jueves, 29 de noviembre de 2007

El reino sin 3

Enunciado

Como hemos visto, al faltarles una cifra, cuando llegan al 4 en realidad tienen 3 de los nuestros, por lo que su 10 en realidad es nuestro 9. De la misma forma, se saltan un número entre el 12 y el 14, por lo que su 14 es nuestro 12. De esta forma, llegan a 29 cuando en realidad tienen 26 objetos (saltan 1 de cada 10). Sin embargo, no pueden usar 30 ni ninguno de los números de esta decena, pues no conocen el 3, así que el número que seguirá a 29 será el 40, equivalente a nuestro 27 (de repente nos "retrasaremos" 10 números).

De esta forma, cuando lleguen al 99, arrastrarán una diferencia de 10 por la decena del 29 al 40 y otros 9 por los saltos que habrán dado en cada decena (una por cada cifra de las decenas, y otra por la primera decena de los números con una cifra). Su 99 equivaldrá, entonces, a nuestro 80. Otra forma de pensarlo sería que han usado todas las parejas de cifras entre el 0 y el 9, sin contar el 3, que son 9 (con el 0 delante se forman los de una sola cifra). Eso haría un total de números de 9*9 = 81, pero como también he contado el 00, pues voy por el número 80.

El caso, es que su 100 es nuestro 81. Nos quedan sólo contar 19 para llegar al 100. Pero si les añadimos 19 números de los suyos, hay que tener en cuenta que no cuentan ni el 103, ni el 113, es decir, que en realidad es el 121 suyo el que vale lo mismo que para nosotros 100.

No es casualidad que 121 en nuestra forma de contar sea 11*11, pero esas coincidencias las podrás ver en otro lugar, si alguna vez descubres otras bases numéricas y formas de contar.

domingo, 25 de noviembre de 2007

Tres números especiales

Enunciado

A esta terna de números podría unirse el 21, que es 3171. Con eso, serían 4 números consecutivos cuya descomposición está formada por primos elevados a potencia impar. No podríamos añadir más, ni por bajo (20 = 225) ni por arriba (25 = 52).

¿Habrá, entre todos los números naturales algún grupo de 5 números con esa propiedad?

El principal problema que puede aparecer es el primo más pequeño (el 2), que aparecerá varias veces (en nuestro ejemplo, en 2 ocasiones). Por supuesto, podría aparecer incluso más, hasta tres ocasiones, siempre y cuando el del centro fuese mayor e impar, como en el ejemplo. Podemos hacer una búsqueda entre los múltiplos de 8.

El propio 8 nos proporciona poca ayuda, al tener el 9 a continuación.

El 16 es una potencia par en sí mismo.

Si probamos con 32 = 25, descubrimos que tiene a su lado a 31 = 311 y a 33 = 31111. Más allá, encontramos 30 = 213151 y 34 = 21171. También podemos añadir el 35 = 5171 y el 29 = 291. En total, son 7 números con la propiedad que hemos buscado.

Si seguimos, no encontraremos cadenas más largas. Del 37 al 43, centrada en 40 encontramos otra de 7.

De 53 a 59 encontramos otra cadena de 7, centrada en el 56, pero siempre están limitadas por potencias pares de 2. ¿Sucederá siempre?

Efectivamente, si tuviésemos 8 números con esa propiedad, uno de ellos sería múltiplo de 8 (sus restos al dividir serían todos distintos, y sólo puede haber 8, así que uno de ellos sería 0). Como son 8, podemos avanzar o retroceder 4 desde él, y volveríamos a encontrar a un múltiplo de 4, pero que no puede ser un múltiplo de 8 (está a sólo 4 unidades de uno). De esta forma, el exponente de 2 debe ser 2 (no puede ser mayor), es decir, par. Nuestro mejor resultado lo logramos poniendo el múltiplo de 8 en el centro, para no poder avanzar ni retroceder 4, como hemos visto, ya que siempre se obtienen potencias de 2 de exponente par al hacerlo.

jueves, 22 de noviembre de 2007

Un cuadrado en cinco rectángulos

Enunciado

Este problema es muy sencillo de plantear. Puesto que sabemos las áreas y los lados, basta que empecemos a asociar los que pueden dar como resultado ese producto.

