jueves, 28 de junio de 2007

Los rectángulos

Enunciado

De forma similar a como hacíamos en el problema "Los triángulos", debemos fijarnos en las formas que contamos, para determinar con exactitud el número de rectángulos (en este caso).

Los rectángulos formados por una sola pieza son, evidentemente, 3 en la primera figura, y 6 en la segunda.

Los rectángulos formados por dos piezas, unidas por el lado largo, son dos en la primera figura, y 4 en la segunda.

Los rectángulos formados por dos piezas, unidas por el lado corto, no existen en la primera figura, y son 3 en la segunda.

Los rectángulos formados por tres piezas, unidas por los lados largos, son una en la primera figura y 2 en la segunda.

Los formados por cuatro piezas, dos unidas por el lado corto a las otras dos, y entre sí por el lado largo, son exclusivas de la segunda figura, donde aparecen dos veces.

Y, por último, la figura segunda entera, formada por 6 rectángulos pequeños, que sólo aparece, evidentemente, una vez.

En total, en la primera figura cuento 3 + 2 + 1 = 6 rectángulos, mientras que en la segunda, cuento 6 + 4 + 2 + 3 + 2 + 1 = 18.

Si os fijáis, por cada rectángulo que encontremos en la primera figura, aparecen 3 en la otra, de forma que es lógico que el número de triángulos sea el triple.

Ejemplo

Ejemplo

Fíjate, que en la misma línea que el rectángulo azul, tenemos el verde, el amarillo, y el formado por ambos a la vez.

domingo, 24 de junio de 2007

Primos con cifras repetidas

Enunciado

Este problema es un poco atípico. Averiguar todos los primos de dos, tres, cuatro, cinco y seis cifras es muy pesado, y luego, hay que obtener aquellos que tienen cifras repetidas. No. Se trata de darle la vuelta a la pregunta. ¿Cuantos números que tengan las cifras repetidas son primos? Así, resulta mucho más claro.

Empecemos por la primera pregunta. Hay 9 números que tienen las cifras iguales, de dos cifras, 11, 22, 33 ... 99. Evidentemente, sólo puede ser primo el 11, ya que todos los demás son múltiplos de 11 (por ejemplo, 77 = 7*11). Sucede lo mismo con los números de más de 2 cifras, de forma que la respuesta que podemos dar hasta ahora es que, como mucho, hay un primo de cada clase, con las cifras repetidas, es decir 11, 111, 1111, 11111 y 111111.

Pero ¿son primos? 11 sí, ya lo conocéis. No es divisible por 2 ni por 3, y no puede tener un factor mayor, porque 5*5 ya es mayor, da 25.

¿Y 111? Sus cifras suman 3, y ya sabéis qué les pasa a los números cuyas cifras suman 3 ¿no? Pues claro, 111 = 3*37.

De la misma forma, 111111 no es primo, ya que es 3*37037.

Aplicando otras reglas sencillas de divisibilidad, podemos observar que 1111 es divisible por 11 (sus cifras pares suman lo mismo que las impares), de hecho 1111=11*101.

Nos queda la única duda seria, 11111. Podéis ir probando con él todas las reglas que conozcáis, que seguro que no obtenéis nada. Hay que armarse de paciencia y emplear el único método seguro. Tratar de dividirlo entre primos cada vez más grandes, hasta que encontremos una descomposición, o lleguemos a su raíz cuadrada (cuando la pasemos, como en el caso de 5 y 11, ya sabremos que es primo).

Así, dividiremos infructuosamente 11111 entre 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41 ...

Pero, al llegar a 41, hay una sorpresa aguardándonos. 11111 = 41*271. Luego no es primo. Menos mal, porque habríamos tenido que seguir dividiendo hasta el 105.

Entre los que nos preguntan, por tanto, sólo hay un verdadero primo, el 11.

jueves, 21 de junio de 2007

Familias cariñosas

Enunciado

Hemos de estudiar cómo se relacionan el número de besos y abrazos con la cantidad de hombres y mujeres de cada una de las familias.

Supongamos que una familia está formada (por ejemplo), por 2 hombres y 5 mujeres, y la otra, por 4 hombres y 3 mujeres.

Los hombres se abrazan sólo a los hombres, por lo que el número de abrazos total se calcula multiplicando 2 por 4, que da un total de 8. Las mujeres, dan besos a todos los hombres y las mujeres de la familia opuesta, por lo que el número de besos es de 5*(4 + 3) + 3*(2 + 5) , es decir, 35 + 21 = 56.

