domingo, 29 de enero de 2012

La fuga

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La idea que comenta Pablo Sussi en los comentarios es muy adecuada. Puesto que las celdas de las esquinas se cuentan dos veces cuando sumas los lados, es sencillo pensar que cambiarse de celda del centro a los lados aumenta la suma, es decir, que si se van 4 presos, podemos hacer que los 28 restantes se distribuyan poniendo sólo 5 en las celdas centrales y 2 en las esquinas, de forma que cada lado sumará 2 + 5 + 2 = 9 y se mantendrá como antes.

Si vuelven a huir otros cuatro prisioneros, el sistema puede volver a funcionar, dejando sólo 3 en las casillas centrales y 4 en las esquinas (3 + 3 + 3 = 9).

Por último, si sólo quedan 20 prisioneros, es fácil pensar, viendo lo anterior, en dejar un único prisionero en la celda central y 4 en cada una de las esquinas. El total de prisioneros es 20 (4*4 + 4*1) y la suma de cada lado sigue siendo 9 (4 + 1 + 4).

viernes, 27 de enero de 2012

Apuesta arriesgada

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En este caso, de nuevo, analizamos las diferentes opciones que tiene nuestro jugador.

Empieza con 1000 euros, y tiene 1/2 de probabilidad de perderlo, y 1/2 de conseguir 2000.

En el caso de que tenga 2000, lo apostará todo, y de nuevo tiene 1/2 de perderlo, y 1/2 de conseguir 4000.

Si tiene 4000, claro, tendrá 1/2 de probabilidad de pasar a tener 3000, y 1/2 de acabar con éxito el juego.

Por último, si juega con 3000, tendrá 1/2 de probabilidad de conseguir ganar, y 1/2 de volver a tener 1000.

Podemos hacer un sistema de ecuaciones con las probabilidades de ganar y perder a partir de cada una de las cantidades, que podemos llamar P1 a la probabilidad de ganar si tienes 1000, P2 a la probabilidad de ganar si tienes 2000, P3 a la que tienes de ganar si tienes 3000, y P4 si tienes 4000. Puesto que todas estas situaciones son inestables, excepto perderlo todo o ganar, sabemos que la probabilidad de ganar y de perder suman uno en cualquier caso.

Si nos imaginamos que repetimos la experiencia muchas veces, es fácil pensar que la mitad de los que empiezan con 1000 euros pierden, mientras que la mitad pasa a tener 2000. Por lo tanto, P1 = P2/2. De los que tienen 2000, pasa otro tanto, por lo que P2 = P4/2. De la misma forma, P4 = 1/2 + P3, y P3 = 1/2 + P1. De esta forma, tenemos un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas. Eliminando primero P4, tenemos que P1 = P2/2, P2 = 1/4 + P3/4 y P3 = 1/2 + P1/2. Eliminando después P3, nos queda que P1 = P2/2 y P2 = 3/8 + P1/8, de donde P1 = 3/16 + P1/16, es decir, que 16P1 = 3 + P1, de donde P1 = 1/5.

Un razonamiento más directo sería basarse en esperanzas. Si ponemos a jugar a mucha gente en las mismas condiciones (todos con 1000€ iniciales, lo que sucede al final es que uno de cada 5 consigue el dinero y otros cuatro lo han perdido (ya que la cantidad total de dinero es la misma siempre), por lo que está claro que la probabilidad de ganar es 1/5.

domingo, 15 de enero de 2012

Polinomio de grado 2010

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Si agrupamos el polinomio por pares de términos, empezando por el primero, lo convertiremos en una serie de sumas de la forma (2010n - 2009)n2009 + ... + (4n - 3)n3 + (2n - 1)n. Cada sumando es positivo para cada uno de los números indicados, por lo que la suma es positiva.

Para calcular la cifra de las unidades, nos fijaremos sólo en la última cifra, lo que equivaldría a operar sólo con números entre el 0 y el 9. En lugar de calcular el valor de cada polinomio (aunque el de 1 es sencillo de obtener), podemos sumar por cada lado las potencias, ya que es fácil observar que hay una gran periodicidad en la última cifra de las potencias. Es decir, primero calculamos la última cifra de 2010*(12010 + 22010 + 32010 + ... + 92010), después la del siguiente término y así sucesivamente.

Evidentemente, operando sólo con la última cifra, ya que podemos hacer fácilmente una tabla con las últimas cifras de las potencias de todos los números con relativa facilidad (por ejemplo, 22 es 4, 23 es 8, 24 acaba en 6 y 25 acaba en 2, a partir de ahí vuelve a repetirse.

Después de mucho cálculo superfluo, acaba siendo la última cifra de esa suma igual a 1.

sábado, 7 de enero de 2012

En un país imaginario

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Si sabemos que su cara visible es blanca, eso significa que no es una de las 14 fichas que tienen ambas caras negras, de forma que la probabilidad sólo debe calcularse sobre las restantes. Es decir, que se trata de una de las 41 restantes, y de ellas 25 tienen la otra cara negra. Por lo tanto, la probabilidad de salvarse es de 16/41, es decir, poco más del 39%.