Lo primero que debemos hacer es confirmar que tenemos área para cubrir los 121 centímetros cuadrados que se nos pide. En efecto, 9 + 16 + 18 + 28 + 50 = 121

Por ejemplo, 9 centímetros cuadrados sólo podría obtenerse multiplicando 3 por 3 o 9 por 1, puesto que los lados son números enteros. Como cada lado mide una cantidad distinta, este rectángulo debe ser de 9 por 1 centímetros.

De forma similar, 16 no puede ser más que 2 por 8.

El cuadrado de área 50 se puede conseguir únicamente multiplicando 5 por 10, porque los dos factores han de estar entre 1 y 10.

También es sencillo 28, que debe ser 4 por 7.

Y los dos lados que sobran, 3 y 6, forman el rectángulo de 18.

Juntamos los dos más largos

Juntamos los dos más largos

¿Cómo colocar los cuadrados? Empezamos con el de lado 10, que tiene casi la longitud del cuadrado completo. La única forma de completar 11 es que situemos junto a él el rectángulo de lado 1 por 9, como indica la primera figura. Evidentemente, lo podemos girar y desplazar hasta ponerlo en varias posiciones, pero todas son equivalentes.

Tercer rectángulo

Tercer rectángulo

Ahora, entre el rectángulo de lado 9 y 11, que es el lado del cuadrado, debemos poner el rectángulo de lado 2 por 8, y esto se puede hacer de dos formas, que en realidad son la misma, vista en un espejo, salvo desplazamientos de la pieza más grande. Se trata de la segunda figura.

Como antes, entre el lado 8 y el resto del cuadrado únicamente podemos poner el rectángulo de tamaño 3 por 6.

Cuadrado completo

Cuadrado completo

Evidentemente, podemos comprobar que el hueco que queda en el centro de estos cuatro rectángulos mide, en área, lo mismo que el rectángulo que nos sobra, como no podía ser de otra forma, por la suma que hicimos antes. Lo más curioso es que realmente también coincidan sus lados, como podemos comprobar, sumando 11 entre todos.

domingo, 18 de noviembre de 2007

Padre e hijo

Enunciado

El producto de las dos edades es 1003, la mitad de 2006, puesto que el doble sería el año 2006.

¿Qué factores podemos encontrar que puedan corresponder a edades y proporcionar 1003? Evidentemente, 1 y 1003 no valen, salvo que hablemos de un padre muy especial. Y 1003 sólo es divisible, además, por 17 y 59. Es decir, que debe ser 17*59 = 1003, y las edades son 59 y 17. Está claro que el hijo debe ser el más joven.

jueves, 15 de noviembre de 2007

Mensaje secreto

Enunciado

Como los números de arriba tienen que ser suma de los de abajo, el 9 es uno de los números de arriba seguro ¿no? Sin embargo, no estamos seguros de si debe ir en un extremo o en uno de los del centro.

Supongamos que está en un extremo. El del extremo inferior podría ser un 1, pero entonces el inmediato sería un 8, y no podríamos poner nada al lado.

Con un 9 arriba, y un 2 en el extremo de abajo, hemos de poner un 7, y junto a el un 1 (arriba un 8). Junto al 1 podríamos poner un 3 (arriba un 4), pero junto al 3 no podemos poner nada, pues sólo quedan un 5 y un 6.

Otra posibilidad sería poner un 4 (arriba un 5), pero de nuevo no podemos poner el 3 y el 6.

Si ponemos el 5 (arriba el 6), nos quedamos sin poner el 3 y el 4.

Por tanto, con el 9 en el extremo hemos de usar por lo menos un 3 abajo. Junto a él, un 6. Si al lado del 6 ponemos un 1 (un 7 arriba), nos quedan 2, 4, 5 y 8, por lo que tendríamos que poner el 4 junto al 1 y no podemos situar los otros.

Si junto al 6 ponemos un 2 (un 8 arriba), nos quedan 1, 4, 5 y 7. Tenemos que poner un 5 y de nuevo nos quedamos sin poner nada más. Luego tampoco podemos poner un 3 en el extremo.