Corrección: Por comentario de un anónimo, me doy cuenta de que con este sistema cuento los besos entre mujeres dos veces, lo cual no se comenta en el problema. Por tanto, el sistema de cálculo sería realmente 5*(4 + 3) + 3*2 = 35 + 6 = 41.

Ahora bien, en el problema planteado tenemos otras cifras, un total de 35 abrazos y 42 besos. Puesto que el producto de las dos cantidades de hombres ha de dar 35, dejando de lado (de momento) casos triviales, concluimos en que en una familia hay 5 hombres y en la otra 7. Supongamos que x es el número de mujeres de la familia de 5 hombres, y que y es el número de mujeres de la familia de 7 hombres. En ese caso, x*(7 + y) + y*(5 + x) = 42.

Corrección: Siguiendo con la fórmula alternativa (y correcta), la fórmula sería x*(7 + y) + y*5 = 42.

Podemos ir probando valores hasta dar con x e y válidos, pero no sabríamos por dónde empezar o cuándo parar. Un buen sistema para dirigir el tanteo es tratar de despejar una de las dos variables en función de la otra, si es posible, y estudiar la función resultante.

En nuestro caso, para despejar x, tomamos 7x + 5y + 2xy = 42 y sacamos factor común la x, quedando x*(7 + 2y) = 42 - 5y. Dividiendo, x = (42 - 5y)/(7 + 2y). Puesto que la y es entero, nunca se anula 7 + 2y.

Corrección: Despejar es similar, sólo que ahora queda x = (42 - 5y)/(7 + y)

También podríamos despejar la y de una manera similar, quedando de 7x + 5y + 2xy = 42, el resultado y*(5 + 2x) = 42 - 7x, de forma que y = (42 - 7x)/(5 + 2x). Tampoco puede anularse el denominador, y además, puesto que 42 es múltiplo de 7, resulta que y = 7*(6 - x)/(5 + 2x).

Corrección: De la misma forma, y = 7*(6 - x)/(5 + x), realmente.

En estos casos, sobre todo si las funciones son más sencillas, podemos tener la tentación de usar ambas igualdades como si fuesen un sistema de ecuaciones. No lo hagáis. Si proceden de la misma igualdad, al usarlas combinadas os proporcionarán, en el mejor de los casos, una identidad (del tipo 3 = 3). Tener dos ecuaciones, en este caso, nos permite sólo escoger la más sencilla.

En este caso, es evidente que la segunda es más informativa. Está claro que si la división debe ser exacta, 5 + 2x debe ser 7, ya que si no fuese múltiplo de 7, debe dividir a 6 - x, que siempre es menor que 6. Y no puede ser mayor que 7, porque para eso 2x debería ser mayor que 6, y entonces 6 - x sería negativo (y, claro, y también lo sería).

Luego x vale 1, e y vale 5. De esta forma, las familias están compuestas por 1 mujer y 5 hombres, y la otra está compuesta por 5 mujeres y 7 hombres. Así, los abrazos serían 7*5 = 35, y los besos serían 5*6 + 1*12 = 42.

Corrección: Debemos rehacer todo el razonamiento con las nuevas expresiones, ya que aunque el razonamiento de que el denominador (5 + x) es múltiplo de 7 es correcto, ahora x debe ser 2, y la y debe valer 4. Los abrazos serían 7*5 = 35, y los besos 2*11 + 4*5 = 42.

¿Y las soluciones triviales? Podría darse el caso en el que obtuviésemos 35 multiplicando 1*35, es decir, que hubiese 35 hombres en una familia y sólo 1 en la otra. En ese caso, la ecuación se podría representar como x*(y + 35) + y*(x + 1) = 42. Repitiendo el razonamiento seguido anteriormente, obtenemos que y = 7*(6 - 5x)/(1 + 2x), que sólo admite la solución x = 0, es decir, que una familia estuviese formada por un único hombre y la otra tuviese 42 mujeres y 35 hombres, cosa que contrasta con el enunciado, que afirma que ambas familias son numerosas.

Corrección: De nuevo, en las soluciones triviales tenemos que aplicar la fórmula correcta, y tendríamos x*(y + 35) + y*x = 42, de donde y = 7*(6 - 5x)/(1 + x). De nuevo, sólo puede ser x = 0, así que no hay más soluciones.

domingo, 17 de junio de 2007

Números con palillos

Enunciado

Si tenemos que gastar 50 palillos en dibujar el número más pequeño posible, necesitaremos que tenga la menor cantidad de cifras, para lo que escogeremos aquella cifra que use la mayor cantidad de palillos.

