miércoles, 16 de julio de 2014

Único para cada sucesión positiva creciente

Enunciado

En primer lugar, debemos hacer pruebas hasta comprender bien el enunciado. Supongamos que probamos con la sucesión 1, 2, 3, ... Observamos que a0 vale 1, realmente. Si comprobamos, 2 < (1 + 2)/1 ≤ 3, pero para valores mayores no se cumple, ya que 3 = (1 + 2 + 3)/2 y 4 > (1 + 2 + 3 + 4)/3. Si comprobamos otras sucesiones, es sencillo apreciar una regularidad. Siempre falla la segunda desigualdad para valores pequeños, y la primera para valores grandes, y sólo hay un valor para el que se cumplen los dos.

Veamos un ejemplo. Tomemos una progresión aritmética como 5, 7, 9, 11, ... Para valores pequeños de n, tenemos que (5 + 7)/1 > 9, pero (5 + 7 + 9)/2 ≤ 11, y también 9 < (5 + 7 + 9)/2. A partir de ahí, ya tenemos que 11 > (5 + 7 + 9 + 11)/3 y para valores posteriores también se cumple esa desigualdad, de forma que n = 2 es el único valor para el que se cumple en esta sucesión en concreto.

Para trabajar en general, quitaremos en primer los denominadores, de forma que las expresiones queden n*an < a0 + a1 + ... + an ≤ n*an + 1. En concreto, buscaremos el valor de n centrándonos en la primera desigualdad. Debemos estudiar la diferencia n*an - a0 - a1 - ... -an, y ver si es positiva o negativa.

Está claro que para n = 0 es negativa, ya que es a0 - a0 - a1 = -a1 < 0. Veamos si esta sucesión es creciente.

La diferencia entre un término y el anterior sería (n + 1)*an + 1 - a0 -a1 - ... -an - an + 1 - (n*an - a0 -a1 - ... -an) = n*an + 1 + an + 1 - a0 -a1 - ... -an -an + 1 -n*an + a0 + a1 + ... + an = n*an + 1 -n*an = n*(an + 1 -an), que es mayor que cero debido a que la sucesión original es creciente.

Por tanto tenemos una sucesión de números enteros nueva que es creciente y cuyo primer término es negativo, lo que significa que el valor n cumple la primera desigualdad seguro para el valor n = 1. Puesto que va aumentando, existirá un valor, que llamaremos k para concretar, de forma que el término que corresponde a k es negativo pero a partir del cual los términos de la sucesión sean mayores o iguales que cero, con lo que la desigualdad primera no se cumplirá para valores mayores que k, pero sí para el valor k y los inferiores.

Ahora, trataremos de ver que para ese valor de k se cumple la segunda de las desigualdades originales, y para valores inferiores no, por lo que k es el único valor que cumple las dos desigualdades iniciales y es mayor o igual a 1.

Recapacitemos: k es el único valor en que se cumple que k*ak - a0 - a1 - ... -ak es negativo y (k + 1)*ak - a0 - a1 - ... -ak - ak + 1 es positivo o cero.

Como ya hemos comentado, k*ak - a0 - a1 - ... - ak < 0 implica k*ak < a0 + a1 + ... + ak lo que a su vez nos lleva a que se cumple ak < (a0 + a1 + ... + ak)/k, que es la primera de las desigualdades.

Por otro lado, como (k + 1)*ak + 1 - a0 - a1 - ... - ak - ak + 1 ≥ 0, tenemos que (k + 1)*ak + 1 ≥ a0 + a1 + ... + ak + ak + 1, por lo que k*ak + 1 ≥ a0 + a1 + ... + ak, de donde se deduce que ak + 1 ≥ (a0 + a1 + ... + ak)/k, que equivale a la segunda de las desigualdades.

Como toda la deducción es perfectamente reversible, la segunda desigualdad implica que el término siguiente de la nueva sucesión es positivo, y la primera, que el término correspondiente es negativo, por lo que sólo hay un valor posible que cumpla ambas, y es el que hemos encontrado.