Un problema muy complejo

Enunciado

La idea es partir de una fracción s/t, con s y t enteros positivos, y construir k, a, b, c y d que cumplan el sistema de ecuaciones a³ + b³ = ks y c³ + d³ = kt. Sin embargo, tenemos sólo un par de ecuaciones y nada menos que 5 incógnitas, de forma que podemos construirlas, en teoría, de muchas formas.

Para empezar, vamos a suponer que k = 1, aunque luego igual nos damos cuenta de que nos conviene más otro valor.

Una reducción que viene bien es hacer a = d, pero hay que ser flexible, ya que este tipo de simplificaciones a lo mejor no nos sirve luego.

Ahora, trataremos de factorizar y simplificar, para que el sistema sea lineal y realmente podamos obtener una fórmula general. Así, a³ + b³ = (a + b)*(a² - ab + b²) y a³ + c³ = (a + c)(a² - ac + c²). Esta factorización se puede conocer como uno de los productos notables, pero también podemos intentar realizar la división (a³ + b³)/(a + b) por cualquier método para ver si es divisible.

Para que se simplifique el término al cuadrado, debería darse que a² - ab + b² = a² - ac + c², pero sin que b sea igual que c, ya que en ese caso la fracción sólo podría valer 1.

Considerando esta igualdad como una ecuación de segundo grado en b, observamos qué implica.

Resulta que nos lleva a que - ab + b² = - ac + c², que equivale a b² - ab + ac - c² = 0, por lo que en esa ecuación el coeficiente del término de segundo grado es 1, el de primer grado es -a y el término independiente es ac - c². Así, el discriminante, que estaría dentro de la raíz cuadrada, sería a² - 4(ac - c²) = a² - 4ac + 4c² = (a - 2c)². ¡Observa que es un cuadrado perfecto! Eso quiere decir que b puede tener dos valores, (a + a - 2c)/2 = a - c y el valor que ya conocíamos, (a - a + 2c)/2 = c, que no nos interesa.

También podríamos haber tratado esta igualdad como un polinomio en b y dividir por el binomio (b - c), que es solución y no nos interesa que suceda, como dividimos por el método de Ruffini.

El caso es que, imponiendo que b = a - c, ese término de segundo grado se simplifica, y tenemos nuestro sistema mucho más sencillo: a + b = s, a + c = t y b = a - c. Sustituyendo, por ejemplo, b, tenemos que 2a - c = s y a + c = t. Aplicando ahora reducción, tenemos que 3a = s + t. Puesto que debemos dividir por 3 para obtener un entero, reconsideramos nuestra postura inicial de tomar k = 1, de forma que k realmente la hacemos valer 3, lo que no cambia mucho nuestras ecuaciones.

De esta forma, 3a = 3s + 3t, luego a = s + t, c = 3t - a = 2t - s, y b = a - c = 2s - t.

Sin embargo, deberemos probar que a, b y c son positivos, y eso sólo sucede si 2t es mayor que s y además 2s es mayor que t. Manipulando un poco estas desigualdades vemos que este método parece un poco limitado, ya que sólo funciona con las fracciones en el intervalo entre 1/2 y 2. Podemos comprobar que una fracción en ese intervalo ya la podemos poner de esa forma.

¿Qué podemos hacer con una fracción positiva que no esté comprendida en ese intervalo?

La idea genial consiste en "desplazarla" hacia ese intervalo multiplicando por una fracción que sea cubo de otra, y después transformarla con esta receta. Podremos volverla a convertir mediante una división y tendremos, agrupando los cubos, que será de la forma deseada.

Es decir, necesitamos un multiplicador p³/q³. Una vez convertida en una fracción de la forma (a³ + b³)/(c³ + d³), volvemos a multiplicar el resultado, esta vez por q³/p³, agrupamos los cubos y tenemos una expresión como la que necesitamos, ((aq)³ + (bq)³)/((cp)³ + (dp)³).

¿Seguro que existe este multiplicador? Supongamos que nuestra fracción es s/t. En realidad el multiplicador debe estar entre t/2s y 2t/s, para que al usarlo esté entre 1/2 y 2. Si tomamos raíces cúbicas, tendremos dos valores distintos (t/2s)^(1/3) y (2t/s)^(1/3). Como las fracciones son densas, es decir, entre dos números podemos encontrar infinidad de ellas, bastará que tomemos una entre esos dos números, y su cubo cumplirá las propiedades que necesitamos.

Veamos un ejemplo. Imagina que la fracción es, por fijar ideas, 2/5.