Observando la imagen de ejemplo, y contando los palillos que usa cada dígito, concluimos que tendremos que usar el 8, con el que gastamos siete palillos.

El múltiplo de 7 más cercano a 50 es 49, 7*7, pero si dibujamos 7 dígitos 8, sólo nos sobrará un palillo, por lo que no podemos usarlo para ningún dígito y acabar el número.

Así que necesitaremos gastar 42 palillos en dibujar 6 ochos, y nos sobrarán 8 palillos, con los que completaremos el número.

Es evidente que no podemos dibujar una sola cifra con 8 palillos, así que necesitamos 2 cifras. La más pequeña (que usaremos de primera cifra) es un 1, que gasta dos palillos (no podemos usar el cero, pues según el problema no podemos poner ceros a la izquierda). Nos quedarán 6 palillos para otra cifra. Si miramos la lista de dígitos, la más pequeña que podemos dibujar con 6 palillos es el 0 (que sí podemos usar si no es a la izquierda del todo). Como es más pequeña que ocho, la situaremos delante. El resto, como está dicho, estará formado por 6 ochos, así que el número será el 10888888.

jueves, 14 de junio de 2007

El número

Enunciado

Este problema es de los más sencillos que podemos encontrar en esta competición.

Supongo que sabrás que un equipo de baloncesto está compuesto por cinco personas, de ahí que el primer dígito sea un 5.

El triple de 5 es 15, por lo que esos son los dígitos segundo y tercero.

Por último, el cuarto dígito es suma del segundo y el tercero, de forma que es un 6.

El número es, por tanto, el 5156.

domingo, 10 de junio de 2007

La cadena blanca y negra

Enunciado

Como primera medida, deberemos probar la misma situación descrita sobre una cadena más pequeña. Supongamos que ponemos dos bolas blancas y dos negras (deben ser pares, para poder tomar la mitad) en una cadena abierta. Si tomamos las dos primeras bolas, puede que tengamos una de cada color (en cuyo caso ya tendremos resuelta la situación), o bien han de ser del mismo color, en cuyo caso las otras dos serán del color opuesto, así que bastará tomar la cadena formada por las dos centrales.

¿Y si tomamos seis blancas y seis negras? Procediendo de la misma forma, al tomar las seis primeras que encontremos, puede que ya sean tres de cada clase, o que predominen de uno de los dos tipos. Si se produce esta situación, podemos ir pasando bola a bola, tomando la siguiente de la cadena y soltando la otra. ¿Llegaremos a encontrar la mezcla adecuada? Pensemos un poco.

En el fragmento que queda la situación es exactamente al contrario (si tenemos en el primer fragmento, por ejemplo, cuatro negras y dos blancas, en el otro habrá dos negras y cuatro blancas). Si consideramos el valor "bolas negras menos bolas blancas", en este momento valdrá 2. Cuando pasamos a la bola siguiente y dejamos la anterior, puede que dejemos las cosas como estaban (si eran del mismo color) o bien que varíe en dos unidades (porque una sea de un tipo y la otra de otro). Cuando repetimos el proceso hasta el final de la cadena, llegamos a un valor de -2, por lo que en algún momento pasará de ser positivo a valer 0, antes de volverse negativo. En ese momento tendremos 6 bolas de forma que 3 serán de un color y 3 de otro.

Es fácil ver que, puesto que tenemos un número par de bolas de dos colores, el resultado de la diferencia siempre es par (en caso contrario, si partiésemos de una diferencia impar, podríamos pasar de positivo a negativo sin pasar por el cero, desde el 1 al -1).

Este resultado se puede extender a cualquier número de bolas de dos colores, siempre que sea par (por ejemplo, 2008 bolas blancas y 2008 negras).

jueves, 7 de junio de 2007

La fábrica de bicicletas

Enunciado

Si produce 300 y las vende todas a 600 euros cada una, lo que obtiene son 180000 euros en total. Si aumenta en 7 euros el precio de venta, hasta un total de 607 euros, venderá 3 menos, es decir, 297, según el enunciado del problema, lo que le permitirá obtener 297*607 = 180279 (y tres bicicletas en el almacén, que no cuentan para nuestros cálculos). Es decir, que es evidente que le convendría aumentar el precio de venta.

