendentemente, la diferencia siempre es múltiplo de 5.

Un método menos pesado consiste en factorizar el polinomio. Así, n19 - n7 = n7*(n12 - 1) = n7*(n6 - 1)*(n6 + 1) = n7*(n3 - 1)*(n3 + 1)*(n6 + 1) = n7*(n - 1)(n2 + n + 1)*(n + 1)(n2 - n + 1)*(n6 + 1). Puede que no consigamos factorizarlo tanto, pero puede simplificar mucho el proceso.

Estudiarlo ahora una vez factorizado es muy sencillo. Como aparecen los factores n y n + 1, el producto es necesariamente múltiplo de 2, pues uno de los dos es par. De la misma forma, el producto es múltiplo de 3, pues aparecen los factores n, n - 1 y n + 1, que son tres números enteros consecutivos.

Estudiar la divisibilidad por 5 es algo más complicado. Según el resto al dividirlo por 5, un número n siempre es de la forma 5k, 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3 o 5k + 4. Es evidente que el producto que hemos expresado antes es múltiplo de 5 en los casos en que n sea 5k (pues n aparece en la factorización), 5k + 1 (por aparecer n - 1) o bien 5k + 4 (por aparecer n + 1). Nos queda por estudiar los casos más complicados, 5k + 2 y 5k + 3.

Comprobaciones directas (con 2 y con 3) nos indican que el factor que nos interesa en este caso es n6 + 1. En efecto, si multiplicamos un número de la forma 5k + 2 por sí mismo , podemos comprobar que nos proporciona un número de la forma 5k2 + 4. Este número, al volverlo a multiplicar por sí mismo, nos da un número de la forma 5k3 + 1 (esto sería el original n, a la cuarta potencia). Necesitamos volverlo a multiplicar por 5k2 + 4 de nuevo para obtener la sexta potencia, y sería de la forma 5k4 + 4 de nuevo. Los productos se pueden hacer con los métodos clásicos de productos de polinomios, pero agrupando los múltiplos de 5 en un único término. Esta claro que a tal número, potencia sexta de n, al sumarle 1, obtendríamos un número 5k5 + 5 = 5(k4 + 1), múltiplo de 5.

Con un número de la forma 5k + 3 sucede algo parecido, ya que su cuadrado es de la forma 5k2 + 4 (esto es debido a que 3*3 = 9 = 5 + 4), y se vuelve a cumplir la regla del párrafo anterior.

Luego el número indicado es siempre múltiplo de 2, 3 y 5, con lo que lo es de 30.

jueves, 11 de junio de 2009

Simplificación

Enunciado

En realidad hay unas 1000 posibilidades para probar, de forma que el tanteo es una opción poco recomendable. Es mucho mejor plantear una ecuación diofántica (cuyas soluciones son números enteros), y estudiarla usando criterios de divisibilidad y cosas similares.

Para poder simplificar de la forma que se indica, deben aparecer tres cifras, que podemos llamar A, B y C, de forma que la fracción AB/BC sea equivalente a A/C. AB y BC no representan el producto de A y B o de B y C, si no 10A + B y 10B + C, según nuestra manera de representar los números de dos cifras.

La equivalencia de fracciones se puede expresar de una forma muy sencilla diciendo que los productos cruzados han de ser iguales (dicho de otra manera, la división entre ambas fracciones ha de ser uno). Esto lo podemos expresar con la igualdad (10A + B)*C = (10B + C)*A. Desarrollando ambos extremos, obtenemos 10AC + BC = 10AB + AC. Es evidente que únicamente podemos reducir los términos AC, y en ese caso podemos transformar la expresión de dos formas, como 9AC + BC = C(9A + B) = 10AB, o bien 9AC = 10AB - BC = B(10A - C). Cada una de esas formas da lugar a un estudio diferente. Yo voy a optar por estudiar la primera, 10AB = C(9A + B), pero se podría optar por trabajar con la otra (a ver si alguien se anima y lo hace en los comentarios).

Como 10 = 2*5, o bien C o bien 9A + B son múltiplos de 5. Está claro que C no puede ser 0, pues al final saldría una fracción de denominador nulo. Supongamos que C es 5. Entonces, 10AB = 45A + 5B, por lo que A(10B - 45) = 5B. Eso significa que B debe ser mayor que 5, y sólo se puede cumplir para B = 6, A = 2 (26/65 = 2/5) y para B = 9, A = 1 (19/95 = 1/5). Ahora sólo nos queda la opción de que 9A + B es múltiplo de 5, y en ese caso tenemos los pares (1, 1), (2, 2), (3, 3), etcétera, que dan lugar a fracciones como 11/11, 22/22, 33/33, ... , 99/99, que cumplen el sistema de simplificación de forma trivial, y también los pares (1, 6), (2, 5), ... (9,4), entre los cuales no todos cumplen la relación 10AB = (9A + B)C para un C válido, y que proporcionan el caso (1, 6, 4), es decir, 16/64 = 1/4, con el que está presentado el problema, y el (4, 9, 8), es decir 49/98 = 4/8.

En resumen, dejando casos triviales en los que se repitan todas las cifras, sólo hay cuatro casos como el que se muestra de ejemplo, 49/98 = 4/8, 16/64 = 1/4, 19/95 = 1/5 y 26/65 = 2/5.

domingo, 7 de junio de 2009

Cifras ausentes

Enunciado

Efectivamente, este problema se limita a aplicar la tabla del 7 a una multiplicación, e ir desvelando poco a poco sus cifras.

Así, como el resultado acaba en 56, la última cifra del factor, que es E, debe ser 8 (y nos llevaríamos 5). De la misma forma, la anterior, D, debe ser 0 (esla única forma de obtener un 5 en las decenas).

Como la anterior cifra del factor es un 4, la cifra del resultado anterior al 56, F, debe ser un 8 (y nos llevamos 2). Así que, puesto que la siguiente cifra del resultado es un 3, el factor debe tener un 3 en el siguiente lugar, la C, para que la suma de 21 + 2 alcance 3 (y volvemos a llevarnos 2).

La siguiente cifra del resultado es un 4, pero para obtener un número que acabe en 2, hace falta que B sea precisamente 6, y entonces 42 + 2 = 44 (y nos llevamos 4). El último par de cifras es un 67 = 63 + 4, por lo que la primera cifra del factor, A, es claramente un 9. En efecto, 963408*7 = 6743856.

jueves, 4 de junio de 2009

La cadena

Enunciado

De nuevo han sido de mucha utilidad los comentarios de nuestros seguidores.

Si pones dos eslabones de la cadena, uno al lado de otro, ocupan cada uno de ellos 30 centímetros, pero si quieres enlazarlos, tendrás que desplazar uno hacia dentro del otro 4 centímetros, al menos. Es decir, 2 centímetros del ancho de una cadena y otros dos del ancho de la otra.

Así, una cadena de un único eslabón, mediría 30 centímetros, pero una de 2, mediría 56 = 60 - 4. Si quisiéramos hacer una de 3 eslabones, mediría 56 + 30 - 4 = 82, y así sucesivamente.

La respuesta a (a), por tanto, es 82 centímetros.

Para responder a la segunda pregunta, hemos de usar un pequeño truco: como cada vez añadimos 26 centímetros a la cadena, excepto la primera vez, que hemos añadido 30, para averiguar cuántas anillas tiene una de 1070 centímetros, podemos quitarle 30, y debería quedar un múltiplo de 26, así que como 1040/26 = 40, 40 son los eslabones que hemos añadido al primero. Luego la cadena tiene 41 anillas en total.