Los dos extremos que necesitamos son 5/4 y 5, o, mejor dicho, sus raíces cúbicas. Vamos a buscar una fracción lo más sencilla posible. En estos casos, a mí me gusta recurrir a las series de Farey o el árbol de Stern-Brocot. No sirve un entero (1 es muy pequeño y 2 demasiado grande), probamos con su mediante, 3/2. Éste sí sirve, ya que 5/4 es menor que 27/8 y 27/8 es menor que 5. Si no hubiésemos encontrado una tan sencilla, por ejemplo, hubiese sido demasiado pequeña, habríamos usado el mediante con el 2 y así sucesivamente.

Ahora que tenemos el multiplicador, tomamos la fracción (2/5)*(27/8) = 54/40 = 27/20. Pues bien, tenemos que a = 27 + 20 = 47, b = 54 - 20 = 34 y c = 40 - 27 = 13. Con esos números, tenemos que 27/20 = (47³ + 34³)/(47³ + 13³), por lo que 2/5 = (8/27)*(27/20) = (94³ + 68³)/(141³ + 39³). ¿No es fascinante?

Una vez hecho todo el razonamiento, podemos resumirlo en: tomamos la fracción s/t, buscamos un multiplicador p/q de forma que esté entre (t/2s)^(1/3) y (2t/s)^(1/3). Así, su cubo estará entre t/2s y 2t/s. Luego (sp³)/(tq³) está entre 1/2 y 2. Tomamos ahora a = sp³ + tq³, b = 2tq³ - sp³ y c = 2sp³ - tq³. Con esas condiciones, es largo pero no muy complicado ver que ((qa)³ + (qb)³)/((pa)³ + (pc)³) = s/t, y que los cuatro valores, qa, qb, pa y pb son números positivos, debido a la elección de p y q.

Enhorabuena si has llegado hasta aquí. Ha sido un texto escrito sobre todo para mí mismo, para recordar este problema que me ha rondado por la cabeza más de una semana. Si hay algo que creas que no funciona bien, o que no entiendes, deja un comentario. Gracias.

Un sistema circular con tres variables

Enunciado

Este tipo de sistemas están formados por ecuaciones en varias variables, que tienen una característica muy especial: en realidad se trata de una única ecuación, en la que el papel de las variable se intercambia de alguna forma.

Las soluciones, en el caso en que las incógnitas sean números reales, deben valer lo mismo y la demostración de que así es suele hacerse siempre de forma muy similar.

Supongamos que tenemos una solución en la que los valores x, y, z no son iguales los tres. En ese caso, vamos a trabajar suponiendo que x ≤ y ≤ z, con alguna de las desigualdades estricta, o bien y ≤ x ≤ z. Cualquier otro orden sería equivalente, cambiando los nombres de las variables y el orden de las ecuaciones.

En el primer caso, veamos que se llega a una contradicción. Puesto que las variables son positivas, y se da que x ≤ y ≤ z, entonces x + 1 ≤ y + 1 ≤ z + 1, por lo que √(x + 1) ≤ √(y + 1) ≤ √(z + 1) y también 2x√(x + 1) ≤ 2y√(y + 1) ≤ 2z√(z + 1). Sin embargo, debido a las ecuaciones, eso significa que 1 + y(y + 1) ≤ 1 + z(z + 1) ≤ 1 + x(x + 1), por lo que y(y + 1) ≤ z(z + 1) ≤ x(x + 1). Sin embargo, de las desigualdades anteriores, se deduce que x(x + 1) ≤ y(y + 1) ≤ z(z + 1) ≤ x(x + 1), pero eso es imposible, puesto que alguna de las desigualdades es estricta.

En el segundo caso, se deduce una contradicción similar, empleando el mismo sistema.

Ahora que sabemos que las tres variables son iguales, el sistema se reduce a una igualdad de la forma 2x√(x + 1) = 1 + x(x + 1). Para resolver esta ecuación, no hay un método sencillo, pero hay dos aproximaciones interesantes.

La primera de ellas, hace uso de los métodos de eliminación de raíces que se estudian en educación secundaria. Elevando ambos extremos al cuadrado, tenemos que 4x²(x + 1) = (1 + x(x + 1))². Es decir, 4x²(x + 1) = 1 + 2x(x + 1) +x²*(x + 1)², y quitando paréntesis, 4x³ + 4x² = 1 + 2x² + 2x +x²*(x² + 2x + 1) = 1 + 2x² + 2x + x⁴ + 2x³ + x². Pasando todos los términos al mismo lado , tenemos que 0 = - 4x³ - 4x² + 1 + 2x² + 2x + x⁴ + 2x³ + x², por lo que 0 = x⁴ - 2x³ - x² + 2x + 1.