Con el 9 en el extremo, ponemos un 4 en el extremo de abajo. Junto a él, un 5. Al lado del 5 puede ir un 1 (arriba un 6). Nos quedan 2, 3, 7 y 8. Si ponemos el 2 no podemos poner los otros, y tampoco si ponemos el 7. Luego un 1 no puede ir junto al 5.

Si junto al 5 ponemos un 2, arriba va un 7. Nos quedan 1, 3, 6 y 8. De nuevo fracasamos al poner tanto un 1 como un 6.

Si junto al 5 ponemos un 3, arriba va un 8. Nos quedan 1, 2, 6 y 7. No podemos seguir. El 4 queda eliminado como candidato al extremo.

Si, con el 9 en el extremo ponemos un 5, junto a él un 4, junto al 4 podemos poner un 2 (arriba un 6). Nos quedan 1, 3, 7 y 8. Tendríamos que poner el 1 (arriba un 3) y un 7 al lado (8 arriba).

Primera solución

Primera solución

Este podría ser nuestro número (963854217), aunque también valdría escrito al contrario, (836971245).

¿Sería el único resultado? Junto al 4 podríamos poner también un 3 (7 arriba). Sobran 1, 2, 6 y 8. Ninguno puede ir junto al 3.

Ahora, con el 9 en un extremo, ponemos un 6 en el extremo de abajo, junto a un 3. Al lado podemos poner un 1 (arriba el 4), y sobran 2, 5, 7 y 8. Sólo podemos poner el 7 y luego no podemos seguir.

También podemos poner un 2 (5 arriba). Sobran 1, 4, 7 y 8. No podemos poner ninguno más.

También podemos poner un 4 (7 arriba). Sobran 1, 2, 5 y 8. Podemos poner el 1 junto al 4, pero nada más.

También podemos poner un 5 (8 arriba). Sobran 1, 2, 4 y 7. Podemos poner el 2 junto al 5, pero nada más.

Ya queda menos. Con el 9 en un extremo, ponemos un 7 en el extremo de abajo, junto a un 2. Al lado podemos poner un 1 (arriba el 3), y sobran 4, 5, 6 y 8. Si ponemos el 4, o el 5 nos quedan números sin poner.

Si junto al 2 ponemos un 3 (arriba un 5), sobran 1, 4, 6 y 8. Podríamos poner un 1, pero no llegaríamos más lejos.

Si junto al 2 ponemos un 4 (arriba un 6), sobran 1, 3, 5 y 8. Podríamos poner un 1, pero no llegaríamos más lejos.

Si junto al 2 ponemos un 6 (arriba un 8), sobran 1, 3, 4 y 5. No podemos poner ninguno más.

Acabamos con el 9 en un extremo, poniendo un 8 en el extremo de abajo. Junto a él, va un 1. Al lado del 1 podemos poner un 2 (arriba un 3), con lo que quedan 4, 5, 6 y 7. Sólo podemos poner el 4, pero no seguimos adelante.

Si junto al 1 ponemos un 3 (arriba un 4), sobran 2, 5, 6 y 7. Podríamos poner un 2, pero no llegaríamos más lejos.

Si junto al 1 ponemos un 4 (arriba un 5), sobran 2, 3, 6 y 7. Podríamos poner un 2 o un 3, pero no llegaríamos más lejos en ninguno de los dos casos.

Si junto al 1 ponemos un 5 (arriba un 6), sobran 2, 3, 4 y 7. Podríamos poner un 2, pero no llegaríamos más lejos.

Si junto al 1 ponemos un 6 (arriba un 7), sobran 2, 3, 4 y 5. No podemos poner más.

Así, no hay más soluciones con el 9 en un extremo. Si ocupa una de las posiciones centrales, hay que repetir todo el razonamiento, poniendo a un lado y a otro de los que tenemos (ocupamos primero el sitio más próximo al extremo, y por último los extremos). Vamos a repetirlo, para ver si queda algún otro número.

El número inferior podría ser un 1, pero entonces el inmediato sería un 8, y no podríamos poner nada al otro lado.

Con un 9 arriba, y un 2 en el lateral de abajo, hemos de poner un 7, y junto a el un 1 (arriba un 8). Junto al 1 podríamos poner un 3 (arriba un 4), pero junto al 2 no podemos poner nada, pues sólo quedan un 5 y un 6.

