domingo, 26 de enero de 2014

Creando espacios

Enunciado

En primer lugar, necesitamos saber más de las dimensiones de la habitación. Podemos verlo como dos rectángulos, uno de 20*x metros, y otro de (20 - x)*10, de forma que ambos suman 280 metros cuadrados. También podemos pensar en el problema como la diferencia entre dos rectángulos, y en ese caso convendría hacerlo con dos incógnitas. No veo ninguna forma de plantearlo sin utilizar álgebra, tal vez, tratar de calcularlo por tanteo.

La ecuación, en este caso, sería 20x + 200 - 10x = 280, de donde 10x = 80, por lo que x = 8.

Podemos comprobar que el rectángulo 20* 8 = 160, y que 12 * 10 = 120, sumando entre ambos 280.
Por lo tanto, BC vale 12, y GA y FG valen ambos 8.

Ahora el problema es dónde situar D para hacer el tabique que nos piden.

Hay muchas maneras de abordar este problema. La más sencilla, tal vez, es descomponer el espacio de una de las áreas en rectángulos y triángulos rectángulos que nos permitan calcularlo con facilidad.

Si prolongamos el segmento GA, de forma que atraviese el segmento CD en un punto que llamaremos P, dividiremos ese espacio nuevo en un rectángulo que mide 12*10 = 120, y un triángulo rectángulo, que tiene un lado de 12 metros, y que debe medir 20 metros cuadrados, de forma que su altura (el otro cateto) debe medir 40/12 = 10/3 metros, para que (12*10/3)/2 = 40/2 = 20. Así, la distancia entre D y C debe ser 10/3 + 10 = 40/3 metros, aproximadamente 13,33 metros (si no me he equivocado).

domingo, 12 de enero de 2014

Áreas y perímetros

Enunciado

La clave de este problema consiste en calcular el valor de los segmentos que forman los diferentes triángulos. Puesto que los cuadrados tienen un perímetro, respectivamente, de 20 y 48, sus lados serán 5 y 12. Por otra parte, las diagonales de los rectángulos miden, según dice el enunciado, 13 centímetros.

En cuanto a las áreas, los cuadrados tienen un área, respectivamente, de 25 centímetros cuadrados y 144 centímetros cuadrados, mientras que cada triángulo tiene un área que vale la mitad de los rectángulos, es decir, 60/2 = 30 centímetros cuadrados.

Así pues, el perímetro de la primera imagen estará formado por dos lados cortos, dos largos y dos diagonales, un total de 5*2 + 12*2 + 13*2 = 60 centímetros. Su área será la suma de dos triángulos, es decir, 60 centímetros cuadrados.

La segunda imagen tiene un perímetro formado por los mismos elementos que la primera, de forma que también mide 60 centímetros. Pero su área añade a los 60 centímetros cuadrados 25 del cuadrado pequeño, lo que hace un total de 85 centímetros cuadrados.

En el tercer caso, se trata de una figura cuyo perímetro consiste en 3 lados cortos, tres largos y una única diagonal, es decir, 5*3 + 12*3 + 13 = 64 centímetros. Su área se descompone en tres triángulos y un cuadrado grande, en total 30*3 + 144 = 234 centímetros cuadrados.

Y por último, el perímetro de la cuarta figura tiene también esa misma descomposición, es decir, tiene un perímetro de 64 centímetros. Su área se calcula de una manera similar, pero esta vez con un cuadrado pequeño, es decir, 3*30 + 25 = 115 centímetros cuadrados.