Esta ecuación de cuarto grado resiste todos los intentos de factorización por el método de Ruffini, por lo que no parece que sea abordable por los métodos convencionales, y tampoco es bicuadrada. Sin embargo es (casi) simétrica, y eso ayuda a hacer un cambio de variable muy original. En efecto, puesto que x no es cero, podemos dividir por x al cuadrado, y es equivalente a 0 = x² - 2x - 1 + 2/x + 1/x², que se reagrupa en 0 = x² + 1/x² - 2(x - 1/x) - 1.

Ahora, haciendo t = x - 1/x, tenemos que t² = x² - 2 + 1/x², por lo que t² + 2 = x² + 1/x². La igualdad queda ahora como 0 = t² + 2 - 2t - 1, por o que se convierte en una ecuación de segundo grado, es decir, 0 = t² - 2t + 1, y se tiene que t = 1 es la única solución. Así que 1 = x - 1/x, de donde x = x² - 1 y por tanto 0 = x² - x - 1, lo que nos da una única solución positiva (recuerda que la x debe serlo) x = (1 + √5)/2, que es el número áureo. Así, la única solución es la tripleta (x, y, z) = ((1 + √5)/2, (1 + √5)/2, (1 + √5)/2).

La otra aproximación es considerar la igualdad 2x√(x + 1) = 1 + x(x + 1) como una igualdad en la que aparezca la media geométrica y la aritmética. Transformando esta expresión en 2√(x²(x + 1)) = 1 + x² + x, y después en √(x²(x + 1)) = (x² + x + 1)/2, se ve claramente que en un lado de la igualdad tenemos la media geométrica de x² y x + 1, y en el otro la media aritmética de los mismos números.

Puesto que ambos son números positivos, la desigualdad entre medias nos impone que sólo se puede alcanzar esta equivalencia si ambos números son iguales, de donde x² = x + 1, lo que hace una ecuación de segundo grado de donde se obtiene la misma solución que en la otra aproximación.

Cuatro puntos alineados

Enunciado

Como el objetivo es demostrar que un ángulo es doble que otro, lo primero que viene a la cabeza es pensar que debo trazar un ángulo central y un arco capaz, de forma que automáticamente el ángulo central quede el que debe ser doble y el que está sobre el arco, su mitad.

Hay otros métodos, por ejemplo, razonar con coordenadas, tratando de calcular alguna razón trigonométrica, por ejemplo, mediante el producto escalar, que nos permite calcular el coseno, y tratar de establecer alguna relación entre ángulos, y en las soluciones oficiales veréis otras variantes, pero lo que voy a desarrollar aquí será el método del arco capaz.

Cuando hacemos el dibujo correspondiente al enunciado, observamos que los dos ángulos que tratamos de comparar se apoyan en el mismo punto, en E, de forma que mi primera idea fue separarlos. ¿qué mejor que buscar otro punto F, que ocupase la misma posición respecto a A y B que E respecto a C y D?

Es decir, trasladamos el punto E mediante un vector paralelo a la recta en la que están los puntos A, B, C y D, y que mida exactamente la distancia entre C y A. En ese punto F se forma exactamente el mismo ángulo AFB que el ángulo BEC que se forma en E. Pero ahora, comparte extremos con el segmento AB, igual que el otro ángulo AEB.

Trazamos entonces un arco que se centre en F y que tenga de extremos el segmento AB, así el ángulo AFB es un ángulo central de ese arco.

Vamos ahora a tratar de demostrar el enunciado.

Supongamos que AC = EC. En ese caso, EC = ED = FA = FB = radio del arco, y como la distancia FE es la misma que AC, tenemos que FE = radio del arco, por lo que en ese caso E está sobre el arco, de donde el ángulo AEB es la mitad que el ángulo central, como queríamos demostrar.

Supongamos ahora que el ángulo AFB es doble que AEB, entonces eso significa que E está sobre el arco que hemos trazado, luego EF = radio del arco. Pero EF recordemos que, por construcción, vale lo mismo que AC, y EC vale lo mismo que FA, que también es un radio del arco, de forma que AC = EC, como queríamos demostrar.

De forma que tenemos, como queríamos, que AC = EC si y sólo si el ángulo AFB es doble que AEB.

