domingo, 30 de octubre de 2011

Construyendo superficies

Enunciado

Doble toro

Doble toro


Este es un típico problema de visualización, que no es fácil representar. He visto los trabajos que han hecho algunos lectores para el país, especialmente las imágenes, y me siento totalmente incapaz de dibujar nada remotamente parecido.

Líneas de colores

Líneas de colores

La solución es el doble toro (flotador con doble agujero) que aparece dibujado junto al primer párrafo. Mi dibujo ha sido, sobre todo, para representar dónde quedan las líneas una vez que unimos los segmentos. La clave está en imaginar dónde va a parar cada una de las líneas mientras unimos las demás. Hay que tener cuidado, ya que si unimos dos líneas que comparten un segmento entre ambas, el segmento queda como un círculo rodeado de superficie, y si unimos dos segmentos rodeados de superficie. creamos un agujero a la superficie (un asa de una taza, o un flotador).

No quiero acabar sin citar los dibujos más impresionantes de los siguientes lectores de El País: Javier Castellano Colmenero, Sergio Guerrero y Miguel Ángel Ochando.

sábado, 22 de octubre de 2011

Ceros anteriores

Enunciado

Empecemos por saber cuál es la última cifra. Observamos que la última cifra de un producto depende exclusivamente de la última cifra de los factores, en este caso, multiplicar 2009 por 2009 tendrá al 1 como última cifra, ya que esa es la última cifra de 9 por 9. Así, uc(20092) = 1. De la misma forma, la última cifra de 20094 es 1, y también la última cifra de 20092n para cualquier valor natural de n. Por eso, 20092011 acaba en 9.

Ahora, para saber cuántos ceros hay delante del 9 es necesario calcular unas cuantas cifras más. Empecemos por calcular las dos últimas. Está claro que las dos últimas cifras de 20092 coinciden con las de 92, es decir, con 81. De la misma forma, las dos últimas cifras de 20092011 coincidirán con las dos últimas cifras de 92011. Para trabajar con sucesivas potencias Una forma de trabajar con estas potencias es escribir 9 = 10 - 1 y desarrollarlo como la potencia de una suma, según la forma del binomio de newton. Esto es así porque a partir del tercer término nos da igual el coeficiente que lleven, pues al ir multiplicados por una potencia mayor que 2 de 10, acaban en 2 ceros. Los últimos dos términos serán 2011*10 - 1, con lo que acabará en 09. Ya sabemos que al 9 le precede al menos un cero.

Procedemos ahora a averiguar la tercera cifra de forma similar. De nuevo, consideramos que las tres últimas cifras de 2009nson las mismas que las de 9n, pues no influyen otras cifras. Y de nuevo usamos el desarrollo de (10 - 1)2011, en esta ocasión tomando los tres últimos términos (los otros van multiplicados por una potencia de 10 que acaba en al menos tres ceros). Así, debemos calcular los tres últimos términos de -(2011*2010/2)*100 + 2011*10 - 1 = -202105500 + 20110 - 1. Si miramos las últimas tres cifras, serán -500 + 110 - 1 = -391. Evidentemente, esta cifra no será negativa, sino que irá restada de un número aún más grande que acaba en al menos tres ceros, por lo que sus tres últimas cifras serán las mismas que las de 1000 - 391 = 609. Así, sabemos que sólo hay un cero precediendo al 9, y delante tiene un 6.

Ha sido una suerte que no hemos tenido que trabajar con la base completa de la potencia, lo que habría complicado enormemente el cálculo.

También se pueden buscar regularidades en las cifras de la potencia, aunque tal vez llevaría demasiado tiempo.

jueves, 20 de octubre de 2011

Sumando y restando cuadrados

Enunciado

Hay muchas formas de proceder en este problema, casi todas tratan de agrupar por diferencias los cuadrados, para que sea más sencillo sumar esta larga lista.

El más directo me ha parecido escoger los cuadrados de dos en dos, empezando por los menores. En realidad la primera pareja sería 12 - 02, para que haya una cantidad par, y el resultado sería 1. La segunda pareja sería 32 - 22, y sería 5. La tercera pareja, 52 - 42 tendría 9 como resultado. ¿Será esa la expresión, reducirlo a una sucesión que salta de cuatro en cuatro? En realidad basta observar que cada pareja se puede expresar como (2n+1)2 - (2n)2, que desarrollando queda 4n + 1. Luego en realidad se trata de una suma de 1006 términos de una progresión aritmética, es decir, que avanzan de 4 en 4. Como muchos supondréis, basta escogerlos por parejas desde los extremos (primero con último, segundo con penúltimo, etcétera) y la suma será constante, 4022. Así que la suma será 503 veces 4022, es decir, 2023066.

