domingo, 27 de abril de 2014

Pesadas

Enunciado

Está claro que para pesar un kilogramo de lentejas, hay que poner un peso de 1 kg en la otra balanza, y que para pesar 2, basta repartir el peso de 3 y de 1, de forma que se resten, es decir, que el saco de lentejas debe acompañar a la pesa de 1 kg y en la otra balanza poner la de 3 kg.

Así, con sumas y restas, usando una única vez a lo sumo cada pesa, se tienen todos los valores que se desean.

En realidad sólo hay una única manera de hacerlo, y es extraño que las pesas elegidas sean las potencias de 3, ya que sólo funciona así con ellas, es decir, que si queremos pesar todas las cantidades hasta 40, añadiríamos al conjunto una pesa de 27 kg, y con una de 81 kg podríamos llegar a las cantidades hasta 121 ¡sin que falte ninguna!

Pero vamos a rellenar nuestra tabla:

Plato A Plato B Kilogramos de lentejas
101
312
303
3 + 104
93 + 15
936
9 + 137
918
909
9 + 1010
9 + 3111
9 + 3012
9 + 3 + 1013

Si te fijas, encontrarás cierta simetría en la forma de disponer las piezas, añadiendo siempre una pesa más para cifras crecientes. La siguiente serie sería similar a la que hay, pero cambiándolas de plato y añadiendo la pesa de 27 en el primero. ¿Serías capaz de seguir?

domingo, 6 de abril de 2014

Desigualdad con dos variables

Enunciado

En este tipo de problemas, la idea es tratar la expresión comparada con 0, para tratar de delimitar si hay o no algún cambio de signo.

La idea más acertada sería transformarla en la expresión 0 ≤ -x3 - xy2 - 2xy + 2x2y + x2 + x + y y a partir de aquí, factorizar la expresión para transformarla en alguna expresión claramente mayor que 0.

Para probar diferentes ideas, podemos tratar de sustituir una de las dos variables (la x o la y) por números válidos (por ejemplo, por 0, 1, 0.5, 0.2), para ver la expresión del polinomio que se presenta, de forma que tratemos de ver un resultado común, o al menos una idea general.

En este caso, parece que eso no nos da una idea que nos permita abordar el caso general.

Otra iniciativa que traté de hacer, de forma infructuosa, fue substituir las variables por t = 1 - x, que es positiva, o por s = 1 - y, que también lo es, y que estarían situadas exactamente en el mismo intervalo. Sin embargo, las expresiones que obtuve no me ofrecieron una idea, ni un factor común.

Una tercera vía fue intentar manipular los términos que tenían un coeficiente 2 para tratar de convertirlos en parte del cuadrado de una suma. Este trabajo sí que condujo a resultados claros. Por ejemplo, viendo que aparece 2x2y, traté de juntarlo con - x3 y con -xy2, de forma que sacando factor común - x, obtuviese el cuadrado de una suma. En efecto, -x3 - xy2 - 2xy + 2x2y + x2 + x + y = -x(x2 - 2xy + y2) + x2 - 2xy + x + y = -x(x - y)2 + x2 - 2xy + x + y.

Ahora, aparecen también en la expresión dos de los términos de (x - y)2, sólo falta el tercero, que podemos añadirlo por el sencillo método de sumar y restarlo, sin que varíe la expresión total, así, -x(x - y)2 + x2 - 2xy + x + y = -x(x - y)2 + x2 - 2xy + y2 - y2 + x + y = -x(x - y)2 + (x - y)2 - y2 + x + y.

Como aparece dos veces la misma expresión, podemos extraerla factor común, quedando -x(x - y)2 + (x - y)2 - y2 + x + y = (-x + 1)(x - y)2 - y2 + x + y.

Por último, reordenando algunos términos, dejamos (-x + 1)(x - y)2 - y2 + x + y = (1 - x)(x - y)2 + x + y(1 - y).

Ahora, esta expresión, que es equivalente a la primera, es claramente positiva, pues es suma de tres números que son positivos, por ser estos números productos de números positivos, ya que x e y tienen un valor entre 0 y 1, por lo que x, y, 1 - y y 1 - x son valores positivos, y el factor (x - y) está elevado al cuadrado, con lo que también es positivo. Eso significa que la suma de esos tres términos es un número positivo, y por lo tanto la desigualdad inicial es cierta, siguiendo la transformación a la inversa.