Un producto de números enteros

Enunciado

Como se trata de números enteros, trataremos de fijarnos en una propiedad que despeje uno en función de otro y a partir de ahí aplicamos propiedades de divisibilidad, por ejemplo.

Ya que tenemos despejada la primera ecuación, sabemos que z = x + 2y, así que vamos a sustituir en la segunda, teniendo que x² - 4y² + (x + 2y)² = 310.

Eliminando paréntesis, esto significa que x² - 4y² + x² + 4xy + 4y² = 310.

Agrupando términos, esto significa que 2x² + 4xy = 310.

Para simplificar, dividimos por 2, dejando la expresión x² + 2xy = 155.

A partir de este punto, hay varios razonamientos posibles. El más directo es convertir en un producto esta expresión, x(x + 2y) = 155 (observa que esta igualdad es equivalente a la que proponen en el comentario dejado en el enunciado, si cambiamos x + 2y por z, el razonamiento se simplifica algo).

Ahora, puesto que 155 = 5*31, x sólo puede valer 1, 5, 31 ó 155, pero hay que observar que tanto x como y deben ser positivos, así que x + 2y debe ser mayor que x, por lo que en realidad sólo son válidas las posibilidades x = 1 y x = 5.

En el primer caso, x = 1 y por tanto x + 2y = 155, de donde 2y = 154, por lo que y = 77. La última variable, z = x + 2y = 155, por lo que xyz = 11935.

En el segundo, x = 5, por lo que x + 2y = 31, y por tanto 2y = 26, y así y = 13. Como z = x + 2y = 31, xyz = 2015.

El problema habría tenido algo más de dificultad si hubiesen permitido valores negativos, ya que el número de soluciones habría sido algo mayor.

Otro enfoque sería despejar y en la fórmula, y = (155 - x²)/x. Puesto que tanto x como y han de ser positivos, 155 debe ser mayor que x², por lo que basta tantear entre el 0 y el 12 para encontrar las dos soluciones válidas, aunque no pensemos en divisibilidad.

Torneo de baloncesto

Enunciado

Lo primero que hay que determinar es la cantidad de equipos que se enfrentan en esta liga.

Pensemos que son n equipos. Si tenemos en cuenta que cada uno de ellos se enfrenta con cada uno de los demás, cada equipo juega 2n - 2 partidos. Como tienen que jugar todos, el número total de partidos sería n*(2n - 2)/2 = n*(n - 1). Observa que dividimos por 2 porque cada partido lo juegan 2, es decir, si multiplicamos sólo, contamos cada partido 2 veces.

Ahora, según el enunciado, en cada partido se reparten 3 puntos (1 para el perdedor y 2 para el ganador). Por lo tanto, El total de puntos sería 3*n*(n - 1) y el máximo de puntos que puede lograr un equipo, ganando todos los partidos, sería 4n - 4.

Con ese conocimiento, hay que ver qué valor de n ocasiona que el total de puntos sea superior a 2015, pero no demasiado superior.

El método más rápido sería un tanteo. Si n = 26, 3n*(n - 1) = 1950, por lo que debe ser superior a 26, pero n = 28 ocasiona 2268, que deja un total de puntos para el primer clasificado de 2268 - 2015 = 253, que es muy superior al total de puntos que puede sacar un equipo en una liga de 28, que es 108. Luego el total de equipos de la liga es exactamente 27.

Ahora, eso significa que el total de puntos es 2106, lo que hace que el total de puntos del primero sea 2106 - 2015 = 91.

Sabiendo que tiene 91 puntos, podemos restar la cantidad de partidos jugados, 91 - 52 = 39, es decir, debe haber ganado exactamente 39 partidos. Restamos porque si observas, en cada partido el equipo gana un punto seguro, y sólo obtiene otro si gana. Por tanto, restando el número de partidos se obtiene el número de victorias. También se puede hacer con un sistema, pero la solución me pareció menos interesante.

Circunferencia entre dos rectas

Enunciado

De este problema hay numerosas soluciones. Incluyo aquí una que me ha enviado Ricard Peiró, traduciéndola del original en valenciano, ya que este blog lo consulta mucha gente castellanoparlante.

Según vemos en el dibujo, se traza la recta perpendicular a r que pasa por A, y que corta a las rectas paralelas r y s en los puntos N y M, respectivamente.

Los segmentos AN y AM son de la misma longitud, llamémosla k. Veamos que, por construcción, la distancia AP también vale k, por lo que es independiente de la elección de B, y por tanto P está sobre una circunferencia de radio k centrada en A, que es tangente a las rectas r y s.