Otra forma de sumarlo, más rápida, sería la que propone uno de los que comenta en el blog, basándose en la diferencia de cuadrados: a² - b² = (a+b)(a-b). Luego 2011²-2010²=(2011+2010)(2011-2010)=2011+2010 y de forma similar 2009²-2008²=(2009+2008)*(2009-2008), etcétera, hasta que 3²-2²=3+2. Entonces la suma es igual a 1+2+3+4+...2010+2011 = 2011*2012/2 = 2023066 (esta última suma se puede razonar de forma similar).

domingo, 16 de octubre de 2011

Dos alfombras triangulares

Enunciado

La idea más importante del problema es que las dos alfombras tienen una extensión igual a la mitad de la habitación.

En efecto, una de sus bases es igual que uno de los lados de la habitación y la altura correspondiente es igual al otro lado, luego su área será la mitad que el rectángulo.

Como la superficie que tapan es igual a la suma de las áreas (es decir, el total de la habitación) menos el área en común, tenemos que esa área común debe ser igual a la cantidad de habitación que queda descubierta, pues el área de la habitación es igual a la zona descubierta más el área tapada por el conjunto de las dos alfombras.

Dicho de otra forma, si llamamos u a la zona que tapan entre las dos alfombras, x a la zona sombreada en negro, S a la extensión total del rectángulo, y 4,2 mide la zona en blanco, tenemos que S = u + 4,2 = S/2 + S/2 - x + 4,2, de donde x= 4,2 metros cuadrados.

sábado, 15 de octubre de 2011

El precio de las bicicletas

Enunciado

Si entendemos lo que significan los incrementos proporcionales, sabremos que aumentar un precio un 20% es multiplicarlo por 1,2 (o por la fracción 120/100), de forma que si 192€ es el resultado de aumentarlo, el precio original debería ser 192/1,2 = 160€.

Por otra parte, rebajar un 20% el precio significa multiplicarlo por 0,8, de forma que si el resultado es también 192€, el precio original será 192/0,8 = 240€.

De esta forma, lo que pagó inicialmente fue 160€ más 240€, un total de 400€, mientras que en la venta sólo obtuvo 192€ por dos, es decir, 384€. En resumen, perdió 16€.

Hay gente que piensa que no es posible, pues aumentó y redujo la misma cantidad (un 20%). Sin embargo, eso es falso, puesto que es una proporción, y un 20% de una cantidad más alta siempre será mayor que el de otra cantidad menor.

viernes, 7 de octubre de 2011

Los bloques

Enunciado

La verdad es que este enunciado no lo he entendido bien, creo que la redacción podría haber sido mejor.

Interpreto que lo que quiere saber es cuántas longitudes diferentes se pueden construir con los bloques que le han sobrado, pero no está claro.

Si es así, está claro que puede conseguir cualquier cantidad entre 1 a 4 con los bloques de tamaño 1, de 5 a 9 con un bloque de tamaño 5 (y los 4 de 1), de 10 a 14 y de 15 a 19 usando, respectivamente, dos y tres de 5. Con todo esto puede conseguir todos los números de 1 a 19. Después, con un bloque de 25 puede conseguir los números de 25 a 44, con dos, de 50 a 69, y con tres, del 75 al 94.

En total, puede conseguir 79 (si entendemos que puede conseguir 0 sin poner ningún bloque, tendríamos 80 = 5*4*4).

domingo, 2 de octubre de 2011

Llenar y tapar un rectángulo

Enunciado

Proceso de construcción

Proceso de construcción

Este problema es muy original, y no es fácil dar sin ninguna pista con la estrategia adecuada. Se basa en que un rectángulo, como pasa con los triángulos, siempre se pueden dividir de forma exacta en cuatro rectángulos semejantes con dimensiones a escala 1/2.

Imagina que puedes llenar un rectángulo con n círculos de radio r. Eso significa que no puedes situar en el rectángulo el centro de otro círculo de radio r sin que se solape (es decir, si que tenga intersección) con alguno de los círculos que ya están en él. Dicho de otra forma, cualquier punto de un rectángulo está a menos distancia que r de uno de los círculos, es decir, que si hacemos los círculos de tamaño 2r, taparemos por completo el rectángulo.

Es cierto que un círculo no puede dividirse en cuatro círculos, pero ahora es cuando vamos a jugar con las semejanzas. Cuando tenemos un rectángulo tapado con círculos de radio 2r, construyamos una figura semejante a escala 1/2. Obtenemos un rectángulo cuyo ancho y alto miden exactamente la mitad, y que está completamente tapado por n círculos de radio r. Ahora, construyamos otros tres exactamente iguales, y los disponemos tapando el rectángulo original de la forma evidente (dos arriba y dos abajo), respetando la situación de los n círculos en cada uno de ellos. Tenemos, por tanto, un rectángulo exactamente igual que el original, pero tapado por 4n círculos de radio r.