Otra posibilidad sería poner un 4 (arriba un 5), pero de nuevo no podemos poner el 3 y el 6.

Si ponemos el 5 (arriba el 6), nos quedamos sin poner el 3 y el 4.

Por tanto, con el 9 en una posición central hemos de usar por lo menos un 3 abajo. Junto a él, un 6. Si al lado del 6 ponemos un 1 (un 7 arriba), nos quedan 2, 4, 5 y 8, por lo que tendríamos que poner el 4 junto al 1 y no podemos situar los otros.

Si junto al 6 ponemos un 2 (un 8 arriba), nos quedan 1, 4, 5 y 7. Tenemos que poner un 5 y al otro lado, junto al 3, el 1 y el 4.

Segunda solución

Segunda solución

Aquí tenemos entonces otro par de soluciones, 498713625 y 789452631. Pero aún no hemos agotado las posibilidades.

Con el 9 en una posición central, ponemos un 4 en el más próximo al extremo de abajo. Junto a él, un 5. Al lado del 5 puede ir un 1 (arriba un 6). Nos quedan 2, 3, 7 y 8. Si ponemos el 2 no podemos poner los otros, y tampoco si ponemos el 7. Luego un 1 no puede ir junto al 5.

Si junto al 5 ponemos un 2, arriba va un 7. Nos quedan 1, 3, 6 y 8. De nuevo fracasamos al poner tanto un 1 como un 6.

Si junto al 5 ponemos un 3, arriba va un 8. Nos quedan 1, 2, 6 y 7. No podemos seguir. El 4 queda, por tanto, eliminado como candidato.

Si, con el 9 en una posición central, ponemos un 5, junto a él un 4, junto al 4 podemos poner un 2 (arriba un 6). Nos quedan 1, 3, 7 y 8. Tendríamos que poner el 1 (arriba un 3) y los otros no se pueden poner al otro lado.

Junto al 4 podríamos poner también un 3 (7 arriba). Sobran 1, 2, 6 y 8. Ninguno puede ir junto al 3.

Ahora, con el 9 en una posición central, ponemos un 6 en el más próximo al extremo de abajo, junto a un 3. Al lado podemos poner un 1 (arriba el 4), y sobran 2, 5, 7 y 8. Sólo podemos poner el 7 y luego no podemos seguir.

También podemos poner un 2 (5 arriba). Sobran 1, 4, 7 y 8. No podemos poner ninguno más.

También podemos poner un 4 (7 arriba). Sobran 1, 2, 5 y 8. Podemos poner el 1 junto al 4, y el 2 al lado del 6, con el 8 arriba.

Tercera solución

Tercera solución

Aquí tenemos entonces otro par de soluciones, 897526341 y 579814362. Pero aún pueden quedar más.

También podemos poner un 5 (8 arriba). Sobran 1, 2, 4 y 7. Podemos poner el 2 junto al 5, pero nada más.

Ya queda menos. Con el 9 en en una posición central, ponemos un 7 en el más próximo al extremo de abajo, junto a un 2. Al lado podemos poner un 1 (arriba el 3), y sobran 4, 5, 6 y 8. Si ponemos el 4, o el 5 nos quedan números sin poner.

Si junto al 2 ponemos un 3 (arriba un 5), sobran 1, 4, 6 y 8. Podríamos poner un 1, pero no llegaríamos más lejos.

Si junto al 2 ponemos un 4 (arriba un 6), sobran 1, 3, 5 y 8. Podríamos poner un 1, pero no llegaríamos más lejos.

Si junto al 2 ponemos un 6 (arriba un 8), sobran 1, 3, 4 y 5. No podemos poner ninguno más.

Pero con el 9 en una posición central, no podemos poner un 8 abajo, porque tendría dos números a los lados y eso no puede ser.

En definitiva, que tenemos 6 números posibles: 963854217, 836971245, 498713625, 789452631, 897526341 y 579814362. No son demasiados para un agente secreto.

domingo, 11 de noviembre de 2007

Soluciones discriminadas

Enunciado

Este problema se basa, como muchos otros que incluyen polinomios y sus raíces, en las fórmulas (de Cardano-Vieta) que relacionan las raíces de un polinomio (aquellos valores que hacen que valga 0) con sus coeficientes. Consulta, si no conoces las fórmulas, el problema "Promediando coeficientes".