Aplicando el teorema de la altura al triángulo ABC, que es rectángulo y está dividido por una altura, tenemos que AP² = CP*BP.

Aplicando el teorema del cateto a cada uno de los dos catetos del triángulo ABC, AB² = CB*BP y AC² = CB*CP.

Dado que el ángulo CAB es recto, los ángulos NAC y MAB suman también 90 grados, por lo que los triángulos ANC y BMA son semejantes.

Aplicando proporcionalidad, tenemos que k/AC = MB/AB = √(AB² - k²)/AB.

Por tanto, elevando al cuadrado, tenemos que k²/AC² = (AB² - k²)/AB² y, puesto que ambas fracciones son iguales, también son ambas iguales a la fracción formada sumando ambos numeradores y ambos denominadores, AB²/(AB² + AC²) = AB²/BC².

Por tanto, k²/AC² = AB²/BC².

Eso significa que k²= AC²*AB²/BC².

Según hemos visto antes, tenemos que k² = CB*CP*CB*BP/BC² = CP*BP = AP², por lo que se tiene que k = AP, como queríamos demostrar.

Hay muchas otras demostraciones muy interesantes. En las soluciones oficiales podemos encontrar varias construcciones diferentes.

Desigualdad entre cuadrados

Enunciado

Efectivamente, según publican algunos seguidores, es una aplicación trivial de una famosa desigualdad, pero esta desigualdad es poco conocida para los alumnos a los que va dirigida esta prueba, y es relativamente sencillo manejar esta desigualdad con herramientas directas.

La parte más difícil es entender qué hacer con tantas variables. Una de las cosas más útiles es reducirlas. En este caso, usando que x no vale cero (el caso particular lo dejamos para el final), la desigualdad (ax + by)² ≤ ax² + by² es equivalente a ((ax + by)/x)² ≤ ax²/x² + by²/x², que si se simplifica queda (a + by/x)² ≤ a + b(y/x)². como se puede ver, todo depende de z=y/x, es decir, nos quedamos con la desigualdad equivalente que nos indica que (a + bz)² ≤ a + bz². Esto no es estrictamente necesario, pero nos dará una visión más clara.

Ahora, como a + b = 1, despejamos b = 1 - a y sustituimos en la igualdad, es decir, que nuestra desigualdad anterior es equivalente a (a + (1 - a)z)² ≤ a + (1 - a)z². Para poder probarlo, quitamos los paréntesis y restamos ordenadamente para comprobar si realmente la diferencia es positiva. Si es así, el extremo de la derecha será mayor que el de la izquierda.

Por un lado, (a + (1 - a)z)² = a² + 2a(1 - a)z + (1 - a)²z² = a² + 2az -2a²z + (1 - 2a + a²)z² = a² + 2az - 2a²z + z² - 2az² + a²z².

Por otro lado, a + (1 - a)z² = a + z² - az².

Si restamos la expresión de la derecha menos la izquierda, tendremos a + z² - az² - (a² + 2az - 2a²z + z² - 2az² + a²z²) = a - a² - 2az + 2a²z + az² - a²z²). Esta expresión, si sacamos factores comunes las diferentes potencias de z, obtenemos que es equivalente a a(1 - a) - 2a(1 - a)z + a(1 - a)z² = a(1 - a)(1 - 2z + z²) = a(1 - a)(1 - z)², que es claramente positivo, ya que es un producto de un cuadrado por dos valores positivos, ya que a y b = 1 - a son números positivos. Por lo tanto está demostrada la desigualdad.

Además, la igualdad se da cuando la expresión anterior vale cero, que es en el caso en que a o b valen cero, en el que es trivialmente cierta la igualdad, o bien cuando z = 1, lo que equivale a que x sea igual a y.

Queda por tratar el caso x = 0, en el que no podríamos dividir por x para iniciar la transformación. En este caso, la desigualdad queda (by)² ≤ by². Esta desigualdad es claramente cierta, ya que by² - b²y² = b(1 - b)y² = bay², que es un número positivo y sólo se anula cuando uno de los dos es cero. También es igualdad cuando y = 0, que en este caso también es igual a x.

Por tanto es un caso más de los que se ha hablado anteriormente.

La representación geométrica de todo esto nos daría otra visión para lograrlo, ax + by es un valor entre x e y, y con cuadrados sería un valor entre x al cuadrado e y al cuadrado, es decir, que sería un valor intermedio entre dos puntos de la parábola, comparado con el valor promedio de la parábola entre ambos, que es claramente inferior debido a la concavidad de la parábola.