¿En qué momento se alcanzan los mayores beneficios? Una buena forma de abordar el problema consiste en estudiar cómo va aumentando el resultado, hasta que el aumento se vuelva negativo, es decir, disminuye.

Como nos dicen que hay que ir aumentando de 7 en 7 (no vamos a entrar en cantidades más pequeñas, aunque podríamos hacerlo, jugando con fracciones), representemos el aumento de precio por bicicleta como 7n, con n un valor entero. Así, cada bicicleta costará 600 + 7n.

Como vendemos 300 bicicletas y por cada 7 euros que aumentemos el precio dejamos de vender 3, si cobramos por ellas 600 + 7n, venderemos 300 - 3n. La cantidad total recaudada será entonces (600 + 7n)(300 - 3n) = 180000 + 2100n - 1800n - 21n2 = 180000 + 300n - 21n2.

Se puede comprobar que esto coincide con el valor anterior (180279) para n = 1.

Podríamos ir dándole valores a n hasta obtener el mayor valor posible, pero sería una gran pérdida de tiempo. ¿Qué pasa cada vez que aumentamos n? Que cambiamos n por n + 1 en la fórmula. Podemos comprobar cuál es la diferencia entre el resultado que corresponde a n y el que corresponde a n + 1. Si este resultado es negativo, es que habremos llegado al más alto valor posible, pues el dinero total disminuye en vez de aumentar.

Ya hemos visto que para n recaudamos 180000 + 300n - 21n2. Si cambiamos n por n + 1, n2 es substituido por (n + 1)2 = n2 + 2n + 1 (desarrollo del cuadrado de la suma). Por tanto, con n + 1 aumentos, recaudaremos 180000 + 300n + 300 - 21 - 21*2*n - 21*n2 = 180279 + 258n - 21n2.

Para comparar estas dos fórmulas, puesto que son sumas, conviene restarlas (si hubiesen sido productos, podríamos haberlos dividido). Como hay una parte muy similar, la diferencia entre ambas se simplifica bastante. Así, (180279 + 258n - 21n2) - (180000 + 300n - 21n2) = 279 - 42n.

Es decir, que el valor recaudado aumentará siempre y cuando 279 - 42n sea positivo, es decir, que 279 - 42n > 0. Eso significa que 279 > 42n, es decir que aumentará siempre y cuando n < 279/42, que vale aproximadamente 6. Para valores superiores a éste, no conviene aumentar el precio, porque ganaremos menos. Así, el último valr en el que ganamos es cuando subimos del valor 6 de n a 7, y mayores aumentos no suponen beneficio.

El valor al que debemos vender nuestras bicicletas es de 649 euros, y venderemos un total de 279, ganando 649*279 = 181071.

Para conseguir más precisión podríamos haber usado fracciones y aumentar de euro en euro, pero el resultado habría sido menos claro.

domingo, 3 de junio de 2007

El parque zoológico

Enunciado

Este es un problema que está lleno de proporciones. Para poder compararlas y pasar cantidades de una a otra hemos de reducir esas proporciones a cantidades comparables en uno de sus extremos. De esta forma si nos dicen que quince osos comen tanta comida como 150 monos, veremos que cada oso come en promedio como 10 monos (dividiendo en quince grupos a ambos tipos de animales) y podemos usar esa proporción más fácilmente.

Busquemos una ruta que nos lleve de los elefantes a las musarañas. Elefantes se compara con osos, osos con monos, monos con musarañas. Ahora vamos a transportar las comparaciones a lo largo de esa ruta.

16 osos comen lo mismo que 10 elefantes, es decir, que 8 osos comen lo mismo que cinco elefantes. Como hemos visto, cada oso come como 10 monos, por lo que 8 osos comen como 80 monos. Así, cinco elefantes comen lo mismo que 80 monos. Podemos simplificar diciendo que un elefante come como 16 monos (dividiendo entre 5).

100000 musarañas comen como 50 monos, es decir que (haciendo 50 grupos) 2000 musarañas comen como un único mono. Como nos interesa saber las musarañas que equivalen a 16 monos, serán 16*2000 = 32000. Por eso, cada elefante come como 32000 musarañas.

Así, catorce elefantes comerán lo mismo que 14*32000 = 448000 musarañas. Por cierto, hablando de comidas y comparaciones ¿sabes que un ser humano, a lo largo de su vida se come en peso a seis elefantes adultos?