El caso es que, según sabemos, si las soluciones de una ecuación de segundo grado x2 + px + q = 0 son D y 1 - D, sabemos que p = -(D + (1 - D)) y que q = D(1 - D). El discriminante, D, en una ecuación de segundo grado, es b2 - 4ac, en este caso, D = p2 - 4q.

En resumen, un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, p, q y D. Podría ser muy difícil de resolver, pero en este caso, la primera ecuación se queda en p = -1, con lo que una incógnita queda resuelta. La tercera se simplifica a D = 1 - 4q, con lo que podemos substituir dicha variable, que no nos interesa mucho, en la otra, que se transforma en q = (1 - 4q)(1 - (1 - 4q)). Operando con esta ecuación, q = (1 - 4q)4q = 4q - 16q2.

Esta última igualdad es sencilla de transformar en una ecuación de segundo grado, 16q2 - 3q = 0. Nos quedan en este caso dos soluciones, q = 0 y q = 3/16.

Si q = 0, la ecuación inicial es x2 - x = 0 tiene por discriminante 1, y soluciones 1 y 0.

Si q = 3/16, la ecuación se convierte en x2 - x + 3/16 = 0, de discriminante 1/4 y soluciones 1/4 y 3/4.

jueves, 8 de noviembre de 2007

Más edades

Enunciado

El problema parece más confuso de lo que es. Julia es mayor que María, y compara la edad actual con la que tenían hace un tiempo. ¿Cuánto? Cuando Julia tenía la edad que tiene ahora María. Es decir, en el problema aparecen dos edades en dos momentos distintos.

Llamemos J a la edad de Julia y M a la edad de María, ambas en la actualidad. El otro momento, cuando Julia tenía la edad de María sucedió hace J - M años, porque J - (J - M) = M ¿verdad?

En ese otro momento, la edad de Julia era M, y la de María, M - (J - M) = 2M - J.

Bueno, pues el dato que nos dan es que J = 2(2M - J). Además, claro, del obvio M + J = 91.

Despejando este último, M = 91 - J, y substituyendo, obtenemos J = 4(91 - J) - 2J = 364 - 4J - 2J. De esta igualdad, tenemos que 7J = 364, por lo que J = 52. Y M = 91 - 52 = 39.

Julia tiene, pues, 52 años y María 39. Cuando Julia tenía 39 (hace 13 años), María tenía 26, la mitad de lo que tiene ahora Julia.

domingo, 4 de noviembre de 2007

Entre dos fracciones

Enunciado

Si queremos comparar un número fraccionario a otro, debemos tenerlo con un denominador idéntico (o con un numerador, pero eso es menos frecuente). En este caso, podemos pasar las dos fracciones con las que queremos compararlo, 1/3 y 2/5 se pueden comparar poniendo un denominador común, con 30, que es el que queremos comparar. Quedarían como 10/30 y 12/30, multiplicando, respectivamente, por 10 y 6. Evidentemente, si K tiene que cumplir que 10/30 es menor que K/30 y éste tiene que ser menor que 12/30, K tiene que valer un número entre 10 y 12, que debe ser 11 (pues es entero).

jueves, 1 de noviembre de 2007

Tres cuadrados diferentes

Enunciado

El área es fácil de calcular, ya que sabéis que el área de un cuadrado es el cuadrado del lado (de ahí su nombre). Dibujar las figuras una al lado de la otra no tapa ningún área, de forma que sólo habrá que sumarlas: 100 + 64 + 36 = 200 centímetros cuadrados.

El área sombreada no se parece a ninguna figura con nombre propio que yo conozca (podríamos llamarla escaleroide), pero la que no está sombreada sí ¡es un triángulo! Claro, hay truco, la zona roja es lo que queda cuando a la figura completa le quitamos (es decir, le restamos el área) el triángulo. ¿Qué área tiene el triángulo? Base por altura partido por 2. La base mide la suma de los lados de los tres triángulos, 10 + 8 + 6 = 24, y la altura, 10. Su área será 10*24/2 = 120. Por lo que el área de la zona sombreada vale 200 - 120 = 80 centímetros cuadrados.